Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТФКП методичка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

653.46 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

x 7. ‚ëç¨á«¥-¨¥ -¥á®¡áâ¢¥--ëå ¨-â¥£à «®¢

•â®â ¨-â¥£à « à ¢¥- -ã«î, â ª ª ª äã-ªæ¨ï eiz=z à¥£ã«ïà-

¢-ãâà¨ ª®-âãà ¡½;R. ‘ ¤àã£®© áâ®à®-ë, ®- à ¢¥- áã¬¬¥ ¨-â¥£- à «®¢, ¢§ïâëå ¯® ¯®«ã®ªàã¦-®áâï¬ ¡½, ¡R ¨ ®âà¥§ª ¬ [¡R; ¡½], [½; R]. ˆ¬¥¥¬

eiz = 1 + h(z); z z

£¤¥ h(z) | äã-ªæ¨ï, à¥£ã«ïà- ï ¢ â®çª¥ z = 0. …á«¨ z 2 ¡½, â®

z = ½ei'; 0 6 ' 6 ¼; dz = i½ei' d'

	0
Z	1	dz = i Z¼	d' = ¡i¼:

	z
¡½

”ã-ªæ¨ï h(z) ®£àR -¨ç¥- ¢ ®ªà¥áâ-®áâ¨ â®çª¨ z = 0 ¨, á«¥- ¤®¢ â¥«ì-®, "1(½) = h(z) dz ! 0, ¯à¨ ½ ! +0. Žâáî¤ ¯®«ã-

ç ¥¬

¡½

Z eiz

z dz = ¡i¼ + "1(½):

¡½

•® «¥¬¬¥ †®à¤ - "2(R) = R eziz dz áâà¥¬¨âáï ª -ã«î ¯à¨

¡R

R ! +1. „ «¥¥, áã¬¬ ¨-â¥£à «®¢ ¯® ®âà¥§ª ¬ [¡R; ¡½], [½; R] à ¢-

Z x

Z½ x

Z½

¡½

eix

dx +

eix

dx =

eix ¡ e¡ix

dx = 2i

sin x

dx:

¡R

‘«¥¤®¢ â¥«ì-®,

dx ¡ i¼ + "1(½) + "2(R);

(5)

0 = I½;R = 2i Z½

sin x

£¤¥ "1(½) ! 0 (½ ! +0), "2(R) ! 0 (R ! +1). ’ ª ª ª ¨-â¥£-

à « I áå®¤¨âáï, â® áãé¥áâ¢ã¥â

		R
	lim	Z	sin x	dx = I:
R	lim			dx = I:
R	!+		x
½	+0

! 1 ½

•¥à¥å®¤ï ¢ á®®â-®è¥-¨¨ (5) ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ ½ ! +0, R ! +1,

¯®«ãç ¥¬ 2iI ¡ i¼ = 0, ®âªã¤

I = ¼=2.

•à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à «

I = Z0

dx:

(6)

(x + 8)2

•¥è¥-¨¥. ‚ ª®¬¯«¥ªá-

®© ¯«®áª®áâ¨ á à §à¥§®¬ ¯® «ãçã

«ïà-®© ¢¥â¢ìî ¬-®£®§- çp

[0; +1) äã-ªæ¨ï f(z) =

3 jzjei'=3, 0 < ' < 2¼, ï¢«ï¥âáï à¥£ã-

z© <

• áá¬®âà¨¬ ®¡« áâì

-®© äã-ªæ¨¨

p3 z

(

18{19).

| ªàã£

z :

R > 8, á à §à¥-

§®¬ ¯® à ¤¨ãáã [0; R]. ƒà -¨æ

íâ®© ®¡« áâ¨ ¡ = °+ [ CR [ °¡,

£¤¥ °+ | ¢¥àå-¨© ¡¥à¥£ à §à¥§ , CR | ®ªàã¦-®áâì fz : jzj =

= Rg, °¡ | -¨¦-¨© ¡¥à¥£ à §à¥§ , ®à¨¥-â æ¨ï ªà¨¢®© ¡ ¯®ª - § - - (à¨á. 7.3).

