ТФКП Половинкин

§ 10. Некоторые свойства регулярных функций

61

показано в §5, в области G1 существует главная регулярная ветвь

логарифма

В §5 было показано, что производная h~(z) == !.,

т. е. функция h0

является первообразной функции f

z

в области G1 .

По теореме 5 по-

лучаем

I 1 = h0 ( 1 + i) - h0(-i) == ln J2 + i З1r •

4

у

у

1 + i

"/2

-1~;.+

{~~~~~~==::::::::t:::::~?~==~=~~=:~=~~::W~й~~~~:?l::

о

х

х

-i

-i

а

б

Рис. 5

Вычислим интеграл / 2

= J" f(()d(. В области G2 выберем функ-

цию h1 (z) = ln lzl + i arg z,

2

где arg z Е (0, 21r). То, что эта ветвь мно­

зательству регулярности функции h0 в области G1 .

Мы сделаем это

позже - в §15, причем там покажем, что h~(z) =

1

т. е. h1 есть

-,

первообразная функции f(z) = !.

z

в области G2 , откуда по теореме 5

z

получаем

12 = h1 (1 + i)- h1

( -i) = ln J2- i~1r.

4

1"1u";-1

f(() d( = ln J2 + i37Т -

(In J2- i~1r) = 21ri,

4

4

64

Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

+сх:>

J(!)

(

)

1

/(()

_

1

/(()

_

1

'""' (z0

-

a)n

27ri((-z0 ) - 27ri((-a)( 1 _z0 - a) -

21ri~((-a)n+1

'> •

б

(-а

Из справедливости оценки

(z0 - a)n

~ n

М

V1

!)

!( ~

(( _

a)n+l

'-' q2

· ;;-'

~ Е ~2'

где q

6 "'--lzo~-~al

< 1,

М 6

sup{lf(z)ll r

1

~

lzal ~

r

2

} < +оо,

и из

2

r2

+сх:>

того, что ряд

L q2 сходится, по признаку Вейерштрасса получаем,

§6 ряд (6) можно почленно интегрировать по ~2, т. е.

получим,

что

/2 ==

_1

r !(() dz (6)

27ri

} 'У2 ( - z0

r

+сх:>

!(()

d(. (z

+сх:>

(z -

a)n

(7)

( ) '""' _l

- a)n = '""'с

6

~27ri},... ((-a)n+l

О

~ n

О

'

n==O

~

n==O

где

r

сп == - 1

f (()

d1 '

n == о'1' 2' ...

(8)

27ri },...

((-

a)n+l

~

"У2

3.

Рассмотрим интеграл / 1

из

(5).

Представим

1

в виде

ряда (см. пример 1 §9)

( - zo

1

-

L

((- a)n

(9)

1

+сх:>

( - zo

-

(zo -а) (1 -

(

-а )

-

n=O (zo - a)n+l .

z0

-

а

По признаку Вейерштрасса ряд (9) сходится равномерно по (

на ~1 , так как

(-а

_

r 1

6

q1 < 1'

V(Е ~1 .

z

0

-

а

z

0

- а

1

-

1

Так как 1/(()1 ~М при (Е ~1, то ряд

+сх:>

/(()((- a)n

(

1

/(()

_

'""'

1

Е ~1'

(10)

- 27ri ((- zo)

-

~

27ri

(zo- a)n+l '

n==O

также сходится равномерно на 11 ,

и аналогично случаю вычисления

§ 11. Ряд Лорана

65

венства (10) получаем

[1 = ~( 2~iil !(()((- a)n d() (zo- ~)n+I.

(11)

-1

11 == L

cm(z0 -

a)n\

(12)

==

m=-oo

т==

где

27ri

1((-/(()a)m+l ~

cm

- 1

d1 ,

-1, -2,...

(13)

всем кольце р < lz - al < R.

11

\;/т= -1, -2,... .

11

Д о к аз а т е ль с т в о. Пусть регулярная функция f

предста­

влена в кольце р < lzal < R в виде пекотарого ряда

-1

+оо

f(z) == L

bn(z- a)n + L bn(z- a)n.

(14)

n=-oo

n=O

Выберем число r Е (р,R),

и пусть окружность 'Yr = { z llz - ai = r}

61 dz

=

{ 27ri,

k = О,

15

[k = 'Yr (z- a)k+ 1

О,

k = ±1, ±2,.. .

( )

1

получаем равномерно сходящийся на окружности rr

21ri(z - a)k+l '

ряд

==

+оо

_1 f(z)

"

_1 Ь

(z- a)n .

