ТФКП методичка
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ŒŽ‘Š‚€ 2007
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“„Š 517
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(£®á㤠àá⢥--ë© ã-¨¢¥àá¨â¥â), 2007 °c ‘®áâ ¢¨â¥«¨, 2007
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‡¤ ç¨ á¥¬¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š• (2002{2003 £.) . . 73
‡¤ ç¨ á¥¬¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š• (2003{2004 £.) . . 74
‡¤ ç¨ á¥¬¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š• (2005{2006 £.) . . 75
x 10. Žâ¢¥âë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
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Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š• (2001{2002 £.) |
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Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š• (2002{2003 £.) |
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Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š• (2003{2004 £.) |
78 |
Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š• (2005{2006 £.) |
78 |
4
x 1. •ï¤ ‹®à -
‘¯à ¢®ç-ë¥ á¢¥¤¥-¨ï
1. Ž¡« áâì á室¨¬®á⨠àï¤ ‹®à - . •ï¤ ¢¨¤
1 |
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£¤¥ a | 䨪á¨à®¢ -- ï â®çª ª®¬¯«¥ªá-®© ¯«®áª®áâ¨, cn | § -
¤ --ë¥ ª®¬¯«¥ªá-ë¥ ç¨á« , - §ë¢ ¥âáï à冷¬ ‹®à - . •ï¤ (1) - §ë¢ ¥âáï á室ï騬áï ¢ â®çª¥ z, ¥á«¨ ¢ í⮩ â®çª¥ á室ïâáï
àï¤ë
|
1 |
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cn(z ¡ a)n; |
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X |
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n= 1 cn(z ¡ a) |
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= n=1 |
(z ¡ a)n |
; |
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¡ |
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(2)
(3)
á㬬 àï¤ (1) ¯® ®¯à¥¤¥«¥-¨î à ¢- á㬬¥ à冷¢ (2) ¨ (3). Ž¡« áâì á室¨¬®á⨠àï¤ (2) | ªàã£
jz ¡ aj < R
(¯à¨ R = 0 àï¤ (2) á室¨âáï ⮫쪮 ¯à¨ z = a, ¯à¨ R = 1 | ¢® ¢á¥© ª®¬¯«¥ªá-®© ¯«®áª®áâ¨). •ï¤ (3) á室¨âáï ¢ ®¡« áâ¨
jz ¡ aj > ½:
…᫨ ½ < R, â® àï¤ (1) á室¨âáï ¢ ®¡« áâ¨
D = fz : ½ < jz ¡ aj < Rg; |
(4) |
â. ¥. ¢ ªà㣮¢®¬ ª®«ìæ¥ á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ a (íâã ®¡« áâì - §ë-
¢ îâ ª®«ì殬 á室¨¬®á⨠àï¤ ‹®à - |
(1)). |
||
‘㬬 |
àï¤ ‹®à - ¢ ®¡« á⨠(4) |
|
ï¥âáï ॣã«ïà-®© |
äã-ªæ¨¥©, |
¢® ¢á类¬ § ¬ª-ã⮬ ª®«ìæ¥ |
|
|
D1 = fz : ½ < ½1 6 jz ¡ aj 6 R1 < Rg;
£¤¥ D1 ½ D, àï¤ (1) á室¨âáï à ¢-®¬¥à-®.
x 1. •ï¤ ‹®à - |
5 |
2. • §«®¦¥-¨¥ ॣã«ïà-®© äã-ªæ¨¨ ¢ àï¤ ‹®à - . |
|||||||
”ã-ªæ¨ï f(z), |
ॣã«ïà- ï ¢ ª®«ìæ¥ |
D, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï |
|||||
¢ í⮬ ª®«ìæ¥ á室ï騬áï à冷¬ ‹®à - (1), â. ¥. |
|||||||
|
|
|
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cn(z ¡ a)n; |
|
|
|
|
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d³; n 2 Z; |
½ < R0 < R; (6) |
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2¼i |
(³ ¡ a)n+1 |
||||||
j³¡aj=R0
®ªàã¦-®áâì ¢ ä®à¬ã«¥ (6) ®à¨¥-â¨à®¢ - ¯®«®¦¨â¥«ì-® (®¡å®¤ ᮢ¥àè ¥âáï ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨).