°+

¡8 0 °¡ R

•¨á. 7.3

”ã-ªæ¨ï g(z) = f(z)2 à¥£ã«ïà- ¢ ®¡« áâ¨ D, § ¨áª«îç¥-

(z+8)

-¨¥¬ â®çª¨ z = ¡8 | ¯®«îá ¢â®à®£® ¯®àï¤ª , ¨ -¥¯à¥àë¢-

x 7. ‚ëç¨á«¥-¨¥ -¥á®¡áâ¢¥--ëå ¨-â¥£à «®¢

®ª®«® ¡ ¢¯«®âì ¤® ¡. •® â¥®à¥¬¥ ® ¢ëç¥â å ¯®«ãç ¥¬

g(z) dz = 2¼i res g(z);

â. ¥.

z=¡8

f(z)

(z)

dz + Z

dz =

(z + 8)2

°+

°¡

f(z)

= 2¼i res

: (7)

(z + 8)2

z=¡8

•®ª ¦¥¬, ª ª á ¯®¬®éìî íâ®£® à ¢¥-áâ¢

¬®¦-® ¢ëç¨á«¨âì

¨-â¥£à « (6). • áá¬®âà¨¬ ¯®®ç¥à¥¤-® ç«¥-ë à ¢¥-áâ¢

(7).

1. Žæ¥-¨¬ ¨-â¥£à «

IR = Z

(z)

dz:

(z + 8)2

•à¨ jzj = R ¯®«ãç ¥¬

jf(z)j = p3

R; jz + 8j > jjzj ¡ 8j = R ¡ 8 > 0;

®âªã¤

. •®íâ®¬ã

jz+8j

R¡8

jIRj 6

¢ 2¼R ! 0

¯à¨

R ! +1:

(R ¡ 8)2

…á«¨ z 2 °+, â®

f(z) = f(x + i0) = p3

x; x > 0:

•®íâ®¬ã

(z)

I1 =

°Z+

dz = Z0

dx:

(z + 8)2

(x + 8)2

Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ R ! +1 íâ®â ¨-â¥£à « áâà¥¬¨âáï ª ¨áª®- ¬®¬ã ¨-â¥£à «ã (6).

…á«¨ z 2 °¡, â®

f(z) = f(x ¡ i0) = p3

xe2¼i=3; x > 0:

•®íâ®¬ã ¨-â¥£à «

f(z)

I2 =°Z

dz = ¡e2¼i=3

dx = ¡e2¼i=3 ¢ I1:

(z + 8)2

•à ¢ ï ç áâì à ¢¥-áâ¢

(7) -¥ § ¢¨á¨â ®â R ¯à¨ R > 8

¨ à ¢-

¢ z=¡8 (z + 8)2

0(z)¯z=

8= 2¼i 3z

¯z=

8 =

f(z)

2¼i

res

= 2¼if

=2¼i ¢ 3(¡2 8)e¼i=3 = ¡¼i6 e¼i=3:

‚à¥§ã«ìâ â¥ ¨§ à ¢¥-áâ¢ (7) ¯à¨ R ! +1 ¯®«ãç ¥¬

³1 ¡ e2¼i=3´I = ¡¼i6 e¼i=3;

®âªã¤

I =

¼ie¼i=3

= ¼

6 ¡1 ¡ e

2¼i=3

¢ 12 e

¼i=3

e ¼i=3

12 sin

¡2i

= 6p3: N

•à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à «

I = Z2 s5 (2 ¡ x)3 dx:

(x ¡ 1)3

•¥è¥-¨¥. „«ï ¢ëç¨á«¥-¨ï íâ®£® ¨-â¥£à « á ¯®¬®éìî ¢ë- ç¥â®¢ à¥£ã«ïà-® ¯à®¤®«¦¨¬ ¯®¤ë-â¥£à «ì-ãî äã-ªæ¨î á ¨-- â¥à¢ « (1; 2] ¢ -¥ª®â®àãî ®¡« áâì ¢ C, £à -¨æ ª®â®à®© á®¤¥à-

