Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМФ_2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

821.77 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

2011-2012

МФТИ-21

1. 6

ξ = x

− 2y , η = x + y

+ K0

, g(η) = −COS η − K0 .

; uξη = 0 = u = f(ξ) + g(η) ; f(ξ) = 4 ξ

Ответ:

u(x, y) = 41 (x2 − 2y)2 − COS (x + y) . Область: −2 < x2 − 2y < 0 0 < x + y < 1 x > −1 .

2. 5

ξ = x − t , η = x + t , u =

4t3

3 + 6 + v

= v

= f(ξ) + g(η) ;

v|t=0 = x Ex + SIN x , vt|t=0 = −(x + 1) Ex + COS x , (v − vx)|x=0 = t − 1 + t2 + SIN t − COS t ;

g(η) = SIN η + K0 , η > 0 ; f ′(ξ) − f(ξ) = K0 + 1 + ξ − ξ2 , ξ < 0 ;

ξ Eξ

K0 ,

ξ > 0 ,

; f C f(+0) = f(−0) = K1 = 0 ;

f(ξ) = K1 E−ξ − K0 + ξ + ξ2 ,

ξ < 0 ,

ξ −→ +0 : f(ξ) = −K0 + ξ + ξ2 + O(ξ3) ; ξ −→ −0 : f(ξ) = −K0 + ξ + ξ2 = f C2 .

Ответ: u(x, t) = 4t3 + x3

+ SIN (x + t) +

(x − t) Ex−t ,

0 ≤ t ≤ x ,

причем u(x, t)

0 , t

0) .

x − t + (x − t)2 , 0 ≤ x ≤ t ,

≥

∞

4(−1)k

;

3. 7

u(x, t) =

k=0 Tk(t) SIN (2k + 1)x ,

x =

k=0 ak

SIN (2k

+ 1)x , ak =

′′P

E−t

′ P

T◦ = −36 t

E−t(2

+1)

T◦

− T◦ = 72

, T◦(0) = 0 , T◦

(0) = −36

;

T1′′ + 7 T1 = −8 E−t

, T1(0) = 0 , T1′ (0) = 1

= T1 = COS √

t − E−t

;

k 6= 0, 1 : T ′′ + [(2k + 1)2 − 2] Tk = 18 π ak E−t , Tk(0) = 0 , Tk′ (0) = 0

18 π ak

E−t

sin γk t

√

Tk =

− COS γk t +

γk

, γk =

+ 4k − 1 ;

γk +1

Ответ: u(x, t) = −36 t E−tSIN x +

COS √

t − E−t SIN 3x+

∞

18 π a

E−t

sin γ

+ Pk=2

i SIN (2k

+ 1)x ,

γk = √4k

+ 4k − 1 .

γk2+1

− COS γk t +

γk

4. 4

u = −SIN 5ϕ + v

= v = 0 , v|r=1 = 1 + COS 5ϕ ,

v|r=2 = 1 + 32 COS 5ϕ ;

Ответ: u(r, ϕ) = 1 + r5 COS 5ϕ − SIN 5ϕ .

5. 5

u = 2 t SIN

(4y − 3z) , u = u + v = vtt − v = 0 ;

v|t=0 = y2(x2 + y2 + z2) , vt|t=0 = −2 SIN (4y − 3z) ;

5t4

− 52 SIN 5t COS (4y − 3z) ;

v = y2(x2 + y2 + z2) + t2[x2 + 8y2 + z2] +

Ответ:

u(x, y, z, t) = 2 t SIN (4y − 3z) + y2(x2 + y2 + z2) + t2[x2 + 8y2 + z2] +

5t4

− 52 SIN 5t COS (4y − 3z) .