• §«®¦¥-¨¥ (5) äã-ªæ¨¨ f(z), ॣã«ïà-®© ¢ ª®«ìæ¥ D, ¥¤¨-á⢥--®.
3. •¥à ¢¥-á⢠Š®è¨ ¤«ï ª®íää¨æ¨¥-⮢ àï¤ |
‹®- |
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à - . |
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…᫨ äã-ªæ¨ï f(z) ॣã«ïà- |
¢ ª®«ìæ¥ |
|
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D = fz : ½ < jz ¡ aj < Rg; |
|
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j |
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°r = fz : jz ¡ aj = r; ½ < r < Rg; |
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â® ¤«ï ª®íää¨æ¨¥-⮢ cn àï¤ |
‹®à - (5) á¯à ¢¥¤«¨¢ë -¥à - |
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‡ ¬¥ç -¨¥. „«ï - 宦¤¥-¨ï ª®íää¨æ¨¥-⮢ cn àï¤ |
‹®- |
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à - (5) äã-ªæ¨¨ f(z), ॣã«ïà-®© ¢ ª®«ìæ¥ D = fz : ½ < jz ¡ ¡ aj < Rg; ä®à¬ã«ë (6) ®¡ëç-® -¥ ¨á¯®«ì§ãîâ, ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ
äã-ªæ¨î f(z) ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë f1(z) + f2(z), £¤¥ äã-ªæ¨ï f1(z) ॣã«ïà- ¢ ®¡« á⨠jz ¡ aj < R, äã-ªæ¨ï f2(z) ॣã«ïà- ¢ ®¡« á⨠jz ¡ aj > ½. • §«®¦¨¢ äã-ªæ¨î f1(z) ¢ àï¤ ’¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ a, äã-ªæ¨î f2(z) | ¯® ®âà¨æ ⥫ì-ë¬
6
á⥯¥-ï¬ z ¡ a á ¯®¬®éìî ¯à¨¥¬®¢, 㪠§ --ëå ¢ x 7, ¬®¦-®
- ©â¨ à §«®¦¥-¨¥ (5). …᫨ f(z) | à 樮- «ì- ï äã-ªæ¨ï, â® ¥¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¯à®áâëå ¤à®¡¥©.
•à¨¬¥àë á à¥è¥-¨ï¬¨ |
1 |
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•à¨¬¥à. ”ã-ªæ¨î f(z) = |
|
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(1¡z)(z+3) |
, ॣã«ïà-ãî ¢ ®¡« á- |
|
âïå D1 = fz : jzj < 1g, D2 = fz : 1 < jzj < 3g, D3 = fz : jzj > 3g, |
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à §«®¦¨âì ¢ íâ¨å ®¡« áâïå ¢ àï¤ ‹®à - . |
|
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|
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|
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•¥è¥-¨¥. •à¥¤áâ ¢¨¬ f(z) ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¯à®áâëå ¤à®¡¥©: |
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|
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f(z) = 4 |
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1 ¡ z + z + 3 |
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1 |
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1 |
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1 |
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…᫨ jzj < 1, â® |
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1 |
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1 |
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|
1 |
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1 |
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1 |
1 |
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1 |
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1 |
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(9) |
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1 |
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|
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3 1 + z |
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|
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= |
1 |
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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a) ‚ ®¡« á⨠D1, £¤¥ jzj < 1, ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ë (7), (8), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(10), ¯®«ãç ¥¬ |
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f(z) = |
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1 + (¡1)n |
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•â®â àï¤ ¥áâì àï¤ ’¥©«®à |
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¤«ï äã-ªæ¨¨ f(z). |
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x 1. •ï¤ ‹®à - |
7 |
¡) ‚ ®¡« á⨠D2, £¤¥ 1 < jzj < 3, ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ë (7), (9), (10), ¨¬¥¥¬
1 |
1 1 |
1 |
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1)nzn |
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X |
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¢ |
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µ¡4¶ zn + n=0 4¡ |
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•â®â àï¤ á®¤¥à¦¨â ª ª ¯®«®¦¨â¥«ì-ë¥, â ª ¨ ®âà¨æ ⥫ì- -ë¥ á⥯¥-¨ z.