¦¨â ®âà¥§®ª [1; 2]. ’ ª ª ª ¯®¤ë-â¥£à «ì- ï äã-ªæ¨ï ¯à¨ ¯à®-
â® -¥®¡å®¤¨¬® ¯®§ ¡®â¨âìáï ® ¢®§¬®¦-®áâ¨ ¢ë¤¥«¥-¨ïn					à¥£ã«ïào-
¤®«¦¥-¨¨ ¢		áâ -®¢¨âáï ¬-®£®§- ç-®© äã-ªæ¨¥©			(2¡z)3
	C			5
				q(z¡1)3 ,
-ëå ¢¥â¢¥© íâ®© äã-ªæ¨¨ ¢ ¯®«ãç¥--®© ®¡«			áâ¨.	‘«¥¤ãï à¥-

§ã«ìâ â ¬ x 18{19, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ ®¡« áâ¨ C n [1; 2]				ã äã-ªæ¨¨

x 7. ‚ëç¨á«¥-¨¥ -¥á®¡áâ¢¥--ëå ¨-â¥£à «®¢			55
y
	Cr	°
	Cr	°r+
		°r+
0	1	°r¡ 2	x

•¨á. 7.4

nq		o	f(z)		f(x + i0) > 0		x 2 (1; 2)
	3
5 (2¡z)3		áãé¥áâ¢ãîâ à¥£ã«ïà-ë¥ ¢¥â¢¨. ‚ë¡¥à¥¬ â ªãî ¥¥
	(z¡1)	áãé¥áâ¢ãîâ à¥£ã«ïà-ë¥ ¢¥â¢¨. ‚ë¡¥à¥¬ â ªãî ¥¥
à¥£ã«ïà-ãî ¢¥â¢ì				, ã ª®â®à®©		¯à¨		.
…á«¨ ¤«ï à §à¥§			[1; 2] ¢¢¥áâ¨, ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¥© § ¤ ç¥, ¤¢

¡¥à¥£ : ¢¥àå-¨© °+ ¨ -¨¦-¨© °¡, â® íâ ¢¥â¢ì f(z) -¥¯à¥àë¢-® ¯à®¤®«¦¨¬ - £à -¨æã °+ [ °¡ ¢áî¤ã, ªà®¬¥ â®çª¨ 1. —â®¡ë

¢ë¯®«-ï«¨áì ãá«®¢¨ï â¥®à¥¬ë Š®è¨ ® ¢ëç¥â å, -ã¦-® ¨áª«î- ç¨âì â®çªã 1 ¨§ £à -¨æë ¨ à áá¬®âà¥âì ®¡« áâì

D(r) =	C	n ([1; 2] [ fz : jz ¡ 1j 6 rg) ; £¤¥	r 2 (0; 1):
‚ íâ®© ®¡« áâ¨ äã-ªæ¨ï f(z) ¢áî¤ã à¥£ã«ïà-			(ªà®¬¥ 1) ¨

-¥¯à¥àë¢-® ¯à®¤®«¦¨¬ ¢¯«®âì ¤® ¥¥ £à -¨æë ¡r = Cr[°r+[°r¡,

£¤¥ ®ªàã¦-®áâì Cr = fz : jz ¡ 1j = rg ®à¨¥-â¨à®¢ -	¯® å®¤ã
ç á®¢®© áâà¥«ª¨, °r+ \| ¢¥àå-¨© ¡¥à¥£ à §à¥§ ®âà¥§ª	[1 + r; 2]

á ®à¨¥-â æ¨¥© ®â â®çª¨ 1 + r ¤® â®çª¨ 2, °r¡ | -¨¦-¨© ¡¥à¥£ à §à¥§ ®âà¥§ª [1 + r; 2] á ®à¨¥-â æ¨¥© ®â â®çª¨ 2 ¤® â®çª¨ 1 +

+r. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢ë¡à -- ï ®à¨¥-â æ¨ï £à -¨æë ¡r ï¢«ï¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ì-®© ¤«ï ®¡« áâ¨ D(r).