6. 6

ϕ(x) = 5λC1x − 3λC2 + x + α ;

Характеристическое число λ0 =

, собственная функция ϕ0 = 5x − 3 . Для λ = λ0

неодно-

родная система

4πα

C1 = 4π Z

y2ϕ(y) dy ,

(1 − 5πλ)C1 + 4πλC2 = β1 ,

β1 = π +

4π

−4πλC1 + (1 + 3πλ)C2 = β2 ,

β2 =

+ πα ,

C2 = 4π Z0

ϕ(y) dy

разрешима в случае β1 = β2 = α = −

λ = λ

: ϕ =

5x − 3

Ответ: λ0

, ϕ0 = 5x

3 ; α =

5(1 − πλ)

−

λ = λ

ϕ = (5x

3)K

+ x

, K

= CONST .

−

− 4

2011-2012

МФТИ-21

7. 4

ФОПФ,ФПФЭ

Искомая u(x) есть решение задачи Дирихле u = 12(x12 − x22) , |x| < 1 , u||x|=1 = 0

или в

ur +

uϕϕ = 12 r2COS

2ϕ , 0 ≤ r < 1 , ϕ [0, 2π] , u|r=1 = 0 ,

полярных координатах urr +

т.е.

u(r, ϕ) = (r4 − r2) COS 2ϕ = (x12 − x22) (x12 + x22 − 1) .

Ответ: u(r, ϕ) = (r4 − r2) COS 2ϕ = (x12 − x22) (x12 + x22 − 1) .

(2)

! COS 2ϕ +

∞

(2)

! SIN 2ϕ ;

µ3 r

µj r

7. 4

ФУПМ

u = Q(t) J2

Tj (t) J2

j=1

(1)

! J2

(2)

! r dr

Z J1

! =

! = aj

µ1

µj r

µ(1) r

∞

µ(2)r

aj J2

;

(2)

! r dr

µj

j=1

9 hµ3(2)i2

Q ′ +

Q + 2Q = 1 , Q(0) = 0 =

Q(t) =

E−βt

, β =

9 hµ3(2)i2

+ 2 ;

Tj ′ +

9 hµj

Tj + 2Tj

= 0 , Tj (0) = aj

, γj

+ 2 ;

Tj (t) = aj E−γj t

9 hµj

4 (2)

−

(2)

L u = − hx

− 21

′

−

7. 4

ФАКИ,ФФКЭ

= λ u

+ x

или

L u = −[p(x) u′(x)]′ + q(x) u(x) = λ u(x) , p(x) = x− 21

, q(x) = x− 25 .

Общее решение однородного уравнения Lu = 0 : u=α x2 + β x− 21 . Рассматриваем две задачи:

Lv1 = 0 , v1′ (1) = 0 = v1 = x2 + 4 x− 21

;

Lv2 = 0 , v2(4) = 0 = v2 = x2 − 32 x− 21 .

Определитель Вронского w(x) = v2′ v1 − v1′ v2 = 90 x− 21

= p(x)w(x) ≡ 90 . Функция Грина

, 1 ≤ x ≤ ξ ≤ 4 ,

x2 + 4 x− 21

ξ2 − 32 ξ−

−

≤

(x, ξ) =

− 90

32 x

−

+ 4 ξ

−

1 ξ

x 4 .

− 90 x

32 x

ξ + 4 ξ

, 1 ξ

x 4 .

+ 4 x− 21

ξ2

− 32

ξ−

1 ≤ x ≤

≤ 4 ,

(x, ξ) u(ξ) dξ , где (x, ξ) =

−

≤

Ответ: u = λ

− 21

− 1

7. 4

ФАЛТ

Ответ: u(x, t) = 3 θ(x + t − 1) − 3 θ(x − t − 1) − 2 θ(x + 2t − 1) + 2 θ(x − 2t − 1) ,

v(x, t) = 2 θ(x + t

−

2 θ(x

−

θ(x + 2t

−

1) +

θ(x

−

1) .

x + t − 1 = 0

(I)

, x − t − 1 = 0

(II)

x + 2t − 1 = 0

(III)

x − 2t − 1 = 0 (IV ) .

