ТФКП методичка

x 2. ˆ§®«¨à®¢ --ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ®¤-®§- ç-®£® å à ªâ¥à

11

-¥ç- ï ¨«¨ ¡¥áª®-¥ç-® 㤠«¥-- ï ®á®¡ ï â®çª

a ®¤-®§- ç-®£®

å à ªâ¥à äã-ªæ¨¨ f(z) - §ë¢ ¥âáï

1)

ãáâà -¨¬®© ®á®¡®© â®çª®©, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ª®-¥ç-ë©

¯à¥¤¥« lim f(z);

z!a

2)

¯®«îᮬ, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¥áª®-¥ç-ë© ¯à¥¤¥« lim f(z) =

= 1

;

z!a

3)

áãé¥á⢥--® ®á®¡®© â®çª®©, ¥á«¨ -¥ áãé¥áâ¢ã¥â (-¨ ª®-

-¥ç-®£®, -¨ ¡¥áª®-¥ç-®£®) ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ f(z) ¢ â®çª¥ a.

1

X

f(z) =

cn(z ¡ a)n;

(1)

- §ë¢ îâ

ᮮ⢥âá⢥--®

£« ¢-®©

ç áâìî

¨

¯à ¢¨«ì-®©

ç áâìî àï¤ ‹®à - äã-ªæ¨¨ f(z) ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ a.

€- «®£¨ç-®, ¥á«¨ äã-ªæ¨ï ॣã«ïà-

¢ ®¡« á⨠R < jzj <

< 1, â® ®-

¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï á室ï騬áï ¢ í⮩ ®¡« á⨠à冷¬

1

X

f(z) =

cnzn;

(4)

n=¡1

ª®â®àë© - §ë¢ îâ à冷¬ ‹®à -

äã-ªæ¨¨ f(z) ¢ ®ªà¥áâ-®áâ¨

¡¥áª®-¥ç-® 㤠«¥--®© â®çª¨, àï¤ë

1

X

f1(z) =

cnzn;

(5)

n=1

1

X

(6)

f2(z) = c0 +

c¡nz¡n

n=1

- §ë¢ îâ

ᮮ⢥âá⢥--®

£« ¢-®©

¨

¯à ¢¨«ì-®©

ç áâìî

àï¤ (4).

ƒ« ¢-ë¥ ç á⨠(2) ¨ (5) à冷¢ ‹®à -

(1) ¨ (4) á®áâ®ïâ ¨§

¢á¥å â¥å ¨ ⮫쪮 â¥å ç«¥-®¢ íâ¨å à冷¢, ª®â®àë¥ áâ६ïâáï ª

¡¥áª®-¥ç-®á⨠¯à¨ z ! a

(z ! 1). ”ã-ªæ¨î f(z) - §ë¢ îâ

ॣã«ïà-®© ¢ â®çª¥ z = 1, ¥á«¨ íâ

äã-ªæ¨ï ॣã«ïà-

¢ ª®«ìæ¥

R < jzj < 1 ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ª®-¥ç-ë© zlim f(z).

!1

x 2. ˆ§®«¨à®¢ --ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ®¤-®§- ç-®£® å à ªâ¥à

13

f(z) = (z

¡

a)¡mh(z); h(a) = 0; m

2 N

;

(7)

6

lim f(z)(z

¡

a)m = ®;

z

!

a

£¤¥ ® 6= 0, ¨«¨

®

f(z) »

;

® 6= 0

(z ! a):

(8)

(z ¡ a)m

¡) •ãáâì f(z) = g(z)

g(z) ¨ h(z) | äã-ªæ¨¨, ॣã«ïà-ë¥

h(z) , £¤¥

¢ â®çª¥ a 6= 1. ’®£¤

¥á«¨ g(a) 6= 0,

â®çª a | -ã«ì ªà â-

x 2. ˆ§®«¨à®¢ --ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ®¤-®§- ç-®£® å à ªâ¥à

15

¬¥à®¬®àä-®©, ¥á«¨ - ª ¦¤®¬ ®£à -¨ç¥--®¬ ¬-®¦¥á⢥ G 2 C

íâ äã-ªæ¨ï ॣã«ïà- , § ¨áª«îç¥-¨¥¬, ¡ëâì ¬®¦¥â, ª®-¥ç-

-®£® ç¨á«

¯®«îᮢ.

6.2.

…᫨ z = 1 | ¯®«îá ¯®à浪 n 楫®© äã-ªæ¨¨ f(z),

â® f(z) | ¬-®£®ç«¥- á⥯¥-¨ n, ¥á«¨ 楫 ï äã-ªæ¨ï f(z)

ॣã«ïà-

¢ â®çª¥ z = 1, â® f(z) = const. –¥«ãî äã-ªæ¨î,

«¨âì ¨å ¢¨¤ (⨯), ¥á«¨: f(z) =

1

cos 1=z

1=z2 ;

2)

z6

1) f(z) = e

f(z) =

;

(z+1)2(z2+4)

3) f(z) =

1

f(z) =

z¡¼

cos 1=z ;

4)

sin 2z¡2 sin z ;

5) f(z) = e1= sin z;

6) f(z) = z1 ¡

1

.

ez¡1

1=z2

ॣã«ïà- ¢® ¢á¥å â®çª å

z 2

•¥è¥-¨¥. 1) ”ã-ªæ¨ï e

2 C, ªà®¬¥

2â®çª¨ z = 0. •ãáâì z = x + iy, ⮣¤ ¥

᫨

z =

2

= x, â® e1=x

! 1

¯à¨ x

!

