ТФКП методичка

ª®â®à®¥ ®¡®§- ç ¥âáï res f(z). ˆâ ª,

z=a

res f(z) =

1

f(z) dz:

(1)

z=a

2¼ijz¡,aj=R

‘¨¬¢®«

㪠§ë¢ ¥â -

â®, çâ® ®¡å®¤ ª®-âãà ᮢ¥àè ¥âáï

¯®«®¦¨â¥«ì-®¬ - ¯à ¢«¥-¨¨ (¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨).

¢

1.2. ‚ëç+

¥â ¢ ¡¥áª®-¥ç-® 㤠«¥--®© â®çª¥.

z =

•ãáâì äã-ªæ¨ï f(z) ॣã«ïà-

¢ ®¡« á⨠jzj > ½ (â®çª

¤¥«ï¥¬®¥ ä®à¬ã«®©

°.R

z=1 f(z) = 2¼i

res

1

f(z) dz; 0 < ½ < R;

(2)

á«¥¢ ).

¢ â®çª¥ a =6 1,

‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ äã-ªæ¨ï f(z) ॣã«ïà-

â® res f(z) = 0, ¥á«¨ äã-ªæ¨ï f(z) ॣã«ïà-

¢ â®çª¥ z =

1

,

z=a

res f(z) + res f(z) = 0;

z=zk

z=1

k=1

res f(z) =

¡

res f(z):

(3)

z=

1

z=zk

x 3. ‚ëç¨á«¥-¨¥ ¢ëç¥â®¢

23

-®á⨠â®çª¨ a, â. ¥. ¢ ª®«ìæ¥ 0 < jz ¡ aj < ½, â® ®-

¯à¥¤áâ ¢«ï-

¥âáï ¢ í⮬ ª®«ìæ¥ à冷¬ ‹®à -

1

X

cn(z ¡ a)n;

f(z) =

(4)

’®£¤

n=¡1

nP

£¤¥ f1(z) =

1

c¡n n

| £« ¢- ï ç áâì àï¤ ‹®à - .

=1 (z¡a)

res f(z) = c

;

(5)

z=a

¡1

‹®à -

(4) ¯à¨ 1

.

z¡a

P

z =

(¢ ®¡« á⨠z > ½), â®

ॣã«ïà-®© ¢ ®ªà¥áâ-

3.2.

ɇǬ f(z) =

1

cnzn | àï¤ ‹®à -

äã-ªæ¨¨ f(z),

n=¡1

®á⨠â®çª¨

1

j j

res f(z) =

c

;

(6)

z=1

¡ 1

res f(z) = lim [(z

¡

a)f(z)] :

(7)

z=a

z a

!

•ãáâì f(z) = h(z)

h(z) ¨ '(z) | äã-ªæ¨¨, ॣã«ïà-ë¥

'(z) , £¤¥

¢ â®çª¥ a, ¯à¨ç¥¬

'(a) = 0; '0(a) = 0:

’®£¤

6

res f(z) =

h(a)

:

(8)

z=a

'0(a)

f(z) =

h(z)

;

z ¡ a

â®

res f(z) = h(a):

(9)

z=a

4.2. •®«îá ¯®à浪

m > 1.

…᫨ z = a (a 6= 1) | ¯®«îá ¯®à浪

m > 1, â®

res f(z) =

1

lim [(z

¡

a)mf(z)](m¡1) :

(10)

(m

z=a

¡

1)! z

!

a

‚ ç áâ-®áâ¨, ¥á«¨

f(z) =

h(z)

;

(11)

(z ¡ a)m

£¤¥ h(z) | äã-ªæ¨ï, ॣã«ïà- ï ¢ â®çª¥, ¨ h(a) 6= 0, â®

res f(z) =

1

h(m¡1)(a);

(12)

(m ¡ 1)!

z=a

â. ¥. ¢ëç¥â äã-ªæ¨¨ f(z)

¢ â®çª¥ a à ¢¥- ª®íää¨æ¨¥-âã ¯à¨

nP

(z ¡ a)m¡1 àï¤

’¥©«®à

h(z) =

1 cn(z ¡ a)n.

