ТФКП Половинкин

регулярна в С.

Рассмотрим более сложные примеры регулярных функций.

Определение 2. Определим Э'l\,споненциалъную фун'l\,цию '1\,О.М­ пле'I\,С'Ного пере.менного по формуле

где z = х + iy.

В стандартных обозначениях компонент функции f = и + iv по­

лучаем следующие действительную и мнимую части экспоненциаль­

ной функции: и(х,у)=ехсоsу, v(x,y)=exsiny, причем lezl=ex,

у Е Argez.

Очевидно, что функция (1) непрерывна и является периодиче­

ской с периодом 21Гi.

Легко получаем равенства частных производных

их = ех cosy = vУ'

т. е. условия Коши-Римана (6) из §3 выполнены всюду. Поэтому

существует производная функции ez, причем по формуле (7) из §3

она равна

(2)

т. е. w = ez регулярна во всем пространстве С.

Определение 3. Определим тригоно.метриtttес'Х;ие фун'l\,ции sin z

и cos z '1\,О.Мnле'I\,С'Н.ого пере.менного по формулам

числом) равенства (3) непосредственно следуют из формулы Эйлера

(см. § 1).

В силу определения 3 из регулярности экспоненты (1) очевидно

следует регулярность функций sin z и cos z как суммы регулярных

функций.

Из формул (1), (2) легко получить формулы для производных

Более того, из определений 2 и 3 легко доказать справедливость основных элементарных свойств тригонометрических функций, из­ вестных в действительном анализе. Например,

sin2 z + cos2 z = 1,

(5)

sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + sin z2 cos z1 .

ряет условиям Коши-Римана {6) из §3 в точке z0 ==О, но тем не

менее не дифференцируема в точке z0 == О. Не противоречит ли это

теореме 1 §3?

Определение 4. Функция и== и(х, у) действительных перемен­

ных х и у, определенная и дважды непрерывно дифференцируемая

в области G С IR2 (т. е. и Е C2 (G)), называется гар.моничес~ой в G, если V (х, у) Е G:

(6)

Теорема 1. Пустъ фун~ци.я w == f(z) == и(х,у) + iv(x,y) регу­

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, из условий Коши-Римана

За.ме'Чание 2. В §8 покажем, что всякая регулярная функция f

дифференцируема л1обое число раз и поэтому ее компоненты, т. е.

функции и и v, являются бесконечно гладкими функциями. По-

при этом интеграл в (11) является криволинейным интегралом вто­

рого рода вдоль ориентированной кривой, лежащей в области G,

с началом в точке (х0,у0) Е G и концом в точке (х,у) Е G. Оче­ видно, что полученная в (11) функция v(x, у) является гармоничес-

кой в силу (7), (8), а поэтому в силу теоремы 1 §3 функция f(z) ~

За.ме'Чание 3. Аналогично доказательству теоремы 2 доказыва­

ется утверждение о том, что для всякой гармонической функции v(x, у), заданной в односвязной области G, существует регулярная функция f такая, что v(x, у) == Im f(z).

Пример 1. Пусть дана функция u(x,y) == ху. Очевидно, что она

гармоническая, т. е. ~и== О. Найдем функцию v из условий Коши­

Римана (7).

§ 5. Теорема об обратной функции

Сначала отметим следующую теорему о сложной функции.

Теорема 1. Пустъ данъt две области G и Н в х;о.мплех;сной плос­ х;ости С, две регулярнъtе фунх;ции f : G ~ С и g : Н ~ С, при'Че.м

въtполнено условие, 'Что f(z) Е Н для всех z Е G (т. е. f(G) С Н}.

Тогда сложная фунх;ция ( == g(f(z)) регулярна в области G и спра­

ведлива формула дифференцирования

Д о к аз а т е ль с т в о теоремы сводится к проверкеформулы

(1). Для этого возь~1ем произвольную точку z0 Е G и пусть w 0 == == f(z 0 ). Приращения функций~~ и ~g по определению дифферен­

== и(х, у)+ iv(x, у). Задание функции f: G --t С эквивалентно зада-

нию отображения

Итак, отображение (3) непрерывно дифференцируемо, и в силу

условия теоремы и формулы (4) получаем, что J(x0 , у0) 1= О, т. е. вы­

полнены условия теоремы о неявной вектор-функции (см., например,

[8], §28, теоремы 2-3) для отображения (3), в силу которой суще­ ствуют круги B<5(z0 ) и Bt(w0 ), б> О, Е> О, такие, что J(x,y) 1= О, V (х, у) Е B<5(z0 ), и для каждой фиксированной точки (u, v) Е Bt(w0 )

обратное к отображению (3). Более того, по той же теореме функции

х(и, v) и у(и, v) непрерывно дифференцируемы в круге Bt(w0 ). Отображению (5) на комплексной плоскости С соответствует ком­

которая в силу задания является обратной к функции f, т. е.

(7)

Покажем, что функция (6) регулярна в Bt(w0 ). Перепишем тождество (7) по компонентам:

Из условий Коши-Римана, записанных для функций и и v, и из фор­

мул (10) получаем равенства хи == Yv и xv == -уи, которые означают

условия Коши-Римана для обратной функции g, т. е. функция g(w) дифференцируема. При этом по формуле (7) из § 3 получаем

т. е. справедлива формула (2).

Так как производная f'(z) #О на круге B 6 (z0 ), а функции f'(z) и g(w) непрерывны, то в силу формулы (2) получаем, что функция

таких, что f(z 1 ) == f(z 2 ), следует равенство z1 == z2 .

Иными словами, функция f: G ~С однолистна тогда и только

тогда, когда на множестве G* == f(G) существует обратная ей функ­

ция g : G* ~ С. Из теоремы 2 получаем очевидное следствие.

Следствие 1. Пусть фуиrк:ци.я f: G ~ G* == f(G) регул.яриа и одиолистиа иа области G С С, npиttte.м f'(z) #О nри всех z Е G. То­

гда .миожество G* есть область, и обратиая фунrк:ци.я g : G* ~ G

регул.яриа (на области G*).

За.меtttание 1. В следствии 1 усло.вие f'(z) #О при всех z Е G

можно специально не оговаривать. Это условие, как будет показано в§ 24, следует из однолистности на области G регулярной функции f.

Рассмотрим некоторые примеры элементарных функций и при­

меры областей их задания, на которых эти функции будут однолист­

ными.

Пример 1. Рассмотрим функцию w == zn, n Е N, n ~ 2. В§ 1 мы

показали, что функция w == zn на всей плоскости С не однолистна.

А именно, показали, что для любого числа w # О уравнение w ==