ТФКП методичка

x 4. ‚ëç¨á«¥-¨¥ ¨-â¥£à «®¢ ¯® § ¬ª-ã⮬㠪®-âãàã

31

I = 2¼i³z=¼i

z=¡¼i f(z)´:

res f(z) +

res

z4

¯

§

z4

¯

§

res f(z) =

¯

¯

4

z=§¼i

(ez + 1)0 ¯z= ¼i = ez ¯z= ¼i = ¡¼ ;

®âªã¤ - 室¨¬ I = 2¼i(

¼4

¯ ¼4) =

4¼5¯i.

¡

¡

¡

•à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à «

I =jz,j=3

dz

:

(z ¡ 1)2 ¢ (1 ¡ cos z)

•¥è¥-¨¥.

• ©¤¥¬ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ¯®¤ë-â¥£à «ì-®©

äã-ªæ¨¨ f(z). •â® ª®à-¨ ãà ¢-¥-¨ï cos z = 1, â. ¥. â®çª¨ zk =

= 2¼k, k 2 Z,

â ª¦¥ â®çª

z = 1.

«¥¦ â ⮫쪮 â®çª¨ z = 1

ˆ§ -¨å ¢-ãâਠªàã£

z

< 3

fz : jej

g

e

I = 2¼i res f(z) + res f(z) :

z=1

z=0

â® ’ ª ª ª ze = 1 | ¯®«îá ¢â®à®£® ¯®à浪

¤«ï äã-ªæ¨¨ f(z),

1)2

0

1

0

res f(z) = lim

f(z)(z

= lim

=

¡

µ

1 ¡ cos z ¶

z=1

z!1 ¡

¡

¯

¢

z!1

¡

sin z

¯

sin 1

= ¡ (1

cos z)2

¯

= ¡(1

cos 1)2 :

¯z=1

’ ª ª ª

= µ

¶

0

1

1

= 1 + 2z + 3z2 + : : : ;

(1 ¡ z)2

1 ¡ z

1

1

2

1 ¡ cos z

1 ¡ ³1 ¡ z22 + z4!4 ¡ z6!6 + : : :´

=

=

= z2 1

z2

+ : : :

= z22

µ1 + 12 ¡ : : :¶;

1

z

2

³

¡ 12

´

â® ¯à¨ ¯¥à¥¬-®¦¥-¨¨ íâ¨å à冷¢ ¯®«ã稬

6

+ k=1 ckzk;

(1 + 2z + 3z2 + : : :) ¢ µz2

+ 6

+ : : :¶

= z2

+ z + 6 +

2

1

2

4

1

+1

X

®âªã¤ c¡1 = 4. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®,

¶:

N

z=0 f(z) = c¡1 = 4;

I = 2¼i µ4 ¡ (1 ¡ cos 1)2

res

sin 1

¢ --®© ®á®¡®© â®çª®© ¤«ï ¯®¤ë-â¥£à «ì-ëå äã-ªæ¨©.

•à¨¬¥à.

‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à «

I =jz+,ij=2

z2

1

sin

dz:

z2 ¡ 9

z

•¥è¥-¨¥.

“ ¯®¤ë-â¥£à «ì-®© äã-ªæ¨¨ f(z) =

z2

sin 1

2

¢á¥£® ç¥âëॠ®á®¡ë¥ â®çª¨: z0 = 0,

z1 = 3, z2 = ¡3,

z ¡9

z

z3 = 1.

x 4. ‚ëç¨á«¥-¨¥ ¨-â¥£à «®¢ ¯® § ¬ª-ã⮬㠪®-âãàã

33

‹®à -

¢ ®ªà¥áâ-®á⨠z0 = 0. ’ ª ª ª

1

1

1

1

1

sin

=

¡

+

¡

+ : : : ;

z

z

3!

¢

z3

5!

¢

z5

7!

¢

z7

z2

2

1

2

2

z4

= ¡

z

¢

= ¡

z

µ1 +

z

+

+ : : :¶ =

z2 ¡ 9

9

1

z92

9

9

92

¡

= ¡

z2

z4

z6

¡

¡

¡ : : : ;

9

92

93

â®, ¯¥à¥¬-®¦¨¢ ¯®«ãç¥--ë¥ àï¤ë, - 室¨¬

f(z) =

µz ¡

3! ¢ z3 + 5! ¢ z5

¡ 7! ¢ z7 + : : :¶

£

1

1

1

1

£

µ¡z9 ¡ 92 ¡

93 ¡ : : :¶ =

2

z4

z6

1

µ

1

1

1

¡ : : :¶

+1

X

=

z

3! ¢ 9

¡

5! ¢ 92

+

7! ¢ 93

+ k=

ckzk;

¡1

®âªã¤

k6¡=

1

1

1

1

1

1

1

c¡1 =

¡

+

¡ : : : =

¡

+

¡: : : :

3! ¢ 9

5! ¢ 92

7! ¢ 93

3! ¢ 32

5! ¢ 34

7! ¢ 36

’ ª ª ª

1

1

1

1

sin

=

¡

+

¡ : : : ;

â®

3

3

3! ¢ 33

5! ¢ 35

1

1

1

c¡1 = ¡ µsin

¡

¶ ¢ 3 = 1 ¡ 3 sin

:

3

3

3

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, I = 2¼i ¢ c¡1 = 2¼i(1 ¡ 3 sin 31 ).

