ТФКП Половинкин

зом пунктяра будет граничная полуокружность и отрезок [1, +оо)

(см. рис. 8а).

конформна на области G3 и отображает ее на верхнюю полу­

плоскость G4 , причем образом пунктира будет интервал (-1, +оо)

(см. рис. 86).

Применяя теорему 1 (принцип симметрии), отсюда получаем, что

аналитическое продолжение суперпозиции указанных выше четырех

отображений w 4 · w3 • w 2 • w 1 конформно отображает область Н на

плоскость с разрезом, т. е. на область G5 ==С\ (-оо, -1].

перпозиция которых, очевидно, конформно отображает область G5

на верхнюю полуплоскость.

В итоге, взяв суперпозицию приведеиных выше шести отобра­ жений, получим искомое отображение области Н на верхнюю полу­

и

Рис. 10

Пример 3. Требуется найти конформное отображение, перево­

(см. рис. 10) на единичный круг В1 (О).

Для решения задачи разобьем область Н на три подобласти

при этом дополнительные (пунктирные) интервалы границы пойдут

по лучам

простых конформных отображений ищем отображение, переводящее область G0 в область

Более того, искомое отображение должно быть непрерывным на за­

мыкании области G0 по·лежащим на границе области G0 пунктпру l0 и штрих-пунктпру l 1 , которые должны отобразиться каждый сам

Как показано в пункте 1 §27, эта функция конформно отображает

область G0 на верхнюю полуплоскость Gб. При этом пунктир l0

ной ветвью обратной функции к функции Жуковского, причем

такой, что w2 ( i) = (1 + J2)i (здесь q)ункция g есть соответствую­

щая регулярная ветвь корня). Эта функция конформно отобра-

жает область GA на область G5 = {z lizl > 1, lmz > 0}, граница ко­

торой содержит пунктир (образ пунктира) по интервалу (1, +оо)

будет гармонической функцией в круге B<S(z0 ), а в силу произволь­

Приведем формулировки классической и общей задач Дирихле.

Класси~еска.я зада~а Дирихле. Дана ограниченная односвязная область G С С с кусочио-гладкой границей Г, и на границе Г за­

дана непрерывная функция u0 (x, у). Требуется найти гармониче­ скую в области G функцию u(x, у), которая непрерывна на замыка-

нии области G == G U Г и на границе совпадает с заданной функцией,

т. е. u(x, у) l(х,у)ЕГ == и0(х, у).

Обща.я зада~а Дирихле. Пусть на кусочио-гладкой границе Г од­

носвязной области G из расширенной комплекспой плоскости С за­ дана ограниченная функция u 0 : Г -7 IR1 , непрерывная всюду, кроме,

быть может, конечного числа точек ( 1 , ... , (n, где она может иметь

лишь точки разрыва 1-го рода (вдоль границы Г). Обозначим через

-~

Г== Г\ {Uk'=1(k}· Требуется найти гармоническую и ограниченн_хю

в области G функцию и, которая непрерывна на множеств~G U Г и

принимает значения u 0 ( () в каждой точке ( из множества Г.

За.ме~ание 1. В общей задаче Дирихле область G может быть

неограниченной и содержать бесконечно удаленную точку оо как внутри себя, так и на границе Г. Из ограниченности гармоничес­ кой функции в окрестности оо следует, что оо есть устранимая осо­

бая точка. Если же бесконечно удаленная точка лежит на границе Г области G, то из условия общей задачи Дирихле следует, что гранич­

ная функция и0 имеет конечные односторонние пределы в оо вдоль кривой Г.

Лемма 1. Если существует решение u(z) общей зада~и Дирихле

в ограни~енной односвязной области G с кусо~но-гладкой границей

Г, то оно nринимает зна~ени.я в интервале [т, М], где т и М -

-

инфину.м и супре.му.м грапи~пой функции u 0 на .множ;естве Г == Г \

\ {Ui:=1 (k}, где ( 1 , ... , (п Е Г - все то~ки разръtва фу.н.кции u 0 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть d обозначает диаметр области G,

т. е. d t::. sup{ 1z1 - z2 1 1 z1 , z2 Е G}, и пусть фиксировано произвольное

число с > О . Рассмотрим функцию

Функция Uc:, очевидно, являе!ся гармонической в области G и не­

прерывной на множестве G U Г.

z-+(k

188 Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

где во втором интеграле мы заменили ( на функцию ( = ReiФ, и,

соответственно, d( == i( d'lj;.

Рассмотрим точку, симметричную выбранной точке z относи­

Левый интеграл в (10) равен нулю в силу того, что его подынте­ гральная функция является регулярной в круге BR(O), и для нее справедлива теорема Коши (теорема 1 из § 7).

Выбирая слева и справа в равенстве (13) действительные части и

обозначая

ио(х,Y)ilzi=R ~::,. 'iio('Ф),

получаем так называемую формулу Пуассона

Правая часть формулы (14) называется интегралом Пуассона, она

вычисляется через значение функции u 0 на границе круга. Слева

в (14) стоит решение задачи Дирихле u(x,y) на круге BR(O).

Таким образом, мы доказали, что если решение классической за­

дачи Дирихле существует, то оно выражается через интеграл Пуас­

сона.

Определим ядро интеграла Пуассона (14) по формуле

21Г ( - z

удобную для его вычисления с пом~ощью вычетов.

Перейдем к вопросу существования решения общей задаtttи Ди­

рихле на круге и покажем, что именно интеграл Пуассона {14) явля­

ется решением, причем не только классической, но и общей задачи Дирихле на круге.

Для этого вначале изучим свойства ядра {15) интеграла Пуас-

сона.

Лемма 2. Справедливо равенство

До к аз а т е ль с т в о. Интеграл J(z) представим в виде J(z) ==

==ReJ*(z), где интеграл J*(z) удовлетворяет равенству

оz

Д о к аз а т е ль с т в о. Так как ядро К((, z) можно записать в

к нулю. Оценим поведение знаменателя при z---+ (0 . Так как функ-

ция е-i'Ф непрерывна, то найдется число с0 >О такое, что j(- (0 1 = = Rll- еi(Ф-Фо)j ~ с-0 при ф Е (ф0 +д, ф0 + 27Г- 6]. Выбирая точку

Теорема 3. Реше'Ние общей зада'Чu Дирихле 'На х:руге BR(O) су­

ществует и описъtвается и'Нmеграло.м. Пуассо'На (14).

Д о к аз а т е ль с т в о. Покажеrv1, что если граничная функция

и0(() является кусочио-непрерывной на окружности 'YR = {( jiCI =

= R}, то формула Пуассона (14) дает решение общей задачи Дири­ хле на круге BR(O). В самом деле, правая часть формулы (14) опре­ деляется значениями функции и0( () на окружности тR, причем инте­ грал Пуассона (14) определен на круге BR(O). В силу формулы (15) интеграл Пуассона (14) можно преобразовать к виду u(z) = Ref(z),

где

Такиl\1 образом, эта разность стреrvtится к нулю при дz -t О, т. е. су­ ществует производпая f'. Она задается интегралом, приведеиным в разности (21), который, очевидно, является непрерывной функцией на круге BR(O). В итоге мы показали, что функция f регулярна, а интеграл Пуассона (14) является гармонической функцией на круге

ВR(O).