’ ª ª ª ¢ ®¡« áâ¨ D(r) äã-ªæ¨ï f(z) ¨¬¥¥â ¥¤¨-áâ¢¥--ãî ®á®¡ãî â®çªã z = 1, â® ¯® â¥®à¥¬¥ Š®è¨ ® ¢ëç¥â å ¯®«ãç ¥¬

Z+	+ Z	dz + Z	= 2¼i z=1
f(z) dz	f(z)	f(z) dz	res f(z):	(8)
°r	Cr	°r¡

•®ª ¦¥¬, çâ® ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ «¥¢®© ç áâ¨ (8) áâà¥¬¨âáï ª

-ã«î ¯à¨ r ! +0. ˆ¬¥¥¬

f(z) dz¯ 6

f(z) dz

¯Z

Z j

¯Cr

1 + r

3=5

1 + r

3=5

¯à¨

6 Z µ

jdzj = µ

2¼r ! 0

r ! +0:

…á«¨ x 2 °r , â® f(x) = r³x¡¡1

f(x) dx ! I

r ! +0:

f(z) dz =

¯à¨

(9)

1+r

°r

…á«¨ x 2 °r¡, â®

f(x) = s5

6¼

e¡i

;

â ª ª ª

¢° arg

2 ¡ z

6¼;

µz ¡ 1¶

£¤¥ ° = fz : jz ¡ 2j = "; 0 < " < 1g | ®ªàã¦-®áâì, ®à¨¥-â¨à®-

á®¢®© áâà¥«ª¨. •®íâ®¬ã
¢ -- ï ¯® å®¤ãZ fç(z) dz ! ¡e¡6¼i=5I			¯à¨ r ! +0:		(10)
°r¡
• ©¤¥¬ res f(z) =	c	, £¤¥ c	\| ª®íää¨æ¨¥-â ¯à¨	1	àï¤
z=1	¡ ¡1	¡1		z	àï¤

‹®à - äã-ªæ¨¨ f(z) ¢ ®ªà¥áâ-®áâ¨ â®çª¨ z = 1. …á«¨ x 2 R ¨ x > 2, â®

f(x) = s5

(2 x)3

2 3=5

1 ¡3=5

µ1 ¡ x¶

¯3¼i

1)3

¯6

¯e¡i3¼=5

= e¡3¼i=5 µ1 ¡ x¶

¶µ

+ : : :

1 +

+ : : : =

= e¡

= e¡3¼i=5

µ1 + µ

+ : : :¶ = S(x):

x 7. ‚ëç¨á«¥-¨¥ -¥á®¡áâ¢¥--ëå ¨-â¥£à «®¢

’ ª ª ª áã¬¬

- «¨â¨ç¥áª®£® ¯à®¤®«¦¥-¨ï ¯®«ãç¥--®£®

àï¤

S(z) ¨ äã-ªæ¨ï f(z)

à¥£ã«ïà-ë ¢ ª®«ìæ¥ fz : jzj > 2g,

¯à¨ç¥¬ f(x) = S(x) ¤«ï ¢á¥å x 2 R,

x > 2, â® ¯® â¥®à¥¬¥

¥¤¨-áâ¢¥--®áâ¨ ¤«ï à¥£ã«ïà-ëå äã-ªæ¨©

e¡3¼i=5

f(z) = S(z) = e¡3¼i=5 ¡

k=2

¤«ï ¢á¥å z 2 C, jzj > 2.

