ТФКП методичка

¼i

D

i

D1

2

»ei

0

1

x

0

•¨á. 8.29

•¨á. 8.30

1.

• §«®¦¨âì ¢ àï¤ ‹®à -

¯® á⥯¥-ï¬ (z ¡ i) äã-ªæ¨î

f(z) =

2i + 1

(z ¡ i ¡ 1)(z + i)

¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨- ¤«¥¦¨â â®çª z =

i

2 . “ª § âì £à -¨æë

ª®«ìæ á室¨¬®áâ¨.

2.

ˆáá«¥¤®¢ âì ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ äã-ªæ¨¨

f(z) =

1

1

¡

:

R

ez ¡ 1

z

z

1

3.

+1 sin(2 3x)

‚ëç¨á«¨âì ¡1

x +4

dx.

2 ¡

4.

‚ëç¨á«¨âì

+i =2 z(cos z ¡1)

jz1

+j10

¡1

dz.

5

5

5.

‚ëç¨á«¨âì ¡R2

p(x + 2) (1 ¡ x)

dx.

2

¡4z) ¢ ¯«®á-

6.

•ãáâì f(z) | ॣã«ïà- ï ¢¥â¢ì äã-ªæ¨¨ Ln(z

ª®á⨠á à §à¥§®¬ °

= °1 [ °2, °1

= fjz ¡ 2j = 2, Im z 6 0g,

°2

= f¡ Re z = Im z, Im z > 0g, ¯à¨ç¥¬ Im f(¡5) = 0. ‚ëç¨á-

•à¨¬¥-ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢, ¢ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à «ë 3, 4, 5:

j

¡+j

z

R

sin(1¡ 2x)

. 5.

R

dx

. 4.

1 x

2

3.

cos 1

+

3

p

x p3

1¡cos z

dz

(2x2+1)2

dx

z

¼ =4

¡1

Ln

z+1

2+iz ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ªà¨¢®©

¾

[ [¡2; ¡1]

° =

½z j jzj = 2; ¡¼ 6 arg z 6 2

¼

J =

h(z)

dz:

sin3 z

= 1

jzj,

2

1.

• ©â¨ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ äã-ªæ¨¨

z2 sin2 z

¢

sin

1

f(z) =

z¡¼=2

sin z

e z

;

(cos z ¡ 1)2

®¯à¥¤¥«¨âì ¨å ⨯. Žâ¢¥â ®¡®á-®¢ âì.

2.

• §«®¦¨âì ¢ àï¤ ‹®à - ¯® á⥯¥-ï¬ (z ¡ 2 ¡ i) äã-ªæ¨î

f(z) =

z2 ¡ 2iz + 6

z2(z + 3i)

¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨- ¤«¥¦¨â â®çª

z = 5 + i. “ª § âì £à -

-¨æë ª®«ìæ

á室¨¬®áâ¨.

6.

•à¨¬¥-ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢, ¢ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à «ë 3, 4, 5:

j

•ãáâì+ j

g(z) | ॣã«ïà-R ï ¢¥â¢ì ¬-®£®§-R

ç-®© äã-ªæ¨¨

3.

z¡1 1

+1 x cos(2

¡

x)

2

(2

¡

x)3

1 dx.

dz. 4.

2

dx. 5.

5

3

z+1+i =2

(z+1) sin z

¡1

4x +1

1

q(x¡1)

¢ x

fp

g ¢ ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ªà¨¢®©

1 + 4z2

° = ½z j

jzj = 2;

2 6 arg z 6 2¼¾

1

¼

â ª ï, çâ® g(0) = 1. •ãáâì f(z) =

z

res f ¨ ¢ë-

(g(z)+3)2

. • ©â¨

1

8 z : jz ¡ ij < 1.

P

nP

1.

1

1

+1

n

+1 (¡1)n

n,

f(z) =

z¡i¡1

¡

z+i

= ¡ n=0(z ¡ i) ¡ =0

(2i)n+1

(z ¡ i)

2.

zk = 2¼ki, k 2 Z, k 6= 0 | ¯®«îá

1-£® ¯®à浪 ; z = 0 |

ãáâà. ®. â.; z = 1 | -¥¨§®«. ®. â.

3.

I = ¼2 e¡6 ¢ sin 2.

4.

I = ¼i3 .

5.

I =

9¼

.

8

6.

I = ¡4¼.

i

i

:

i

1.

f(z) = ¡

¡

;

t

= z + 1

f(t) = ¡

¡

2(z+4i)

2(z¡2i)

2(t¡1+4i)

i

=

i=2

+

i=2

=

+1

i=2

tn

¡

2(t

1

2i)

(1

4i)(1

t

)

t(1

1+2t i )

e

(1

4i)n+1

¡

1 4i

n=0

¡ ¡

¡

+1 i(1+2i)n¡1

¡

¡ ¡

¡

P

¡

=1

2tn

,

nP

+1

i=2

¡1

i(z+1)n

p5 < jz + 1j < p17.

f(z) = n=0

(z + 1)n ¡n=

,

(1¡4i)n+1

¡1

2(1+2i)n+1

P2z+¼

tg z

.

P

2. f(z) = 2z¡¼ exp

z2¡¼2

| ¯à¥¤.á.®.â.

z =

¼

| ã.®.â.;

z

= ¼=2 + ¼k | á.®.â;

§

³

´

1

3. ¡16¼i.+

1

+

1

Z

Z

4. I = 43

(x + 3) sin x

(x + 3) sin 3x

dx.

dx ¡41

x2 + 4x + 8

x2 + 4x + 8

¡1

¡1

I1

I2

2 2i | ¯®«îá 1 ¯®à浪 ;

¡ ¡

|

iz

}

|

{z

i( 2+2i)

2

{z

}

f

(z) =

(z+3)e

a = res

¡2+2i

f

1

= (1+2i)e ¡

= e¡

(1 +

(z+2+2i)(z+2

2i) ;

1

4i

4i

¡

+ 2i)(cos 2 ¡ i sin 2),

³

¼e¡2

¼e¡2

I

= Im(2¼ia) = Im

(1 + 2i)(cos 2 i sin 2)

=

(2 cos 2

¡

1 sin 2).

2

¡

´

2

¡

x 10.

Žâ¢¥âë

77

f2 =

(z+3)e3iz