ТФКП Половинкин

-

бой точки (=О у функции /(() одинаков. В свою очередь, главная часть ряда Лорана функции f (z) с центром в точке оо при замене

аргумента переходит в главную часть рядаЛорана функции /(() с

центром в точке (=О. Так как необходимое соответствие в конеч-.

ной точке ( = О уже установлено в пункте 1, то это влечет требуемое

и только тогда, когда существуют окрестность Вр(а), натураль-

ное число т~ 1 и регулярная в круге Вр(а) функция р такие, что р(а) #О и

В свою очередь, точка а = оо является полюсом фун~ции f тогда и

о

толь'К;о тогда, когда существуют окрестность ВР( оо), число т ~

о

~ 1, регулярная в Вр(оо) функция h, у которой существует конечньtй nредел h( оо) # О, та~ие, что

Определение 3. Пусть а Е С- полюс функции f. Тогда число

т в формулах (6) или (7) соответственно называется порядком по­

люса а функции f.

Определение 4. Пусть а Е С, р >О, т~ 1, пусть функция g: Вр(а) ~С регулярна и

g(a) = g'(a) = ... = g(m-l) (а) =О, g(m) (а) #О.

Тогда говорят, что функция g имеет в точке а нуль т-го порядка

(или т-й кратности). Если же g(a) # О, то говорят, что точка а не

является нулем функции g (или для следствия 2: функция g имеет в точке а нуль нулевого порядка).

Следствие 2. Пусть функции g, h: Вр(а) ~С регулярньt, при­ чем функция h имеет в точке а нуль k-го поряд'К;а {k ~ 0}, а функ­

ция g имеет в точке а нуль т-го порядка (т ~ 1}. Тогда, если

т> k, то фун'IС'Ция J(z) = :~;~ и.м.еет в mо'Ч.?Се а полюс (т- k)-го

порядка, а если т~ k, то функция f имеет в точке а устранимую

особую точку.

В случае, когда точка О является устранимой особой точкой функ­

ции J, условие (13), очевидно, выполнено. (Если бы существовала последовательность {zn} --+О, для которой f(zп) ==О, то по теореме

единственности получили бы, что f _ 0). В этом случае достаточ~о

выбрать g(z) = z.

Вслучае, когда точка О является полюсом т-го порядка функ­

ции f, условие (13) выполнено в силу следствия 1, и достаточно вы­

брать g(z) = zm+l.

Вслучае, когда точка О является существенно особой точкой

функции/, условие (13) !\fожет как выполняться, так и нарушаться.

Покажем это.

Например, для функции f 1 (z) = e1/z условие (13) выполнено. В

качестве функции g можно взять g(z) = ze-l/z.

регулярной в В1 (О) функции g, для которой выполнено условие (11).

Зa.мetttaнue 1. Заметим, что кроме функций с изолированными особыми точками существуют регулярные функции с неизолирован-

полюсы в точках zn = -1, n == ±1 ± 2, ... Следовательно, точка z =

2n

= О является для нее неизолированной особой точкой, а именно, это

предельная точка последовательности полюсов {zп}·

У пр а ж н е н и е 1. Пусть точка а есть полюс функции f. Ка­

кую особенность в точке а имеют функции J2 (z) и ef(z)?

Уп р а ж н е н и е 2. Пусть точка а является полюсом функ­

ции f и существенно особой точкой функции g. Какую особенность

вточке а имеет функция fg?

Упр а ж н е н и е 3. Пусть точка а есть существенно особая

Отметим, что в формуле (1) интеграл не зависит от величины

rE(O,p).

Для получения более удобных выражений вычисления вычета

о

функции, представим функцию f : ВР (а) ~ С ее рядом Лоранас цен-

тром в точке а

п==-оо

Тогда по формуле (4) § 11 для коэффициентов сп получаем, что

интеграл (1) равен коэффициенту с_1, т. е.

Так как полученный в правой части равенства (б) степенной ряд

сходится в Вр(а), то по теореме Абеля (теорема 1 §9) он сходится абсолютно и равномерно внутри области ВР (а). Поэтому по теореме Вейерштрасса (теорема 3 §9) его можно почленно дифференциро­ вать (т0 - 1) раз, после чего получаем

dmo-1

dzmo-1 [(z- a)mo f(z)] =

о

= (т0 - 1)!с_1 + т0!с0(z- а)+ ... , z Е ВР(а). (7)

ооz-+oo

До к а з а т е л ь с т в о. Из условия леммы следует, что ряд Ло-

о

рана в пекоторой окрестности ВR ( оо) имеет вид

о

f(z) = /(оо) + c_l + с_22 + ... ,

с 'К;усо'Чно-глад'J(;ой nоложительно ориентированной границей Г (см.

оnределения 1, 2 из § 7}. Пусть фун'К;ция f определена и регулярна

на G всюду, за ис'К;ЛЮ'Чением 'К;ОНе'Чного 'Числа изолированнъtх особъtх

то'Че'К; а1, а2, ... , an Е G (nри этом имеется в виду, 'Что все ak раз­ ли'ЧН'Ьt и если оо Е G, то оо = anJ и nусть 1(; тому же фун'J(;ция f

неnреръtвно nродолжима на границу области G. Тогда сnраведлива

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Пусть область G ограничена. Так как число особых точек

а1, ... , an Е С конечно, то существует число r > О такое, что Br (ak) С

СG Vk Е 1, n, причем замыкания этих кругов попарно не пересека-

ориентированные движением против хода часовой стрелки, а Tk - l -

что и дает формулу (14).

80Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

До к аз а т е л ь с т в о. Так как оо, очевидно, является особой

точкой данной функции f, то без ограничения общности полагаем,

ность, ориентированную движением против хода часовой стрелки.

Тогда по теореме 1 для области BR(O) получаем

являются точки 1 и 2, это полюсы 1-го Порядка. Применяя теорему 1

и формулу (9), получаем

J=27ri(rysf+r~sf) =27ri (~ z=l + z~l z=J =27ri.