Groups-6

6 Базис Картана - Вейля

6.1Построение базиса Картана-Вейля для простых алгебр Ли

Определение32 Пусть g – полупростая алгебра Ли . Выделим вg максимальную подалгебру h с образующими hi, i = 1, 2, . . . , r такими,что

1.[hi, hj ] = 0;

2.матрицы ad(hi) диагонализуемы для всех i.

Такая максимальная коммутативная подалгебра h в g называется подалгебра Картана, а число r – рангом алгебры Ли g.

Все образующие алгебры Ли g можно разбить на две группы:

hi, i = 1, . . . , r, ta, a = 1, . . . , dim(g) − r,

где генераторы ta образуют ортогональное дополнение к h:

Действительно,пользуясь свойством гомоморфизма присоединенного представления 9 можно показать,что

tr(ad(hi)ad([hj , ta])) = tr(ad(hi)[ad(hj ), ad(ta)]) = tr([ad(hi), ad(hj )]ta) = 0 .

Из этого равенства следует,что если условие ортогональности(44)выполнено для генераторов ta,то оно будет выполнено и для коммутатора [hj , ta], что в свою очередь означает

образуют (dim g−r)-мерное представление подалгебры Картана( убедитесь в этом!).Так

9Напоминаем,что свойство гомоморфизма присоединенного представление может быть записано в виде

ad([A, B]) · X = [[A, B], X] = [A, [B, X]] − [B, [A, X]] = [ad(A), ad(B)] · X,

где во втором равенстве использовано тождество Якоби.

69

как полная метрика Киллинга невырождена для полупростой алгебры g, то из условия (44)следует,что симметричная матрица

и невырождены.10 В силу коммутативности матриц [Hi, Hj ] = 0 и их диагонизуемости следует,что они обладают системой собственных векторов

Для матриц H со свойством симметрии(47)справедливо следующее

Утверждение12 Если – собственное значение диагонализуемой матрицы H, удовле - творяющей свойству(47),то − также является его собственным значением.

Доказательство. Любая из матриц Hi удовлетворяет характеристическому тождеству

Y

(H − i1) = 0 . (49)

i

Собственные вектора для набора коммутирующих матриц Hi образуют базис в r-мерном векторном пространстве.Матрица в левой части(49)зануляется на всех векторах из этого пространства,а значит она равна нулю.Транспонируем матрицу в левой части(49)и воспользуемся свойством(47).Получим

Y

i

10Если эти матрицы были бы вырождены,то из соотношения(45)следовало бы,что какая-то линейная комбинация генераторов ta коммутировала бы с генераторами подалгебры Картана,а значит эта подалгебра не была бы максимальной коммутативной подалгеброй.

70

Отсюда следует справедливость утверждения.

В справедливости тождества(49)можно убедиться непосредственно.Из линейной алгебры известно,что всякую невырожденную диагонализуемую матрицу преобразованием сопряжения можно привести к диагональному виду и на диагонали будут находится собственные значения.

H = A · diag( 1, . . . , r) · A−1

Тогда матрица в левой части(49)может быть переписана в виде

YYr

Определение33 Векторы r-мерного векторного пространства Vr с координатами ( 1,2, . . . , r), возникающими в коммутационных соотношениях (52), называются корне - выми векторами(или корнями алгебры Ли g).

Любой элемент алгебры g может быть представлен линейной комбинацией образующих hi, i = 1, . . . , r и e для всех корневых векторов 2 Vr.

Определение34 Базис алгебры Ли g, образованный элементами hi, e называется базисом Картана-Вейля.

В присоединенном представлении

Это равенство следует из свойства коммутатора

[A, BC] = ABC − BCA = ABC − BAC + BAC − BCA = [A, B]C + B[A, C]

71

для любых операторов A, B, C,которое эквивалентно правилу Лейбница дифференцирования произведения функций.

Вычисляя след обоих частей формулы(53)получим,что

Выбрав нормировку образующих генераторов e , можно добиться того , чтобы метрика Киллинга имела вид

Перенормировать генераторы подалгебры Картана чтобы превратить gij в символ Кронекера нельзя,так как в этом случае изменится нормировка корневых векторов в соотноше-

нии(52).

Далее из тождества Якоби можно легко получить,что

Тогда если вектор + β является корнем,то коммутатор генераторов [e , eβ] должен быть пропорционален генератору e +β

где N( ,β) некоторые ненулевые константы.Если + β не является корнем и + β 6= 0, то [e , eβ] = 0.Если же + β = 0,то для выполнения(56)должно быть

где xi 2 C некоторые константы.В нормировке(55)эти константы могут быть вычислены следующей выкладкой

xigji = xitr (ad(hj )ad(hi)) = tr ([ad(hj ), ad(e )]ad(e− )) = j tr (ad(e )ad(e− )) = j .