¢) ‚ ®¡« á⨠D3, £¤¥ jzj > 3, ¨á¯®«ì§ãï à §«®¦¥-¨ï (7), (9), (11), - 室¨¬
X1 (¡1)n¡13n¡1 ¡ 1 f(z) = 4zn :
n=1
•â®â àï¤ á®¤¥à¦¨â ⮫쪮 ®âà¨æ ⥫ì-ë¥ á⥯¥-¨ z.
•à¨¬¥à. • 樮- «ì- ï äã-ªæ¨ï f(z) à §«®¦¥- ¢ àï¤ ‹®à -
X |
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n+1 |
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• §«®¦¨âì ¥¥ ¢ àï¤ ‹®à - |
¯® á⥯¥-ï¬ z ¢ ª®«ìæ¥, ᮤ¥à¦ 饬 |
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
||||
á室¨âáï ¢ ®¡« á⨠jzj > 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
àï¤ |
= ¡z n=0 |
µz2 |
¶ |
|
|
|
||||||||||
f2(z) = ¡ n=0 z2n+1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
4n+1 |
|
4 1 |
4 |
|
n |
|
|
||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ª®«ìæ¯ |
¯¥ 1 < z |
< 2j, â®j |
äã-ªæ¨î f2(z) -ã¦-® ¯à¥¤- |
||||||||||||||
áâ ¢¨âì à冷¬ ¯®¯ |
¯á⥯¥-jï¬j |
|
|
, á室ï騬áï ¢ ®¡« á⨠|
|
. |
|||||||||||
4 |
< 1, â. ¥. |
|
|
|
> 2. ’ ª ª ª â®çª |
3 |
|||||||||||
á室¨âáï, ¥á«¨ z2 |
|
z |
z = 2 |
||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jzj < 2 |
|
|
8
|
|
4 |
|
nP 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4z |
|
|
z |
|
|
||||||||
ˆá¯®«ì§ãï à §«®¦¥-¨¥ |
1 tn |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
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f2(z) ¢ ¢¨¤¥ |
|
|||||||||||||
=0 |
|
|
|
|
|
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1¡t , § ¯¨è¥¬ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
f2(z) = ¡ |
|
¢ |
|
|
|
|
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= ¡ |
|
|
= |
|
|
|
; |
|
|
|||||||||
z |
1 ¡ |
4 |
|
z2 ¡ 4 |
1 ¡ |
z2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
z2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||
®âªã¤ |
|
|
|
|
1 |
|
|
z2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2(z) = n=0 |
|
4n |
; jzj < 2; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
¨áª®¬®¥ à §«®¦¥-¨¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 1 < z < 2: |
|
|||||||||
f(z) = |
1 |
(¡1)n(n + 1) + 1 z2n+1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
j j |
|
N |
|||||||
|
n=0 |
|
z2n |
|
|
|
|
|
n=0 |
4n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
•à¨¬¥à. |
• §«®¦¨âì ¢ àï¤ ‹®à - |
¢ ª®«ìæ¥ á æ¥-â஬ |
||||||||||||||||||||||||
¢ â®çª¥ z = 0, ª®â®à®¬ã ¯à¨- ¤«¥¦¨â â®çª z = 3, äã-ªæ¨î |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
f(z) = |