=0

5. ”®à¬ã«ë ¤«ï ¢ëç¥â

¢ ¡¥áª®-¥ç-® 㤠«¥--®© â®çª¥.

5.1. …᫨ äã-ªæ¨ï f(z) ॣã«ïà-

¢ â®çª¥ z = 1, â®

res

f(z) = zlim

[z (f(

1

)

¡

f(z))]

:

(13)

z=

1

!1

5.2. •ãáâì z = 1 | -ã«ì ¯®à浪

k äã-ªæ¨¨ f(z), ⮣¤

f(z) »

A

¯à¨ z ! 1;

A 6= 0:

(14)

zk

…᫨ ¢ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ä®à¬ã«¥ (14) k = 1, â®

f(z)

A

res f(z) =

A;

(14)

» z

¨

⮣¤

z=

1

¡

¥á«¨ k > 2, â®

res f(z) = 0.

z=1

x 3. ‚ëç¨á«¥-¨¥ ¢ëç¥â®¢

25

5.3. …᫨ äã-ªæ¨ï f(z) ¯à¥¤áâ ¢«¥- ¢ ¢¨¤¥ f(z) = '

1

¢,

£¤¥ äã-ªæ¨ï '(³) ॣã«ïà- ¢ â®çª¥ ³ = 0, â®

¡z

res f(z) =

'0(0):

(15)

z=

1

¡

•à¨¬¥àë á à¥è¥-¨ï¬¨

•à¨¬¥à. f(z) =

2 cos z¡cos3 z

,

a = ¼ • ©â¨ res f(z), ¥á«¨:

sin z

z=a

z2+7z

1=z2 ,

1)

f(z) =

, a = ¡1; 2) f(z) = ze

a = 1;

z2¡z¡2

3)

f(z) = 2 cos z¡cos3 z

a = ¼;

4) f(z) = z3+2z2+33

z , a = 1;

sin z

,

(z¡1)

1

5)

f(z) =

z(e2z¡1)

,

a = 0; 6) f(z) = ez=(1¡z), a = 1 ¨ a = 1;

z+1

z2

7)

f(z) = z sin z¡1 ,

a = 1; 8) f(z) =

,

a = 1.

(z¡2)(z2+1)

â® f(z) =

g(z)

z2+7z

z+1 , £¤¥ g(z) =

z¡2 . •® ä®à¬ã«¥ (9), £¤¥ g(¡1) = 2,

- 室¨¬

res f(z) =

g(¡1) = 2:

z=

¡

1

1

f(z) = z +

1

+

X

1

;

z

n=2

n!z2n¡1

res f(z) =

¡

1.

z=1

z = ¼ | ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 äã-ªæ¨¨ f(z),

3) ’®çª

â ª ª ª z = ¼ | -ã«ì ªà â-®á⨠1 äã-ªæ¨¨ sin z. •ãáâì

h(z) = 2 cos z ¡ cos3 z;

'(z) = sin z:

’®£¤

¯® ä®à¬ã«¥ (8), £¤¥ h(¼) =

1, '0(¼) =

1, - 室¨¬

¡

¡

ॣã«ïà-®áâ¨). „àã£¨å ®á®¡ëå â®ç¥ª ¢ ª®-¥ç-®© ¯«®áª®á⨠ã

äã-ªæ¨¨ f(z) -¥â. • ©¤¥¬ ª®íää¨æ¨¥-â c

àï¤ ‹®à - ¯à¨

1

¡1

z äã-ªæ¨¨ f(z). ˆ¬¥¥¬

1

z2

1

z

1

f(z) =

µ1 ¡

+ : : :¶µ¡

¶³1 ¡

´¡

=

z2

3!

¼

¼

1

z2

z

z2

= ¡

µ1 ¡

+ : : :¶µ1 +

+

+ : : :¶;

¼z2

3!

