ТФКП Половинкин

== zn относительно неизвестной величины z имеет ровно n различных решений:

Определение 2. Пусть дано множество G С С. Если каждой точке z Е G поставлено в соответствие некоторое множество из С, то говорят, что на G задана многознаtttна.я фун'К;цu.я. Обозначаем ее

F : G -t 2с, где 2с означает множество всех подмножеств из С.

в область Gna:,nf3' так как число z == теi<Р перейдет в значение w ==

Выберем область Gа:, f3 так, чтобы функция w == zn была одно­

листной на ней. Это означает, что нет пары чисел z1 , z2 из Gа:, rз таких, что z1 :f z2 и zf == z'!}:. Последнее равенство означает, что

тfein<PI == r~ein<P2, т. е. т1 == т2 и n<p1 == n<p2 + 21Гk при некотором k :f

:f о.

Таким образом, функция zn однолистна на области Ga:,f3' если

n'n

(см. рис. 3).

Рис. 3

Следовательно, существует обратная функция вида

По следствию 1 функция g0 (w) (12) является регулярной функ­

цией на области G*.

§ 6. Интегрирование функции комплексного

перемениого

Определение 1. Непреръtвиой кривой называется геометриче­ ское место точек z ко:мплексной плоскости С, удовлетворяющих не­

которому параметрическому уравнению z == z(t) == x(t) + iy(t), где x(t) и y(t) - непрерывные функции действительного перемениого t на отрезке [t0 , t1 ].

Непрерывная кривая r называется простой кривой (или кривой )f(opi)aua), если различным значениям параметра t (кроме, быть мо­ жет, его значений t == t0 и t соответствуют различные значения z(t). Простая кривая называется за.мкиутоil, если z(t0 ) == z(t1 ).

Жорданом была доказана теорема о том, что простая за.мкиу­

~ая кривая делит расширеииую ко.мплексиую плоскость С ua две

одиосвязиъtе области, виешиюю {содержащую то'Чку z == оо) и виу­

треииюю.

При изменении параметра t на отрезке [t0 , t 1 ] в одном направле­ нии (от t0 к t1 или обратно) точка z(t) совершает обход кривой r·

Выбор направления обхода кривой r называется ориеитациеil кри­

вой[, а кривая с выбранной ориентацией называется ориеитироваи­

иой кривой или коитуро.м.

Скажем, что на кривой r выбрана ориеитация, иидуцироваииая

даииой пара.метризацией z(t), t Е [t0 , t 1], если на кривой выбрано

направление движения, соответствующее возрастанию t. Точки z(t0 )

и z(t1 ) называются коицевъt.ми то'Чка.ми контура, или, более точно,

иа'Чало.м и коицо.м контура r соответственно.

Определение 2. Непрерывная кривая r С С называется глад­

кой, если она допускает параметрическое представление с помощью

комплекснозначной функции действительного аргумента z == z(t) = == x(t) + iy(t), t Е у которой функции x(t) и y(t) непрерывны,

имеют непрерывные производные x'(t) и y'(t) и z'(t) == x'(t) +iy'(t)-:/=

-:/=О всюду на отрезке [t0 , t 1], причем если кривая замкнута, то z'(t0 +

+О)== z'(t1 - 0).

Определение 3. Пусть дан непрерывный контур r в С с пара­

метризацией z == z(t). Пусть существует конечное разбиение {Bk}k=O

гладкими контурами с той же, что и у контура r, ориентацией. Тогда

контур r называется кусо'Чио-гладки.м коитуро.м, или об~едииеиие.м

·гладких коитуров { rk}, т. е. r == r1 U r2 U ... U rm.

За.ме'Чаиие 1. Далее, если не оговорено противное, будем считать,

что ориентация контура r совпадает с ориентацией, индуцированной

Пусть дан кусочио-гладкий контур 1 с параметризацией z = z(t),

Определение 4. Пусть дана непрерывная на кусачно-гладком

контуре 1 функция w = f(z). Определим выражение

k=1

которое будем называть интегральной суммой фунх;ции f, соответ­ ствующей разбиению Л.