72

Таким образом xi = gij j = i, где gij элементы матрицы обратной к gjk: gij gjk = δki . Итак соотношения(32)для алгебры Ли g в базисе Картана-Вейля hi, e переписыва-

где первое равенство–это определение метрики Киллинга,второе равенство возникает из-за равенства нулю структурной конствнты Cik, а третье равенства из - за свойства , что

Ciβ = Ci δβ .

6.2Свойства корней

Одним из ключевых утверждений в задаче классификации простых алгебр Ли является следующая

образуют алгебру ли sl(2) (41).

Как будет показано ниже,весь набор генераторов алгебры соответствующие различным корням может быть разложен на прямую сумму представлений алгебры(62).Так

11( ,β ) = Pi iβi есть обычное эвклидово скалярное произведение и 2 = ( , ).

73

как мы изучаем конечномерные алгебры Ли,то и представления алгебры(62)для любого корня должны быть конечными,а это,в силу теории конечномерных представлений алгебры sl(2),рассмотренной в предыдущей лекции,означает,что собственные значения оператора h в присоединенном представлении на любом генераторе eβ

корней и β.Заметим,что из симметричности скалярного произведения целым должно быть и число 2( ,β )/β2.

есть перенормированный генератор eγ−k и цепочка оборвана на некотором пока неизвест - ном шаге (j + 1) в силу конечномерности рассматриваемой алгебры.Очевидно,что для всех m, 0 m j мы имеем

где коэффициенты µm удовлетворяют начальным условиям и условию обрыва цепочки

(65):

74

Cпомощью следующей выкладки

µm+1e0γ−m = [e , e0γ−(m+1) ] = [e , [e− , e0γ−m ]] =

=−[e0γ−m , [e , e− ]] − [e− , [e0γ−m , e ]] =

=−[e0γ−m , i hi] + µm[e− , e0γ−(m−1) ] =

=(( ,γ ) − m( , ) + µm) e0γ−m ,

можно найти рекуррентное соотношение для коэффициентов µm:

Начальное условие µ0 = 0 позволяет легко найти решение этого рекуррентного соотношения

которое по вышедоказанному должно быть целым числом.

Итак мы доказали,что если вектора и γ из векторного пространства Vr являются корнями для некоторой конечномерной алгебры Ли,а вектор + γ не является корнем, то существует цепочка(струна)корней

Этот набор корней симметричен относительно отражения в гиперплоскости P , перпенди - кулярной к вектору : ? P и проходящей через начало координат корневого простран - ства.Концы векторов(72)лежат на одной прямой сонаправленной вектору .Например, корень

не меняется при отражении,а вектор меняет знак.Преобразование(73)называется

75

вейлевским отражением.Возвращаясь к формулировке теоремы,заметим,что если корень

Заметим,что квадрат вейлевского отражения σ2 (γ) = γ равен единице.Действительно

где корень β принадлежит -струне корней,проходящих через корень γ : β = γ −(m+ 1)

где m, n –целые числа.Из этих неравенств следует,что существует две возможности

•Корни и β не коллинеарны.Тогда для целых чисел m и n возникают следующие возможности: 0 mn 3, что эквиваленто

76

Случаи = ±β тривиальны,а случаи = ±2β β = ±2 запрещены,так как [e , e ] = 0 тождественно.

Таким образом единственно возможными значениями целых чисел 2(( ,,β)) или 2((β,,ββ)) в простой алгебре Ли могут быть 0, ±1, ±2, ±3.

Лемма1 Пусть и β – два различных корня . Тогда если( ,β ) > 0, то ( − β) также корень,а если ( ,β ) < 0, то ( + β) также корень.

Док-во. Рассмотрим случай ( ,β ) < 0 (случай ( ,β ) > 0 будет следовать автоматически

и в силу теоремы 12, + β является корнем.

Пример3 Система корней алгебры sl(3). Алгебра Ли sl(3) – это векторное про -

странство всех безследовых матриц 3 3. Очевидно , что подалгебра диагональных мат - риц с нулевым следом является коммутативной подалгеброй.Выберем ее в качестве подалгебры Картана с базисом

E− = Et , E−β = Eβt , E−γ = Eγt .

77

Определяющие соотношения алгебры sl(3) в выбранном базисе имеют вид

[H1, E ] = 2E , [H1, Eβ] = −Eβ , [H1, Eγ] = Eγ ,

p p (80)

[H2, E ] = 0 , [H2, Eβ] = 3Eβ , [H2, Eγ] = 3Eγ .

Эти коммутационные соотношения позволяют получить согласно определению(59)координаты корневого вектора [hi, e ] = ie все координаты векторов корней в двумерном пространстве

которые можно изобразить на корневой диаграмме

Рис. 2:Система корней алгебры sl(3)

На этой диаграмме вектора (1) = и (2) = β являются образующими всей корневой системы.Зная взаиморасположения этих векторов,можно восстановить всю корневую систему алгебры sl(3),а значит и коммутационные соотношения в’njqалгебре.Такие корни называются простыми положительными корнями и классификация всех возможных алгебр Ли сводится к задаче классификации простых положительных корней.Это будет предметом следующей лекции.

78