2 ᯮᮡ.

•® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å ¤«ï ®¡« á⨠D = fz : jz +

+ ij > 2g ¨¬¥¥¬

µz=3 f(z) + z=¡3 f(z) + z=1

¶:

I =

¡

2¼i

res

res

res f(z)

’®çª¨

§3 п¢«повбп

¯®«îá ¬¨

¯¥à¢®£®

¯®à浪

¤«ï

äã-ª-

res

z2 sin 1

¯

z2 sin 1

¯

3

1

3 1

z

z

9)0

=

2z

= §2 sin µ§3

¶ = 2 sin 3

:

z=§3 f(z) = (z2

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

„«ï ¤ --®© äã-ªæ¨¨ f(z) â®çª

z = 1 | ¯®«îá ¯¥à¢®£®

¯®à浪 ¨ ¯®í⮬㠥¥ àï¤ ‹®à - ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠1 ¨¬¥¥â ¢¨¤

f(z) = Az + B +

c¡1

+

c¡2

+ : : : :

¡z

z

z2

¢, â®A

•ãáâì '(z) = f 1

£¤

'(z) =

+ B + c¡1z + : : : :

z

¯à¨¬¥à¥

= z

µ1 ¡ z + 2 + : : :¶µ1 + 2 +

6

+ : : :¶

=

'(z) = ez ¡ 1

e¡z

1

z2

z

z2

¡1

1

z2

z

z2

=

µ1 ¡ z +

+ : : :¶µ1 ¡

+

+ : : :¶:

z

2

2

12

•ã¦-® - ©â¨ ª®íää¨æ¨¥-⠯ਠz2 ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¨ ¢ëà ¦¥-

-¨© ¢ ᪮¡ª å. Ž- à ¢¥-

1

+ 21 + 21 = 1213 .

ˆâ ª, c¡1 = 1213

¨ zres=

12

f(z) = ¡1213 .

’®£¤

1

I = ¡2¼i µ¡12¶ = 6

:

N

13

13¼i

•à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à «

2¼

I = Z0

d'

;

a > 1:

a + sin '

•¥è¥-¨¥. •ãáâì z = ei', ' 2 [0; 2¼], ⮣¤

2i

2i

µ

¡ z

¶

sin ' =

ei' ¡ e¡i'

=

1

z

1

;

dz = iei'd' = iz d';

d' =

dz

:

iz

â ª ï, çâ® f(z) 6= 0

¯à¨ «î¡®¬

z 2 G

. •ãáâì áãé¥áâ¢ãîâ ¢ ®¡-

¨ g(z) 2

n

f(z)

« á⨠G ॣã«ïà-ë¥ ¢¥â¢¨ h(z)

2 Ln f(z)

¢®ç-ëå

(ãá«®¢¨ï áãé¥á⢮¢ -¨ï â ª¨å ¢¥â¢¥© ᮤ¥à¦ âáï ¢ á¯à©p

ª

ᢥ¤¥-¨ïå ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ à £à ä ). ’®£¤

¤«ï «î¡ëå â®ç¥ª

a; b 2 G á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢ëà ¦¥-¨ï

¯

h(b) = h(a) + ln

f(b)

+ i¢°ab arg f(z);

(1)

¯f(a)

¯

¯

¯

¯

n

¯f

(b)

¯

(i=n)¢°ab arg f(z)

(2)

g(b) = g(a) ¢ s¯f(a)

;

¯e

¯

¯

¯

¯

£¤¥ °ab | ¯à®¨§¢®«ì- ï, «¥¦¯

é ï¯

¢ ®¡« á⨠G ªãá®ç-® £« ¤ª ï

•à®¨§¢®¤-ë¥ à¥£ã«ïà-ëå ¢¥â¢¥©

h(z) 2 Ln f(z)

¨

g(z) 2

n

2 ©pf(z)ª ¢ ®¡« á⨠G ¢лз¨б«повбп ¯® д®а¬г« ¬

h0(z) =

f0(z)

; g0(z) =

f0(z)

:

(3)

n(g(z))n¡1

f(z)