3z3 + 6z2 ¡ 8 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 ¡ 3z ¡ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
“ª § âì £à -¨æë ª®«ìæ á室¨¬®áâ¨. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
•¥è¥-¨¥. • §¤¥«¨¢ ¬-®£®ç«¥- 3z3 + 6z2 ¡ 8 - |
¬-®£®ç«¥- |
|||||||||||||||||||||||||
z2 ¡ 3z ¡ 4, § ¯¨è¥¬ äã-ªæ¨î f(z) ¢ ¢¨¤¥
57z + 52
f(z) = 3z + 15 + (z ¡ 4)(z + 1);
§ ⥬ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¯®«ãç¥--ãî ¯à ¢¨«ì-ãî ¤à®¡ì ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¯à®áâëå ¤à®¡¥©:
57z + 52 |
|
= |
|
A |
+ |
|
B |
; |
|
(z ¡ 4)(z + 1) |
z ¡ 4 |
z + 1 |
|||||||
|
|
|
|||||||
£¤¥ |
57zz+ 1 |
¯z=4 = 56; B = |
z |
|
4 |
¯z= 1 = 1: |
|
A = |
¡ |
||||||
|
+ 52 |
¯ |
|
|
¯ |
¡ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
‘«¥¤®¢ ⥫ì-®,
f(z) = 3z + 15 + z 56¡ 4 + z +1 1:
”ã-ªæ¨ï f(z) ॣã«ïà- ¢® ¢á¥© ª®¬¯«¥ªá-®© ¯«®áª®áâ¨ á ¢ë- ª®«®â묨 â®çª ¬¨ z1 = ¡1, z2 = 4 ¨ ¥¥ ¬®¦-® à §«®¦¨âì ¢ àï¤
x 1. •ï¤ ‹®à - |
|
|
|
|
|
9 |
|||
¯® á⥯¥-ï¬ |
|
¢ ®¡« áâïå |
, |
z < 4 ¨ |
j |
z > 4. ’®çª |
|||
|
z |
|
jzj < 1 1 <.j |
•®í⮬ãj |
äãj |
-ªæ¨î 56 |
|
||
z = 3 ¯à¨- ¤«¥¦¨â ª®«ìæã 1 < jzj < 4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
z¡4 |
|
||||
-ã¦-® à §«®¦¨âì ¢ àï¤ ¯® ¯®«®¦¨â¥«ì-ë¬ á⥯¥-ï¬ z, äã-ª-
æ¨î |
|
1 |
| ¢ àï¤ ¯® ®âà¨æ ⥫ì-ë¬ á⥯¥-ï¬ z. •à¥®¡à §ã¥¬ |
||||||||||||||||||||
|
z+1 |
||||||||||||||||||||||
¨á室-ãî äã-ªæ¨î: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f(z) = 3z + 15 ¡ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
; |
|
|
||||||||||
®âªã¤ |
|
1 ¡ z4 |
z ¡1 + z1 ¢ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
f(z) = 3z + 15 ¡ 14 n=0µ |
4¶ |
|
+ n=0(¡1)n zn+1 = |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
z |
n |
|
1 |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
z |
1 |
zn |
|
|
1 |
|
( 1)n¡1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
X |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= 1 ¡ |
2 |
¡ 14 |
n=2 |
4n |
+ |
|
|
|
zn |
|
|
: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•®«ãç¥--ë© àï¤ á室¨âáï ¢ ª®«ìæ¥ |
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 < jzj < 2 |
+2 |
|
|
|
|||||||
•à¨¬¥à. • §«®¦¨âì äã-ªæ¨î f(z) = |
z |
|
|
|
|||||||||||||||||||
z(z+2i) ¢ àï¤ ‹®à - |
|||||||||||||||||||||||
¯® á⥯¥-ï¬ z ¡ 2i ¢ ª®«ìæ¥ D, ª®â®à®¬ã ¯à¨- ¤«¥¦¨â â®çª z = 1. “ª § âì £à -¨æë ª®«ìæ á室¨¬®áâ¨.