Если существует конечный предел интегральных сумм (3) при IЛI --+О, не зависящий от выбора разбиения Л (l) и точек {(k} (2),

то этот предел называется интегралом от фунх;ции f по х;онтуру 1,

который обозначается

Теорема 1. При сделаннъtх в определении 4 предполо:жениях ин­

интеграла являются 'К:риволинейными интегралами второго рода от действительных фун'К:ций действителънъtх переменнъtх по х;он­ mуру / на ев'К:лидовой плос?Сости ~2 о

2*

2°. Обозначим т-1 контур, полученный из т заменой ориентации

на противоположную. Тогда

где справа в неравенстве стоит криволинейный интеграл первого

рода от действительной функции функции 1f (z) 1 действительных ар­

гументов х, у по контуру 'У·

Д о к аз а т е ль с т в о. Из формулы (3) получаем оценку

Справавнеравенстве (10) стоит интегральная сумма криволиней­

ного интеграла первого рода, и так как функция 1f (z) 1 непрерывна

на кусачно-гладком контуре 'У попеременным х, у, то, как известно

из курса математического анализа (см., например, §50 [8]) криво­ линейный интеграл первого рода от действительной функции lf(z)l

5°. Инвариантность. Интеграл (3) не зависит от выбора пара­

метризации z(t) контура т при условии, что каждая такая параме­

тризация индуцирует одну и ту же ориентацию контура т·

Д о к а з а т е л ь с т в о следует из аналогичного свойства для

криволинейных интегралов второго рода от действительных функ­

'Yr

где контур'Yr есть окружность {z jlzal = r > 0}, ориентированная

движением против хода часовой стрелки.

Р е ш е н и е. Выберем параметризацию окружности 'Yr вида

Теорема 2. Пустъ в области G задан.'ы непреръtвнъtе функ;ции f п : G -+ <С, n Е N и к;усоtttно-гладк;ий к;онтур 'У. Пустъ функ;цио­

к;онтуре 'У. Тогда этот ряд .можно поtttленно интегрировать по к;онтуру -у, т. е. справедливо равенство

N

рез ·SN ( z) = L f n ( z), N Е N. Они очевидно непрерывны на G, и по

n=O

утверждению 5 из §2 сумма S(z) данного ряда также непрерывна,

т. е. интегрируема. на кривой 'У. Так как данный ряд сходится равно­

мерно на -у, то для любого е> О существует номер N(e) такой, что для всех номеров N ~ N (е) справедливо неравенство

sup IS(z)- SN(z)l ~ l(c),

40 Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

Э. Гурса доказал, что в теореме 1 достаточно требовать лишь диф­ ференцируемость функции f в каждой точке области G. Доказа­

тельство этого факта можно найти, например, в книге [7].

За.меrчание 2. Условие односвязности области G в теореме 1 суще-

о

ственно, что показывает пример заданной в области В2(О) функции f (z) == 1/z, интеграл от которой по единичной окружности равен 27Гi

(см. пример 1 §6).

Однако можно изменить формулировку теоремы, допускающую

распространение теоремы 1 на случай интегрирования по границе

неодносвязной области.

Определение 1. Областью с х;усоrчно-гладх;ой границей будем называть область G С С, границу Г которой можно представить в

виде объединения конечного числа гладких ограниченных кривых

Г1 , ... , Гm, любые две из которых могут иметь общими лишь конце­ вые точки. Эти кривые Г1 , ... , Гm будем называть гладх;и.ми х;о.м­ понента.ми границъt Г области G. Эти компоненты бывают двух

типов:

1) Кривая Гk такова, что в каждой окрестности каждой точки

оо

Zo Е гk (обозначение гk означает кривую гk без концевых точек) находятся как точки из области G, так и из С\ (GUГ). Такая кривая Гk

называется правильной гладх;ой х;о.мпонентой границъt Г.

о

2) Кривая гk такова, что ДЛЯ каждой точки Zo Е гk существует

Таким образом, каждую внутреннюю точку z0 разреза предста­

вляем в виде двух различных точек z6 и z0 , лежащих на различных

берегах разреза.