‘«¥¤®¢ â¥«ì-®,

res f(z) =

e¡3¼i=5:

(11)

¡1

•¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã ¢ à ¢¥-áâ¢¥

(8)

á ãç¥â®¬ á®®â-®è¥-

I ³1 ¡ e¡6¼i=5

¼ie¡3¼i=5

¨«¨

e3¼i=5

¡ e¡3¼i=5

3¼

;

®âªã¤ - å®¤¨¬

I =	3¼		:	N
I =	5 sin	3¼	:	N
	5 sin	5
		5

•à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à «

			I =	Z0	(x + 1)(x + 2)2 dx:				(12)
				+1		ln x
	•¥è¥-¨¥.	‚ ª®¬¯«¥ªá-®© ¯«®áª®áâ¨ á à §à¥§®¬ ¯® «ãçã
[0; +1) äã-ªæ¨ï h(z) = ln jzj + i', 0 < ' < 2¼ ï¢«ï¥âáï à¥£ã-
«ïà-®© ¢¥â¢ìî ¬-®£®§- ç-®© äã-ªæ¨¨ Ln z (x 17).
	Ž¡®§- ç¨¬				1
	R(z) =				1		; f(z) = R(z)h2(z)

			(z + 1)(z + 2)2
			(z + 1)(z + 2)2
¨	à áá¬®âà¨¬	®¡« áâì			D,	£à -¨æ		¡ ª®â®à®©	¯®ª § -
-	(à¨á. 7.5), £¤¥ 0 < ½ < 1,					R > 2.		‚ íâ®© ®¡« áâ¨ äã-ª-
æ¨ï f(z) à¥£ã«ïà- , §				¨áª«îç¥-¨¥¬ â®ç¥ª z = ¡1,					z = ¡2,

D C½ °+

¡2¡1 0 ½ °¡

•¨á. 7.5

ç¥â å ¯®«ãç ¥¬

Z f(z) dz + Z

f(z) dz +°Z f(z) dz +

C½

+ °Z

res

f(z)

(13)

f(z) dz = 2¼i ·z=¡1 f(z) + z=¡2

¸:

• áá¬®âà¨¬ ¯®®ç¥à¥¤-® ç«¥-ë íâ®£® à ¢¥-áâ¢ . ’ ª ª ª

jh(z)j 6 j ln jzjj + 2¼, â®

f(z) dz¯

h2(z) dz

(z + 1)(z + 2)

¯ Z

¯C½

(

2¼½

ln ½¯

+ 2¼)

¯j

¯à¨ ½

+0;

(1 ¡ ½)(2 ¡ ½)2

f(z) dz¯

h2(z) dz

(z + 1)(z + 2)

¯ Z

¯CR

2¼R

(ln R +¯

2¼)

¯à¨ R

+ :

(R ¡ 1)(R ¡ 2)2 !

…á«¨ z 2 °+, â® h(z) = ln x,

¥á«¨ z 2 °¡, â® h(z) = ln x +

x 7. ‚ëç¨á«¥-¨¥ -¥á®¡áâ¢¥--ëå ¨-â¥£à «®¢

à ¢-

R	R
Z½	ln2 x ¢ R(x) dx ¡ Z½	(ln x + 2¼i)2R(x) dx =		Z½	R(x) dx;
	= ¡4¼i Z½		ln x ¢ R(x) dx + 4¼2	Z½	R(x) dx;
		R		R

+1
I1 = Z0	dx	:

	(x + 1)(x + 2)2

¨ R. ’ ª ª ª z = ¡1 | ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®àï¤ª ,

z = ¡2 |

¯®«îá ¢â®à®£® ¯®àï¤ª

äã-ªæ¨¨ f(z), â®

res f(z) =

h2(z)

(z + 2)2 ¯z= 1 = (i¼) = ¡¼ ;

z=¡1

(z)

res f(z) =

¯2h(z)

z + 1

z(z + 1) ¡

(z + 1)2

¯z=¡2

¸¯¯

= ln 2 + i¼

2 + i¼)

= ¼

+ ln 2

2 ln 2):

(ln¯

ln 2 + i¼(1

ˆ§ à ¢¥-áâ¢

(13) á«¥¤ã¥â, çâ®

¡4¼iI + 4¼2I1 = 2¼i ¡ln 2 ¡ ln2 2 + i¼(1 ¡ 2 ln 2)¢;

®âªã¤

ãç¨âë¢ ï, çâ® I1

2 R,

I =

(ln2 2 ¡ ln 2):

x 8. Š®-ä®à¬-ë¥ ®â®¡à ¦¥-¨ï í«¥¬¥-â à-ë¬¨ äã-ªæ¨ï¬¨

‘¯à ¢®ç-ë¥ á¢¥¤¥-¨ï

1. ‘â¥¯¥-- ï äã-ªæ¨ï.

