ТФКП Половинкин

В соответствии с этим уточним понятие непреръtвности фун'IЬции f : G ---+ С на за.мъt'IЬании области G == G U Г, а именно, в точках гра­

ницы Г, которые принадлежат разрезам, как непрерывность на двух его берегах. Поясним это.

Для внутренней точки z0 некоторого разреза Гk в силу опреде­

ления 1 найдется достаточно малая окрестность ВЕ (z0 ) такая, что

о

множество ВЕ (z0 ) \Гk С G делится разрезом Гk на две подобласти,

о

которые обозначим в+ и в-. При этом область В+ граничит с бе-

регом разреза, которому принадлежит точка zri, а область в- гра­

ничит с берегом разреза, которому принадлежит точка z0 . Тогда

говорят, что функция f непрерывна в точке z(i (или в точке z0 ), если значение функции в этой точке zri (z0 ) совпадает с пределом

функции f в точке z0 по множеству в+ (по множеству в-).

Теорема 2. Пустъ дана ограниtttенная односвязная областъ G с 'IЬусоtttно-глад'IЬой границей Г, 'IЬОmорая положительно ориентиро­

вана. Пустъ фун'IЬция f : G ---+ С регулярна на области G и непре­

Д о к аз а т е ль с т в о теоремы 2 приведем для случая, когда добавлением к границе Г конечного числа разрезов оставшиеся точки

области G можно представить в виде объединения конечного числа звезднъtх .множеств.

Определение 3. Ограниченная область G называется звезднъt.м

.множеством, если граница Г области G может быть задана в виде

Приведем примеры некоторых звездных множеств.

Пример 1. Каждое ограниченное выпуклое открытое множество

с кусочио-гладкой границей является звездным, причем его центром

может служить любая точка этого множества.

Пример 2. Множество, изображенное на рис. За, является звезд­

ным.

звездным множеством, но его можно разрезом 'У разбить на два

звездных множества.

Рис. 3

За.ме'Чаиие 3. Примеры 1-3 показывают, что класс областей,

являющихся звездными множествами или представимых в виде объ­

единения конечного числа звездных множеств, достаточно богат.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2 достаточно провести для слу­

чая, когда G есть звездное множество с центром в точке z0 = О. По­

кажем это.

точке О, причем

fгJ(z) dz = fгJ(Z + z0 )dZ = fгJ(Z)az,

где f(Z) = f(z + z0 ) есть регулярная функция, и если покажем, что

последний интеграл равен нулю, то и исходный равен нулю.

Итак, считаем, что центр множества G есть точка z0 =О. Тогда

кривая Гл из (7) принимает вид:

Гл= {z 1 z = Лz1(t), о:::;; t::;; ,8}, Л Е (О, 1).

Так как по определению 3 звездного множества справедливы

включения Гл С G, то по теореме 1 справедливо равенство

( Е Гл <==> z Е Г. В силу этой замены равенство (8) принимает

вид

Так как функция f непрерывна на ограниченном замкнутом мно­

жестве G, то она равномерно непрерывна на G. Это значит, что \::/е >

>О 3 д= д(е)> О, Vz', z" Е G, lz'- z"l <д => lf(z')- f(z")l <

<е. Поэтому\::/ z Е Г получаем lz- Лzl = (1- Л)lzl ~ (1- Л)С0, где·

С0 = max {lzll z Е Г}.

Выбрав ,.\€ Е (0, 1), удовлетворяющее неравенству (1- Л€) < < д(е)/С0, получаем lz- Лczl < д(е), \::/ z Е Г. Поэтому из (9) следует:

fг f(z) dz = fг(f(z)- f(Л<z))dz ~

~ fгif(z)- f(Лcz)iidzi ~с:fгidzi.

В силу произвольности числа е> О получаем равенство (5). 11

Теорема 3 (обобщённая теорема Коши). Пусть дана огра­

ни'Ченная область G с 'Х;усоrчно-глад'Х;ой положительно ориентиро­

ванной границей Г. Пусть фун'Х;ция f : G --t С регулярна на обла­

сти G и непреръtвна на за.мъt'Х;ании области G = G U Г. Тогда

Построим положительно ориентированный контур Г, включающий в себя границу Г, добавив к каждой внутренней компоненте гра­

ницы Гk дополнительный разрез Tk С G, соединяющий Гk с внешней

компонентой Г1 , причем так, чтобы все дополнительные разрезы не пересекались, и каждый обходился дважды в противоположных на­

правлениях.

§ 9. Ряд Тейлора. Теоремы Вейерштрасса

Опираясь на интегральную формулу Коши, в этом параграфе

покажем, что функция регулярна в окрестности некоторой точки

тогда и только тогда, когда в этой окрестности она представима в

виде суммы степенного ряда.

Определение 1. Степеннъt.м рядо.м называется функциональ-

ный ряд вида

{1)

n=O

где точка а Е С и коэффициенты сп Е С фиксированы.

Теорема 1 (Абель). Если степенной ряд {1) сходится в точ'К:е z0 =/:. а, то р.яд {1) сходится абсолютно в любой точrк;е из rк;руга

Blzo-al(a), а в любо.м за.мrк;нуто.м rк;руге Br(a), где О< r < lz0 - al,

этот ряд сходится равномерно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как по условию числовой ряд

+оо

Е cn(z0 - a)n сходится, то из критерия Коши следует, что n=O

Е q0 очевидно сходится, то по признаку Вейерштрасса (см. утвер-

n=О

В итоге, подынтегральная функция в (7) представима сходящимся

на 'Yr рядом

00

а ряд Е qn сходится, то по признаку Вейерштрасса функциональ-

n=О

ный ряд (8) сходится равномерно на окружности 'Yr . Поэтому в силу

1

теоремы 2 из §6 ряд (8) можно почленно интегрировать по окруж-

ности 'Yr . В результате получаем равенство

1

/'7'1