(16)

21ri (z- a)k+l

~

27ri

n (z- a)k+l

с

r

+оо

ь

r

ь

(4) _1

f(z)

dz (16) "

_1

dz

{15)

k

27ri

},." (z- a)k+l

~ 27ri

n },."

(z- a)k-n+l

-

k'

'Yr

n=-oo

"Yr

т. е. ряд (14)

совпадает с рядом Лорана (1),

(4).

11

Из следствия 1 и теоремы 2 получаем

Следствие 2.

Представление регулярной фун?Сции f

: ВR(a) -t

Пример 1. Разложить функцию J(z) =

( 1

) в рядЛоранас

z z -1

центром в точке а== 2 в кольце 1 < lz- 21 < 2.

Р е ш е н и е.

Очевидно, что функция f ре­

гулярна в заданном кольце, т. е. требуемое раз­

ложение в ряд Лорана.по теореме 1 существует.

Формулы (4) не совсем удобны для вычисления

коэффициентов ряда Лорана. Поэтому посту­

пим иначе. Представим функцию f

в виде эле­

ментарных дробей

f(z) = -

1

!.

(17)

--

z - 1

z

Рис. 1

Преобразуем второе слагаемое в (17) к виду

1

1

1

1

--; = - (z- 2) + 2 = -2 ( 1 + z; 2) ·

§ 12. Изолированные особые точки

67

1

1

1

1

z - 1 = (z - 2) + 1 = (z - 2) ( 1 + _1_) =

z-2

)n _~ (-l)n+l

_

1

~ (

1

(19)

-

z- 2

L.J -

z- 2

-

L.J (z- 2)n ·

n=O

n=l

В итоге из рядов {18)

и (19) получаем представление функции f в

виде ряда

+оо

-1

f(z) = L

(-l)n;~l~- 2)n +

L

(-1)n+1(z- 2)n,

V Z: 1 < iz- 21

< 2,

n=O

n=-oo

справедлива оценка 1/(z)l ~ Ar V z Е 'Yr·

Тогда для коэффициентов

(4) рядаЛорана (1) справедлива оценка

(20)

Д о к аз а т е ль с т в о. Из формулы (4) сразу следует

lcnl =

2:i 1с/~(~)~~1 ~ 21Г:~+l /ld(l = :~'

"Уr

"Уr

что и требовалось доказать.

11

§ 12. Изолированные особые точки

Определение 1. Пусть функция f

не регулярна в точке а Е С,

68

Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

z---+-a

полюсом, если существует lim f(z) = оо;

2)

z---+-a

3) существенно особой тоrчх;ой, если не существует конечного

или бесконечного предела lim f(z).

z---+-a

В

случае, когда особая точка а конечна, регулярную в кольце

о

функцию f по теореме 1 § 11 можно представить в виде схо-

ВР (а)

+оо

f(z) = L

cn(z- a)n,

(1)

+оо

-1

[пр 6 L cn(z- a)n

и [гл 6 L

cn(z- a)n,

n=O

n=-oo

§ 12. Изолированные особые точки

69

рана функции f (см. следствие 3 § 11)

А

(0, р

1

).

rn

lcпl ~ -, Vr Е

2. Достато'Чностъ. Пусть Jгл(z) =О, т. е. сп== О Vn <О. Тогда

+оо

~

о

f(z) = L

cn(z- а)п == S(z),

V z Е Вр(а).

n=O

функция на круге ВР(а), причем f(z)

== S(z) при z -:1 а,

то суще-

ствует предел

lim f(z) == S(a) == с0.

z---ta

3.

Необходи.мостъ. Пусть точкаа-полюс функции j, т. е. су­

ществует предел lim f(z) ==

оо. В силу этого можно выбрать fJ >О

z---ta

о

1/(z)l > 1.

такое,

что nри всех z Е В0(а) справедливо неравенство

~

1

о

Определим функцию g(z) = f(z) при z

Е В5(а).

о

g(z) -=1 О и lg(z)l

о

В0(а), причем

< 1 при всех z Е В0(а).

Так как

точка а есть полюс функции

/,

то существует предел

lim g(z) ==

== lim -1() ==О,

z---ta

т. е.

получаем,

что точка а есть устранимая особая

z---ta f z

точка функции g.

Следовательно, доопределив g(a) ==О, получаем,

g(z) == bn." (z- a)n1 + bm+l (z- a) 1n+l + ... , V z Е В0(а).

(3)