¼

¼2

®âªã¤

c

¡1

=

¡

1

¨

res f(z) =

¡

1

.

¼2

¼2

z=0

„

«¥¥, res f(z) = 0,

res f(z) =

res f(z) =

1

.

¼2

z=¼

z=

1

¡ z=0

•® ä®à¬ã«¥ (8) - 室¨¬ res

f(z) =

¡

e¡1. „«ï - 宦¤¥-

z=¡1

-¨ï ¢ëç¥â ¢ ¡¥áª®-¥ç-®á⨠¢®á¯®«ì§ã¥¬áï à §«®¦¥-¨¥¬ äã-ª-

樨 f(z) ¢ àï¤ ‹®à - :

1

¡1

f(z) = z2 µ1 +

¶

e1=z =

z

1

1

1

1

1

1

= z2 µ1 ¡

+

¡

+ : : :¶µ1 +

+

+

+ : : :¶;

z

z2

z3

z

2z2

6z3

®âªã¤ - 室¨¬, çâ® ª®íää¨æ¨¥-â

1

1

1

+1¡1

,

1

c1¡1 ¯à¨ z

à ¢¥- 6 ¡

2

â. ¥. c¡1 = ¡3 . •®í⮬ã zres=

f(z) = 3 . •® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å

1

1

res f(z) =

res f(z)

res f(z) = e¡1

¡

:

3

z=0

¡ z=¡1

¡ z=1

x 3. ‚ëç¨á«¥-¨¥ ¢ëç¥â®¢

29

£¤¥

g(z) =

1

cos

z ¡ 1

:

z +

2

z + 1

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®,

res f(z) =

1

cos

1

:

4

3

z=2

€- «®£¨ç-® - 室¨¬

res

1

2 f(z) = ¡4 cos 3:

z=

¡

”ã-ªæ¨ï f(z) ॣã«ïà-

¢ ¡¥áª®-¥ç-®á⨠¨ ¨¬¥¥â â ¬ -ã«ì ¢â®-

ண® ¯®à浪 (

f(z) »

cos 1=z2 ¯à¨

). •®í⮬ã

res

z ! 1

z=1 f(z) =

= 0. •® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å

res f(z) =

res f(z)

res

f(z) =

1

1

4 µcos 3 ¡ cos 3¶: N

z=¡1

¡ z=2

¡ z=¡2

£¤¥ an 6= 0,

bn 6= 0, â. ¥. Pn(z) ¨ Qn(z) | ¬-®£®ç«¥-ë á⥯¥-¨ n.

• ©¤¥¬

res f(z), £¤¥ f(z) = Pn(z)

z=1

Qn(z) .

•¥è¥-¨¥. ”ã-ªæ¨ï f(z) ॣã«ïà- ¢ â®çª¥ z = 1. „«ï

- 宦¤¥-¨ï ¨áª®¬®£® ¢ëç¥â ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®© (13), £¤¥

f(1) = abnn . ’®£¤

µbn ¡ bnzn+ bn¡1zn¡1

+: : :+ b1z + b0 ¶= '(z)

z(f(1)¡f(z)) = z

an

anzn+ an¡1zn¡1

+: : :+ a1z + a0

¨«¨

Ãbn

¡ bn

+ bn¡1

+ : : : + bn0

!

bn2

'(z) = z

an

an + anz¡1

+ : : : + zan0

=

anbn¡1 ¡ bnan¡1

+ h(z);

z

z

lim '(z) =

anbn¡1 ¡ bnan¡1

= res f(z):

N

z!1

bn2

z=1

f(z) dz = 2¼i

res f(z);

z=ak

¡+

k=1

res f(z) + res f(z) = 0:

z=ak

z=1

k=1

•à¨¬¥àë á à¥è¥-¨ï¬¨

•à¨¬¥à.

‚ëç¨á«¨âì ¨-â¥£à «

I =jz,j=4

4

z

dz:

ez + 1

•¥è¥-¨¥.

• ©¤¥¬ ¢á¥ ª®-¥ç-ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ¯®¤ë-⥣-