Линии разрыва:

2011-2012

МФТИ-22

1. 6

ξ = x2 + y , η = x − y ; uξη = 0 = u = f(ξ) + g(η) ; f(ξ) = √

− g(0) , g(η) = η2 − f(0) , f(0) = −g(0) .

u(x, y) = (x − y)2 + px2 + y . Область: 0 < x2

Ответ:

+ y < 2 0 < x − y < 6

x < −

2. 5

ξ = 2x − t , η = 2x + t

= u = f(ξ) + g(η) ;

g(η) = η2 + 2η + K0 , η > 0 ; f ′(ξ) + f(ξ) = 3ξ2 + 6ξ − K0 , ξ < 0 ,

f(ξ) =

6ξ2 − 6ξ + 6 − K0 ,

ξ > 0 ,

; f

f(+0) = f(

−

0) =

K1 = 6 ,

K1 E−ξ + 3ξ − K0 , ξ < 0 ,

ξ −→ +0 : f(ξ) = −K0+6−6ξ+6ξ2 ; ξ −→ −0 : f(ξ) = −K0+6−6ξ+6ξ2+O(ξ3) = f C2 .

Ответ: u(x, t) = (2x + t)2 +

6(2x

t)2 − 8x + 8t + 6 ,

0 ≤ t ≤ 2x ,

причем u(x, t)

C2(x

0 , t

0) .

6 E−2−x+t + 3(2x − t)2 + 4x + 2t ,

0 ≤ 2x ≤ t ,

≥

∞

2k+1

∞

2k+1

3. 7

u(x, t) =

k=0 Tk(t) COS

x ,

x − 2π =

k=0 ak COS

x , ak = −

;

π(2k+1)2

T ′′

4 T

= 144 COS 2t , T (0) = 18 , T

′ (0) = 2 =

= SH 2t

18 COS 2t ;

◦ −

−

◦

−

◦

T1′′

+ 4 T1 = 16 COS 2t , T1(0) = 1 , T1′ (0) = 0 = T1 = 4t SIN 2t + COS 2t ;

k 6= 0, 1 : Tk′′ + [(2k + 1)2 − 5 ] Tk = −9 π ak COS 2t , Tk(0) = 0 , Tk′ (0) = 0 =

π a

γkt − COS 2t] , γk = 2

√k2 + k − 1 ;

= Tk = 9γk2−4k

[COS

Ответ:

u(x, t) = [ SH 2t − 18 COS 2t ] COS x4 + [ 4t SIN 2t + COS 2t ] COS

∞

π a

[ COS γkt

− COS 2t

] COS

2k+1

− COS

2t x , γk

= 2

√

+ k − 1 .

+ Pk=2 γk −4

4. 4

u = −2 r COS 3ϕ + v

= v = 0 , v|r=1 = 2 + SIN 3ϕ ,

vr|r=2 = 12 SIN 3ϕ ;

Ответ: u(r, ϕ) = 2 + r3 SIN 3ϕ − 2 r COS 3ϕ .

5. 5

= t

E−25t

COS (3x − 4z) , u

= u + v = vt − v = 0 ;

t=0

= x2y2z2 + 1 SIN (x + 2y + 4z) + 1 SIN (x + 2y + 2z) ;

| b

v = (x2 + 2t)(y2 + 2t)(z2 + 2t) + 1

E−21t SIN (x + 2y + 4z) +

E−9t SIN (x + 2y + 2z) ;

Ответ:

u(x, y, z, t) = t E−25tCOS (3x − 4z) + (x2 + 2t)(y2 + 2t)(z2 + 2t) + 21

E−21t SIN (x + 2y + 4z) + 21 E−9t SIN (x + 2y + 2z) .

6. 6

ϕ(x) = 2λC1x −

λC2 + 10x

+ αx ;

Характеристическое число

λ0 =

, собственная функция ϕ0 = 2x − 1 . Для λ = λ0 неодно-

родная система

(3 − 4πλ)C1 + 3πλC2 = β1 ,

β1 = 15π + 2πα

C1 = 2 π Z1 y ϕ(y) dy ,

3πα

−3πλC1 + (3 + 2πλ)C2 = β2 ,

β2 = 12π +

C2 = 2

π Z0

ϕ(y) dy

разрешима в случае β1 = β2 = α = −6 .

