ТФКП Половинкин

§ 2. Предел. Ряды. Расширенная комплексная плоскость. Функции комплексного перемениого

Чтобы определить сходимость последовательности точек на ком­ плексной плоскости <С, нужно уточнить понятие окрестности точки.

Так как С является евклидовым пространством ~2 , то в качестве

окрестностей произвольной точки z0 Е <С выбираем круги с центром

Остаются в силе основные понятия математического анализа,

Определение 1. Число А= а+ ib Е <С называется предело.м по­

IYn- Ьl ~ lznAl.

Упр а ж н е н и е 1. Докажите, что если zn -t А, то lznl -t IAI,

ичто обратное верно при А= О, однако при А"# О из lznl -t IAI, в

В силу утверждения 1 для последовательностей комплексных чи­

сел сохраняются известные свойства последовательностей действи-

сти С при стереографической проекции переходит в окружность на

сфере S. .

2) "Углы между любыми двумя пересекающимися кусачно-глад­

кими кривыми на С и углы между их образами на S при стереогра­ фической проекции сохраняются.

"У п р а х< н е н и е 2. Докажите приведеиные выше свойства 1

и 2.

Аналогично случаю действительных чисел определяется понятие

числового ряда с комплексными членами.

Определение 4. Числовъt.м рядо.м, образованным последова­

тельностью чисел {zп}, называется последовательность {SN }, где

~ N

SN == L zn. Говорят, что этот ряд сходится, если существует конеч­

n=О

ный предел последовательности {SN} N=О, который называется су.м-

мой последовательности {zп} или су.м.мой rчислового ряда и обозна-

чается

+оо

Члены последовательности SN называются частичными суммами

числового ряда.

Для краткости формулой (9) принято обозначать не только

сумму числового ряда, но и сам числовой ряд, образованный по­

следовательностью {zп}~~-

Из утверждения 1, очевидно, следует

+оо

Утверждение 2. Числовой ряд L z.n сходится тогда и толъх;о n=O

+оо

тогда, х;огда сходятся два действителън'ЫХ rчисловъtх ряда L Х11 и n=O

+оо

L Yn, где zn == xn + iYn·

n=O

В силу утверждения 2 для таких рядов справедлив критерий Коши, а именно:

+оо

ряд L zn сходится тогда и только тогда, когда n=O

Центральным понятием нашего курса является понятие функции

комплексного переменного.

16 Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

Определение 5. Говорят, что на множестве G С С определена фуих;ция f, если указан закон, по которому каждому числу z Е G ставится в соответствие определенное комплексное число w Е G1 С С С. Функцию обозначают

Когда задана функция w = f(z), говорят, что задано отображение rvп1ожества G во множество G1 . l\.1ножество всех значений f (z) при z Е G обозначают f (G).

Задание q)ункции f равносильно заданию двух действительных

Рис. 3

Согласно определению 5 всякая функция однозначна (понятие

многозначной функции мы введем в §5).

Определение 6. Точка z0 Е С называется внутренней то'Чх;ой

.мио:>~еества G С С, если существует число с > О такое, что справед­

ливо включение B€(z 0 ) С G.

Определение 7. Точка z0 Е С называется предельной то'Ч'Кой

.мно:>~еества G С С, если для любого числа с > О в проколотой

о

окрестности B€(z 0 ) имеется по крайней мере одна точка (а потому и

о

бесконечно много точек) из G (т. е. Be(z0 ) nG i= 0, Vc > 0).

Определение 8. Пусть дана функция f: G--+ С и точка z0 , пре­

дельная для множества G С С. Число А Е С называется пределом

фун'Кции f в 'fftO'Ч'Кe z0 по .множеству G, если Vс > О Э 8 = 8(Е) > О

о

такое, что справедливо включение f(z) Е В€(А), Vz Е Вб(z0) n G.

Определение 9. Функция f: G -t С называется непрер'ывной в

предельной тоrчх;е z0 Е G, если \:1 с > О :3 8 == б(с) > О такое, что \:1 z Е

Е B6 (z0 ) n G справедливо включение f(z) Е B€(f(z 0 )).

