ТФКП Половинкин

Это означает, что функция Жуковского отображает луч Л<Ро на ветвь

гиперболы (7), q)окусы которой находятся в точках +1 и -1 (так как

здесь с2 == а2 + Ь2 = cos2 ср0 + sin2 <р0 = 1) (см. рис. 9).

Если О < ср0 < ~,2 'I'O из формул (4) получаем, что в образе и > О,

а функция v при возрастании параметра t возрастает от -оо до +оо,

т. е. образом луча является правая ветвь гиперболы (7) .

Если ~2 < ср0 < 1r, то из формул (4) получаем, что в образе и<

<О, а функция v возрастает, т. е. образом этого луча является левая

ветвь гиперболы (7).

При замене ср0 на -ср0 из формул (4) следует, что образом луча

л_<Ро служит та же ветвь гиперболы, что и образом луча л<Ро' с за­

меной направления движения по ней на противоположное.

В заключение осталось рассмотреть образы лучей, идущих по ко­

противоположными направлениями обхода).

Для ср0 =О образом луча Л0 будет луч [1, +оо) с двойным обхо­

дом.

Для 'Ро = 1Г образ луча л7r будет луч (-оо, -1] с двойным обходом.

Разберем некоторые примеры областей, на которых функция

Жуковского (3) конформна.

у v

Рис. 10

Пример 6. Пусть дана область G6 = В1(0) 6 {z llzl < 1}, то

функция Жуковского конфор!\п-Iа на G6 , причем ее граница lzl =

== 1 переходит в разрез по отрезку [-1, 1] (см. рис. 10).

Рассмотрев образы всех окруЖностей с центром в О, содержа­

щихся в области G6 , в силу приведеиных выше рассуждений полу­

чаем, что функция Жуковского отображает область G6 на область

G~ =<С\ [-1, 1].

Пример 7. Пусть дана верхняя полуплоскость G7 = {z 1 Imz >

> 0}. Тогда функция Жуковского на области G7 конформна, и, рас­

смотрев образы лучей, выходящих из нуля и лежащих в верхней

полуплоскости, получаем, что образом области G7 является область

G7 =<С\ (( -оо, -1] U [1, +оо)) (см. рис. 11).

Рис. 11

Заме'Чание 2. Разобранные выше примеры позволяют также кон­

формно отображать область G~ на область G6 , а область G7 кон­

формно отображать на область G7 . Для этого нужно рассмотреть

обратные к функции Жуковского отображения. Из определения

функции (3) получаем квадратное уравнение относительно z

z 2 - 2wz + 1 = О,

решая которое получаем, что в области G~ существуют две регу­ лярные функции, обратные к функции Жуковского, это функции

z = w ± 90 (w), где 90 (w) есть та регулярная ветвь корня {Jw 2 - 1},

которая эквивалентна w при w --t оо. Тогда область G~ конформно

отображается на область G6 функцией z = w - g0 ( w), так как при

w--t оо ее предел равен нулю.

Водносвязной области G7 также существуют две регулярные

ветви многозначной функции {Jw 2 - 1}. Возьмем ее регулярную

где число а> О. Границей области G8 является окружность 'У, про­

ходящая через точки ±1, ib и -i, где Ь ~а+ Ja2 + 1 (см. рис. 12).

ь

Дробио-линейное отображение f(z) = .!. отображает окружность

z

т на себя, так как три точки из т отображаются на три точки из т,

т. е. J( -1) == -1, f(1) = 1, f(ib) = _'i. Так как f(oo) =О, то функция

ь

174 Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

буется найти функцию f: G 1 ~ G2 , осуществляюшую конформное

отображение области G 1 на область G2 .

Решению этой задачи могут помочь уже разобранные примеры конформных отображений в §26 и в § 27. Центральное место в ре­

шении такой задачи занимает следующая теорема.

Теорема 1 (Риман). Пусть дана односвязная область G в С,

граница tеоторой состоит более 'Че.м из одной то'Чх;и. Тогда суще­

ствует tеонфор.мное отобра:жение области G на х;руг lwl < 1. При

это.м для х;а:ждого z 0 Е G, tеа:ждого w 0 Е В1 (О) и х;аждого а Е [0, 21r)

существует и единственна фунх;ция f: G ~ В1 (0), осуществляю­ щая tеонфор.мное отображение области G на область В1 (О), для

х;оторого въtполнен'Ы условия нор.мировх;и:

Теорему приводим без доказательства. При желании доказатель­

ство можно найти в § 12 книги [9].

конформные отображения, существующие по теореме 1, тогда g- 1 · f

До к аз а т е ль с т в о. То, что функция (12) отображает круг

В1 (О) на круг В1 (О) конформно, показано в § 26. Допустим, что

имеем некоторое другое конформное отображение f этого круга на

впадает с функцией f' т. е. других конформных отображений круга

где последнее равенство в (3) следует из того, что по условию тео­

ремы f(x 0 ) Е ( u:=l t;), т.е. является действительным числом.

щить со случая симметрии относительно действительной оси на слу­ чай симметрии относительно произвольной прямой или окружности.

Такое обобщение можно легко доказать, воспользовавшись дробио­

линейным отображением, которое переводит данную прямую (или данную окружность) в действительную ось аналитическим продол­

жением по теореме 1 и обратным дробио-линейным отображением,

переводящим действительную ось в данную прямую (или в данную окружность).

Приведем несколько примеров, демонстрирующих эффектив­

ность применения принцила симметрии при отыскании функций, осуществляющих конформные отображения заданных областей в за­ данные области, при наличии у этих областей симметрии относи­

тельно прямой или окружности.

Пример 1. Требуется найти конформное отображение, перево­ дящее область

Н= {z 1 Imz >О}\ ({z 1 z = t(1 + i), t Е [0, 1]} U

U {z 1 z = t( -1 + i), t Е (0, 1]})

(см. рис. 2а) в верхнюю полуплоскость плоскости С.

7 - 8717

границе области G4 пунктир будет проходить по интервалу (-оо, О) (см. рис. 46).

Е (0, 1r). Эта функция, являющаяся регулярной ветвью корня, кон-

формноотображаетобластьG4 наобласть G5 = { z 1 Im z > О, Re z >

> 0}, причем пунктир (-оо, О) отображается на пунктир (iO, +ioo), лежащий на границе области G5 (см. рис. 5).

у

х

Рис. 5

Итак, функция f = w5 · w4 • w 3 • w 2 • w1 конформно отображает

область G на область G5 , при этом она непрерывна на замыкании

области G по пунктируинтервалу (iO, +ioo), который она отобра­

жает на себя. Отсюда и из принципа симметрии (см. замечание 1)

следует существование аналитического продолжения функции f с области G на область Н, которое осуществляет конформное отобра­ жение области Н на верхнюю полуплоскость.

Пример 2. Требуется найти конформное отображение, перево­

дящее область Н= {z =х + iy 1 у2 < 2р (х + ~)}, где число р >О

(см. рис. ба) на верхнюю полуплоскость.

Границей области Н является парабола. Всякая регулярная (на­

пример, в области С \ [0, +оо)) ветвь корня {y'z} переводит данную

параболу в прямую. Однако в отличие от примера 1.3 из §27 мно­

гозначная функция {y'z} не имеет регулярных ветвей в области Н,

так как в этой области содержится точка ветвления О функции y'z.

Чтобы обойти эту трудность, воспользуемся симметрией обла­ сти Н относительно действительной оси. Выберем в качестве новой

области G верхнюю половину области Н, т. е.

G ={z =х+ iy 1 у2 < 2р ( х + ~) , у > О}.

7*