3 λ 6= λ0 : Ответ: λ0 = π , ϕ0 = 2x − 1 ; α = −6 : λ = λ0 :

ϕ= 6λπx − 3πλ + 10x2 − 6x , 3 − πλ

ϕ= (2x − 1)K0 + 10x2 − 8x , K0 = CONST .

2011-2012

МФТИ-22

7. 4

ФОПФ,ФПФЭ

Искомая u(x) есть решение задачи Дирихле u = 0 , |x| < 1 , u||x|=1 = 2x22

или в полярных

координатах

urr +

uϕϕ

= 0 , 0 ≤ r < 1 , ϕ [0, 2π] , u|r=1 = 1 − COS 2ϕ , т.е.

u(r, ϕ) = 1 − r2 COS 2ϕ = 1 − x12 + x22 .

Следовательно

| u|2dx = 4 Z

(x12 + x22)dx = 2π

|x|<1

Ответ:

INF

= 2

| u| dx

π .

u H

|x|<1

(3)

! COS 3ϕ +

∞

(3)

! SIN 3ϕ ;

7. 4

ФУПМ

u = Q(t) J3

µ2 r

Tj (t) J3

µj r

j=1

! J3

! r dr

(2)

(3)

µ1 r

µj r

µ(2) r

∞

µ(3)r

aj J3

! = aj =

;

(3)

j=1

µj

! r dr

4 hµ2(3)i2

Q ′ +

Q + Q = 0 , Q(0) = 1 =

Q(t) = E−βt , β =

4 hµ2(3)i2

+ 1 ;

4 hµj(3)i2

Tj ′+

Tj +Tj

= aj E−t

, Tj

(0) = 0 =

Tj (t) =

E−t

−

E−γj t

, γj =

+1 ;

γj − 1

L u = − hx

′

−

7. 4

ФАКИ,ФФКЭ

+ x

u = λ u

или

L u = −[p(x) u′(x)]′ + q(x) u(x) = λ u(x)

, p(x) = x

, q(x) = x−

3 .

Общее решение однородного уравнения Lu = 0 : u=α x + β x− 31

. Рассматриваем две задачи:

Lv1 = 0 , 8 v1

+3 v1′

= 0 = v1 = x−

;

Lv2 = 0 , v2(1)+v2′

(1) = 0 = v2 = x−3 x−

3 .

Определитель Вронского

w(x) = v2′ v1 − v1′ v2 =

x−

= p(x)w(x) ≡

. Функция Грина

x− 31 ξ − 3 ξ− 31

81 ≤ x ≤ ξ ≤ 1 ,

(x, ξ) =

−

− 3

− 4

1 .

−

3 x

≤

x− 31 ξ − 3 ξ− 31

81 ≤ x ≤ ξ ≤ 1 ,

Ответ: u = λ

(x, ξ) u(ξ) dξ , где

(x, ξ) =

− 4

−

3 x

1 .

−

≤

7. 4

ФАЛТ

Ответ: u(x, t) = −θ(x + t − 2) + θ(x − t − 2) + 4 θ(x + 2t − 2) −

4 θ(x − 2t − 2) ,

v(x, t) =

−

θ(x + t

−

2) + θ(x

−

2) +

θ(x + 2t

−

θ(x

−

2) .

x + t − 2 = 0 (I)

, x − t − 2 = 0

(II) ,

x + 2t − 2 = 0

Линии разрыва:

(III) , x − 2t − 2 = 0 (IV ) .

2011-2012

МФТИ-23

1. 6

ξ = 2x − y

, η = x − y ; uξη

= 0 = u = f(ξ) + g(η) ; f(ξ) =

+ K0

, g(η) = −CH η − K0 .

8 ξ

Ответ:

u(x, y) = 81 (2x − y2)3 − CH (x − y) . Область: 0 < 2x − y2 < 3

0 < x − y < 23

y < 1 .