Определение 10. Функция f: G -t С называется непрер'ывной на .множестве G, если она непрерывна в каждой точке множества G.

Из утверждения 3 получаем

Утверждение 4. Пустъ данъt .множество G С С и фунх;ци.я

рывны в тоrчх;е (х0, у0) Е IR2 .

За.меrчание 2. В силу утверждения 4 в комплексный анализ ав­

томатически переносятся теоремы действительного анализа о непре­

рывных функциях (о непрерывности суммы, произведения и т. д. не­ прерывных функций).

Пример 1. Функция w == zn, n Е N, непрерывна в С.

Пример 2. Функция w = Pn~z) , n, т Е N, где

Qm z)

Pn(z) == zn + an-1zn-1 + ... + ао, Qm(z) == z'n + bm-1zrn-1 + ... + Ьо,

непрерывна в G = {z 1 Qm(z)-# 0}.

Пример 3. Функция w == lzl непрерывна в С.

Пример 4. Функция w == z непрерывна в С.

Пример 5. Функция w == аrgгл z непрерывна в С\ (-оо, О] (это

докажем позже в §5).

18 Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

Пусть дана последовательность функций {/11(z)}~==O' fп: G-+ С.

Аналогично определению 4 вводится понятие фу'Н'I);'Ционалъного ряда,

порожденного этой последовательностью и понятия сходиiVIости и

сум~1ы этого ряда. Сумма ряда. обозначается как

n==O

Аналогично действительному анализу определяются понятия аб­ солютной и равномерной сходимости функционального ряда. (14).

Напомним последнее.

Определение 11. Пусть функции fп: G-+ С, n Е N определены

на множестве G. Функциональный ряд (14) называется равио.мерно

сходящи.мся на .множестпве G, если он сходится в каждой точке z Е

В силу утверждений 2 и 3 функциональные ряды обладают эле­ ментарными свойствами, известными для действительных функци­ ональных рядов. Например, справедлив критерий Коши равномер­

ной сходимости функционального р~да. (14). Как и в действительном

анализе доказываются следующие утверждения.

Утверждение 5. Су.м.ма равно.мерно сходящегося на G ряда из непреръtв'Н'ЫХ фу'Н'I);'Ций 'I);О.мnле'I);С'Ного пере.менного естъ непрер'Ьtвная фу'Н'I);'ЦUЯ.

Утверждение 6 (признак Вейерштрасса). Пустъ l/11 (z)l ~

+оо

~ an для Vn Е N и Vz Е G и пустъ числовой ряд L: an сходится.

п==О

+оо

Тогда фу'Н'I);'ЦиО'НаЛЪ'НЪtй р.яд L: f n (z) сходится абсолютно и равно-

п==О

.мерно на G.

§ 3. Дифференцирование функции комплексного

перемениого

Зафиксируем точку z0 Е С и ее окрестность Br(z0 ) = {z liz-

-z0l<r},гдer>O.

Определение 1. Если функция f: Br(z0 ) ---+С такова., что су-

ществует конечный предел отношения

z - z0

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Пусть существует производная f'(z0 ), т. е. справедливы выра­

жения (4), (5), где А= f'(z0 ).

Обозначим А= a+ib, а(дz) = а1(дх, ду) +iа2(дх, ду) и распи­

шем (5) через равенства действительных и мнимых частей, т. е.

откуда равенства (8) означают дифференцируемость по определе­

нию функций u(x, у) и v(x, у) в точке (х0, у0) Е IR2 , причем

Используя равенства (10) убеждаемся, что выполнены условия

Коши-Римана (6), причем

2. Пусть функции и(х, у), v(x, у) дифференцируемы в точке

(х0, у0) и выполнены условия Коши-Риr-.1ана (6). Тогда

дf == ди + iдv == au дх + au ду + al (дх, ду)+

ах ау

+i (av дх + av ду + а2(дх,ду)) (6)

свойства дифференцируемости функций.