•¥è¥-¨¥. •à¥¤áâ ¢¨¬ f(z) ¢ ¢¨¤¥
f(z) = |
z2 + 2iz ¡ 2iz + 2 |
= 1 |
|
i |
|
1 |
+ |
1 |
: |
|
z(z + 2i) |
¡ |
µz |
z + 2i |
|||||||
|
|
|
|
¶ |
||||||
”ã-ªæ¨ï f(z) ॣã«ïà- ¢® ¢á¥© ª®¬¯«¥ªá-®© ¯«®áª®áâ¨ á ¢ëª®- «®â묨 â®çª ¬¨ z = 0 ¨ z = ¡2i. •®í⮬㠥¥ ¬®¦-® à §«®¦¨âì ¢ àï¤ ‹®à - ¯® á⥯¥-ï¬ z ¡ 2i ¢ ®¡« áâïå
jz ¡ 2ij < 2; 2 < jz ¡ 2ij < 4; jz ¡ 2ij > 4:
•®« £ ï z ¡ 2i = t, ¯®«ã稬 f(z) = '(t), £¤¥
'(t) = 1 ¡ t +i 2i ¡ t +i 4i:
’ ª ª ª â®çª z = 1
t ¢ ®¡« á⨠2 <
10
< jtj < 4. •à¥®¡à §ã¥¬ äã-ªæ¨î '(t):
|
'(t) = 1 ¡ |
|
i |
|
¡ |
|
1 |
|
|
|
: |
|
|
||||||||||
|
t ¡1 + 2ti |
¢ |
4 ¡1 + |
t |
¢ |
|
|
||||||||||||||||
’®£¤ |
4i |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||
'(t) = 1 i |
1 |
|
(¡1)n(2i)n |
|
1 (¡1)ntn |
|
|
||||||||||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|||||||
|
¡ n=0 |
|
|
|
tn+1 |
¡ n=0 |
in4n+1 |
|
|
|
|||||||||||||
f(z) = |
1 |
(¡2i)n |
+ |
3 |
+ 1 |
|
(¡1)n+1 |
(z 2i)n; |
|||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
¡ |
2i)n |
4 |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
||||||
|
n=1 2(z |
|
|
|
|
|
n=1 (4i)n |
|
|
||||||||||||||
2 < jz ¡ 2ij < 4: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|||||||||||
•à¨¬¥à. • §«®¦¨âì äã-ªæ¨î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
f(z) = |
µ 2 ¡ 2z + 2¶cos z ¡ 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
¢ àï¤ ‹®à - ¯® á⥯¥-ï¬ z ¡ 2 ¢ ª®«ìæ¥
D = fz : 0 < jz ¡ 2j < 1g:
•¥è¥-¨¥. •ãáâì z ¡ 2 = t, ⮣¤
f(z) = |
1 |
(t2 + 1) cos |
1 |
= |
1 |
à |
1 |
|
(¡1)n |
|
|
+ |
(¡1)n |
||||||
2 |
|
|
|
|
t2(n¡1)(2n)! |
t2n(2n)! |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
2 |
n=0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
t2 |
+ |
1 |
|
(¡1)n+1 |
+ |
|
(¡1)n |
|
1 |
|
= |
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
(2n)! ¶ t2n |
|
||||||||||||
|
|
|
2 n=0 µ(2n + 2)! |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
t2 |
+ |
1 |
+ 1 |
(¡1)n(4n2 + 6n + 1) |
= |
|
|
||||||||||
2 |
4 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!
=
= |
1 |
(z 2)2 + |
1 |
+ |
1 |
(¡1)n(4n2 + 6n + 1) |
: |
|
||
|
|
X |
|
N |
||||||
2 ¡ |
4 |
2(2n + 2)!(z |
¡ |
2)2n |
|
|||||
n=1 |
|
|
||||||||