2. 5

ξ = x − t , η = x + t , u = t

+ v = v

= f(ξ) + g(η) ;

v|t=0 = x CH x + SIN2 x , vt|t=0 = −x SH x − CH x − SIN 2x , (v − vx)|x=0 = t2 + t − 1 ;

g(η) = K0 , η > 0 ; f ′(ξ) − f(ξ) = K0 + 1 + ξ − ξ2 , ξ < 0 ;

f(ξ) =

ξ CH ξ + SIN2 ξ − K0 ,

ξ > 0 ,

; f

f(+0) = f(

−

0) =

K1 = 0 ;

K1 Eξ − K0 + ξ + ξ2 , ξ < 0 ,

ξ −→ +0 : f(ξ) = −K0 + ξ + ξ2 + O(ξ3) ; ξ −→ −0 : f(ξ) = −K0 + ξ + ξ2 = f C2 .

Ответ: u(x, t) = t3 + x3

(x − t) CH (x − t) + SIN2 (x − t) ,

0 ≤ t ≤ x ,

причем u(x, t)

0 , t

0) .

x − t + (x − t)2 ,

0 ≤ x ≤ t ,

≥

3. 7

u(x, t) =

∞

(t) COS (2k + 1)x ,

π =

∞

COS (2k + 1)x , a

;

Pk=0

′′

−3t

−

2′

Pk=0

−3t

− π(2k+1)

T◦

− 9 T◦ = 36 E

, T◦(0) = 0 , T◦(0) = 3

= T◦ = −6 t E

+ 3 SH 3t ;

T1′′ − T1 = 4 E−3t , T1(0) = 2 , T1′(0) = 0 =

T1 = 3 2E

+ E

−3t

;

k 6= 0, 1 : T ′′ + [(2k + 1)2 − 10] Tk = −9 π ak E−3t , Tk(0) = 0 , Tk′ (0) = 0

= 9 π2

3 sin γk t

E−3t

, γk = √

COS γk t

4k2 + 4k

9 ;

−t

k−3t

−

Ответ:

(

−3t k +9

x, t

) = 3 SH 3t

6 t E

COS x +

3 E

+ E

SIN 3

−

9 π ak

E−3tx

∞

3 sin γk t

+ 4k − 9 .

+ Pk=2 γk2+9

hCOS γk t −

γk

−

i COS (2k + 1)x , γk = √4k

4. 4

u = r3 SIN 2ϕ + v = v = 0 , vr|r=1 = COS 2ϕ ,

v|r=2 = 3 + 2 COS 2ϕ ;

Ответ: u(r, ϕ) = 3 +

1 r2 COS 2ϕ + r3 SIN 2ϕ .

5. 5

u = −4 t CH (3x + 4z) , u

= u + v = vtt − v = 0 ;

= xy2 + yz2 + zx2

, v

= 4 CH (3x + 4z) ;

b |t=0

bt|t=0

v = xy2 + yz2 + zx2 + t2[x + y + z] +

SH 5t CH (3x + 4z) ;

Ответ:

u(x, y, z, t) = −4 t CH (3x + 4z) + xy2 + yz2 + zx2 + t2[x + y + z] + 54 SH 5t CH (3x + 4z))

6. 6

ϕ(x) = −3λC1x + 5λC2 + αx + 1 ;

Характеристическое число

λ0 =

, собственная функция ϕ0 = x − 1 . Для λ = λ0

неодно-

2π

родная система

(3 + 18πλ)C1 − 40πλC2 = β1 ,

β1 = 6πα + 8π

C1 = 8 π Z1 y2ϕ(y) dy ,

24πλC1 + (5 − 50πλ)C2 = β2 ,

β2 = 8πα + 10π

C2 = 8 π Z0

ϕ(y) dy

разрешима в случае β1 = β2 = α = −1 .

λ = λ

ϕ =

1 − x

Ответ:

λ0 =

, ϕ0

= x

−

1 ; α =

−

1 :

2πλ

x + 3 , K0 = CONST .