0,

¥á«¨ z = iy, â® e¡1=y

!

0

2 -¥ ¨¬¥¥â ¯à¥

¯à¨ y ! 0. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, äã-ªæ¨ï e1=z

¤¥«

¢ â®çª¥ z = 0 ¨ ¯®í⮬ã z = 0 | áãé¥á⢥--® ®á®¡ ï â®çª

í⮩

18

â®çª , â ª ª ª ®- ï¥âáï -ã«¥¬ ¢â®à®£® ¯®à浪

äã-ªæ¨©

ez

¡1¡z ¨ z(ez ¡1). ’®çª z = 1 | ¯à¥¤¥«ì- ï â®çª

¯®«îᮢ

f(z) = z cos

1

a = 1

z¡1 ,

1) f(z) = z3e1=z, a = 0; 2) f(z) =

1

, a = i;

2

2

(z

+1)

1

z5+z2

3) f(z) = z cos

,

a = 1;

4)

f(z) =

,

a = 1.

z¡1

z2+4

nP

1=z

=

1

1

•¥è¥-¨¥. 1) ’ ª ª ª e

=0

znn!

, â®

樨 f(z).

2) f(z) =

h(z)

,

2

£¤¥

1

(z¡i)

2

i

kP

1

1

h(k)(i)

h(z) =

= h(i) + h0(i)(z ¡ i) +

(z ¡ i)k;

(z+i)2

k!

h(i) = ¡4 ,

h0(i) = ¡

= ¡

=2

, ®âªã¤

(2i)3

4

h(i)

h0(i)

1

i

f1(z) =

+

= ¡

¡

;

(z ¡ i)2

z ¡ i

4(z ¡ i)2

4(z ¡ i)

z = i | ¯®«îá ¢â®à®£® ¯®à浪

äã-ªæ¨¨ f(z).

3) •ãáâì z ¡1 = t, ⮣¤ f(z) = '(t) = (t+1) cos 1t . •à¥¤áâ -

'(t) = (t + 1) 1 + 1

(¡1)n

:

Ã

n=1 (2n)!t2n

!

X

1) Žá®¡ë¬¨ â®çª ¬¨ äã-

¡

¢

¬®£ãâ

3) f(z) =

e1=z3 cos

1

; 4) f(z) =

(z2

+¼2) tg z

¼=(2z)

¡ e .

z+1

e

sin3 z(z4+1)2

sh z

•¥è¥-¨¥.

ªæ¨¨ f(z) ¢ C

¡ëâì ⮫쪮 â®çª

z

= i

¨ ª®à-¨ ãà ¢-¥-¨ï sin ¼iz2

= ¡1 |

â®çª¨ zk â ª¨¥, çâ®

¼izk

¼

= ¡

+ 2k¼;

2

2

®âªã¤

zk = i(1 ¡ 4k)

,

k 2 Z

. ’®çª i ï¥âáï áãé¥á⢥--®

¨ ¯®«îᮬ äã-ªæ¨¨

1

®á®¡®© â®çª®© äã-ªæ¨¨ e1=(i¡z)

:

1+sin(¼iz=2)

Žâªã¤ á«¥¤ã¥â (¯à¨¬¥à 3), çâ® z = i | áãé¥á⢥--® ®á®¡ ï

â®çª äã-ªæ¨¨ f(z).

’®çª¨ zk

(k 6= 0) | ¯®«îáë ¯¥à¢®£®

¯®à浪

äã-ªæ¨¨

f(z)

, â ª ª ª ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï cos

¼izk

= 0 ®-¨

¼iz

2

6

п¢«повбп -г«п¬¨ ªа в-®бв¨ 1 дг-ªж¨¨ 1 + sin 2

,

z = 1 |

¯à¥¤¥«ì- ï â®çª

¯®«îᮢ.

2) Žá®¡ë¬¨ â®çª ¬¨ äã-ªæ¨¨ f(z) ¢ C ¬®£ãâ ¡ëâì ⮫쪮

â®çª¨ 1 ¨ ¡1,

â ª¦¥ ª®à-¨ zk

ãà ¢-¥-¨ï sin ¼z = 0 (ç¨á«

zk = k,

k 2 Z) ¨ ª®à-¨ zk ãà ¢-¥-¨ï ch z = ¡1, à ¢-®á¨«ì-®£®

’®çª¨ zk = k (k

Z,ek =

1) | áãé¥á⢥--® ®á®¡ë¥ â®çª¨

ãà ¢-¥-¨î ez = ¡1, ®âªã¤

zk

= i¼ + 2k¼i (k 2 Z).

äã-ªæ¨¨ f(z), â®çª¨ z =

e1 в ª¦¥ п¢«повбп (¯а¨¬¥а 3) бг-

2

6 §

é¥á⢥--® ®á®¡ë¬¨ | íâ®

§

1

¯®«îáë äã-ªæ¨¨

(z2¡1)2(ch z+1)

.

’®çª¨ zk | ¯®«îáë ¯¥à¢®£® ¯®à浪

(sh zk

6=

0) äã-ª-

3) ’®çªe z

= 0 | -ã«ì äã-ªæ¨¨ sin z

= 0 (¯®«îá äã-ª-

樨 f(z). ’®çª z = 1 | ¯à¥¤¥«ì- ï â®çª

¤«ï â®ç¥ª zk ¨ zk.

樨 f(z)e¡1=z3 ) ¨ áãé¥á⢥--® ®á®¡ ï â®çª

äã-ªæ¨¨ e¡1=z3 e

ï¢-