•ãáâì t 2 R. • áá¬®âà¨¬ - ®¡« áâ¨ G = C n [0; +1) äã-ª- æ¨î

w = jzjteit arg z;	£¤¥	arg z 2 (0; 2¼):		(1)
•â äã-ªæ¨ï à¥£ã«ïà-	- G.	•à¨ç¥¬ ¯à¨ t 6= 0 äã-ª-
æ¨ï (1) ®¤-®«¨áâ- - ®¡« áâ¨ D ½ G, ¥á«¨ D -¥ á®¤¥à¦¨â ¤¢ãå
à §«¨ç-ëå â®ç¥ª z1; z2, â ª¨å, çâ® z2 = z1 ¢ e2¼ik=t,				k 2 Z.
‚ ç áâ-®áâ¨, ¯à¨ t > 0 äã-ªæ¨ï (1) ®áãé¥áâ¢«ï¥â ª®-ä®à¬-
-®¥ ®â®¡à ¦¥-¨¥ ã£«®¢®© ®¡« áâ¨ G0;'0 =			fz : jzj	> 0; 0 <
< arg z < '0g, £¤¥ '0 6 2¼,	jtj'0	6 2¼; -	ã£«®¢ãî ®¡« áâì
G0;t'0 (à¨á. 8.1).

y
	'0
	'1
0	x

v
t'0
	t'1
0	u

•¨á. 8.1

• ¯à¨¬¥à, äã-ªæ¨ï w = z2 ª®-ä®à¬-® ®â®¡à ¦ ¥â

1)	¢¥àå-îî ¯®«ã¯«®áª®áâì fz : Im z > 0g -		¯«®áª®áâì á à §-
	à¥§®¬ C n [0; +1) (à¨á. 8.2);
2)	¯®«ãªàã£ fz : jzj < 1; Im z > 0g	-	ªàã£ á à §à¥§®¬
	fw : jwj < 1g n [0; 1) (à¨á. 8.3);
3)	¯®«ã¯«®áª®áâì fz : Im z > a > 0g -	¢-¥è-®áâì ¯ à ¡®«ë

fw = u + iv : v2 > 4a2(u + a2)g (à¨á. 8.4).

2. •ªá¯®-¥-æ¨ «ì- ï äã-ªæ¨ï.

”ã-ªæ¨ï w = ez ®áãé¥áâ¢«ï¥â ª®-ä®à¬-®¥ ®â®¡à ¦¥-¨¥ ¢ ®¡« áâ¨ D ½ C â®£¤ ¨ â®«ìª® â®£¤ , ª®£¤ D -¥ á®¤¥à¦¨â

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.11.201960.42 Кб2ТЗ к Уставу Родной Партии.doc
#
03.06.201595.74 Кб7Тотальная мобилизация.doc
#
01.05.2025134.99 Кб0ТРПО шпора.docx
#
03.06.2015733.35 Кб52Трухан. Динамика твердого тела.pdf
#
27.03.2016796.04 Кб23ТРЯП 2015.pdf
#
03.06.2015653.46 Кб60ТФКП методичка.pdf
#
03.06.201510.77 Mб333ТФКП Половинкин.pdf
#
10.12.2018259.07 Кб2Т№12мет.указ. 2009.doc
#
10.12.2018183.3 Кб8Т№14 мет.указ. 2009.doc
#
03.06.2015821.77 Кб27УМФ_2012.pdf
#
22.09.2019653.01 Кб14устный экзамен по геометрии.docx