2π

λ = λ0

ϕ = (x−

1)K0

−

2011-2012

МФТИ-23

7. 4

ФОПФ,ФПФЭ

Искомая

u(x)

есть решение задачи Дирихле u = 24 x1 x2 , |x|

< 1 , u||x|=1

= 0

или в

uϕϕ = 12 r2 SIN

полярных координатах urr +

ur +

2ϕ , 0 ≤ r < 1 , ϕ [0, 2π] , u|r=1 = 0 ,

т.е.

u(r, ϕ) = (r4 − r2) SIN 2ϕ = 2 x1 x2 (x12 + x22 − 1) .

Ответ: u(r, ϕ) = (r4 − r2) SIN 2ϕ = 2 x1 x2 (x12 + x22 − 1) .

(1)

! SIN ϕ +

∞

(1)

! COS ϕ ;

µ3 r

µj r

7. 4

ФУПМ

u = Q(t) J1

Tj (t) J1

j=1

! J1

! r dr

(2)

(1)

Z J2

µ3 r

µj r

µ(2) r

∞

µ(1)r

aj J1

! = aj

;

(1)

j=1

µj

! r dr

9 hµ3(1)i2

′ +

Q + 2Q = E−2t

, Q(0) = 0 =

Q(t) =

E−2t

E−βt

, β =

+ 2 ;

9 hµj(1)i

− 2

−

9 hµj(1)i

Tj ′ +

Tj + 2Tj = 0 , Tj (0) = 2aj =

Tj (t) = 2aj E−γj t , γj =

+ 2 ;

= −

√

u′

′

7. 4

ФАКИ,ФФКЭ

λ u

или

+ 2x 2 =

√

p x

u′ x

′

q x

u x

λ u x

, p x

, q x

)]

) =

)

) = 2x−

= −[ ( )

(

( )

(

) =

(

Общее решение однородного уравнения Lu = 0 : u=α x + β x− 21

. Рассматриваем две задачи:

Lv1 = 0 , v1

= 0 = v1

= −8 x+x−

;

Lv2 = 0 ,

2 v2(1)+v2′

(1) = 0 = v2 = x−2 x−

2 .

w(x) = v2′ v1 − v1′ v2

Определитель Вронского

= −

x− 2

= p(x)w(x) ≡ −

. Функция

Грина

−8 x + x− 21 ξ − 2 ξ− 12

41 ≤ x ≤ ξ ≤ 1 ,

(x, ξ) =

−

− 2

x − 2 x

−8 ξ + ξ

4 ≤ ξ ≤ x ≤ 1 .

Ответ: u = λ

−8 x + x− 21 ξ − 2 ξ− 21

41 ≤ x ≤ ξ ≤ 1 ,

(x, ξ) u(ξ) dξ , где

(x, ξ) =

45 x 2 x

−

ξ + ξ

− 2

x 1 .

−

≤ ≤ ≤

7. 4

ФАЛТ

Ответ: u(x, t) = − 2

θ(x + t − 3) + 2

θ(x − t − 3) + 4

θ(x + 2t − 3) − 4

θ(x − 2t − 3) ,

v(x, t) =

− 2

θ(x + t

−

3) + θ(x

−

3) + θ(x + 2t

−

θ(x

−

3) .

x + t − 3 = 0

(I)

, x − t − 3 = 0

(II)

, x + 2t − 3 = 0 (III)

Линии разрыва:

, x − 2t − 3 = 0 (IV ) .

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2016796.04 Кб21ТРЯП 2015.pdf
#
03.06.2015653.46 Кб56ТФКП методичка.pdf
#
03.06.201510.77 Mб262ТФКП Половинкин.pdf
#
10.12.2018259.07 Кб0Т№12мет.указ. 2009.doc
#
10.12.2018183.3 Кб7Т№14 мет.указ. 2009.doc
#
03.06.2015821.77 Кб26УМФ_2012.pdf
#
22.09.2019653.01 Кб8устный экзамен по геометрии.docx
#
03.06.20151.25 Mб41Учебник для студентов.pdf
#
30.11.2018183.3 Кб23Ф11.doc
#
25.08.2019108.03 Кб15ФАП № 90 от 09.07.07г..doc
#
03.06.2015142.27 Кб31физика.docx