ТФКП Половинкин

ности 'У и Г перпендикулярны.

Достато'Чностъ. Пусть точки z и z* таковы, что любая окруж­

ность Г, проходящая через эти точки, перпендикулярна данно~

окружности 'У радиуса R с центром в точке а.

1) Рассмотриl\1 в качестве кривой Г прямую, проходящую через

точки z и z*. Так как прямая Г перпендикулярна окружности 'У,

то прямая Г проходит через центр а. Более того, точки z и z* ле­

жат на одном луче с началом в точке а, так как в противном слу­

чае, проведя окружность Г1 с диаметром, совпадающим с отрезком

[z, z*], очевидно, получаем, что окружность Г1 не перпендикулярна

окружности 'У, т. е. не выполнено условие.

2) Рассмотрим теперь в качестве Г окружность, проходящую че­

рез точки z и z*.

Обозначим через ( точку пересечения окружностей, т. е. ( Е Г n n 'У· Тогда касательная к окружности Г в точке ( (обозначим ее L)

по условию перпендикулярна касательной к окружности 'У в точке z

(обозначим ее l), следовательно, прямая L пройдет через центр а, т. е.

отрезок [а,(] лежит на касательной L к окружности Г. По тeopeiVIe о

касательной и секущей получаем R2 == 1(- al2 == lz- al·lz*-al. Это

означает, что точки z и z* являются симметричными относительно

ные точки относительно окружности 'У и пусть дробио-линейное ото­

бражение f вида (1), (2) переводит окружность 'У в кривую ;у== f('Y)·

По круговому свойству (по теореме 2) кривая ;у является окружно­

стью (или прямо~. Пусть w 0 == f(z0 ), v:__o == f(z0). Рассмотрим лю-

бую окружность Г такую, _.:то w0 , w0Е Г. Тогда существует окруж­

ность Г такая, что f(Г) ==Г и z0 , z0 Е Г.

Так как точки z0 и z0 симметричны, то по лемме 1 окружность Г

перпендикулярна окружности 'У· По свойству сохранения углов при

конформных отображениях и так как по теореме 1 дробио-линейное

отображение конформно в С, окружность f == f(Г) будет перпен­

дикулярна окружности ;:у== f('Y)· Отсюда в силу произвольности

окружности Г и по лемме 1 следует, что точки w 0 и w0 являются

Теорема 4. Совох;упностъ дробно-линейнъtх отображений обра­

зуеrп группу относительно операции суперпозиции, т. е. су­

перпозици.я двух дробно-линейнъtх отобраа~еений .явл.яетс.я дробно­ линейнъt.м отображением, и обратное х; любому дробно-линейно.му отображению тах;же .явл.яетс.я дробно-линейнъtм отображением.

Подставив (13) в (14), после элементарных преобразований полу­

чаем их суперпозицию вида

az +Ь

w= -- (15) cz + d'

где коэффициенты а, Ь, с, d таковы, что справедливо равенство опре-

делителей

(16)

т. е. ad- сЬ :1 О, следовательно, отображение (15) также является

дробно-линейным.

Доказательство того, что обратное отображение к дробио­ лИнейному также является дробио-линейным, приведено в доказа­

Разберем некоторые примеры канонических областей в плоско­

сти С и их образов, получаемых при дробио-линейных отображе­

ниях.

Пример 1. Описать конформные отображения верхней полу­

плоскости Im z >О в круг \wl < 1.

Р еше н и е. Выберем произвольную точку z0 в верхней полу­ плоскости. Найдем дробио-линейное отображение, которое перево­

Так как симl\tетричные относительно прямой Im z = О точки z0 и z0 по свойству дробио-линейных отображений перейдут в сиr-.1ме­

тричные точки О и оо, то образом прямой Im z =О будет окружность

с центром в точке О. Чтобы получить из (17) требуеr-.1ое отображение

верхней полуплоскости Im z > О в круг \wl < 1, для любой точки z1 , Im z1 = О, ее образом должна быть точка w1 такая, что \w1 \ = 1. Для

этого уточним величину А, т. е.

получили, что отображения вида

·~

w = е~.а z- z0 (18)

z- z0

описывают семейство искомых конформных отображений, опреде­ ляемых выбором двух параметров: точки z0 , у которой Im z0 >О, и

действительного числа а, где а Е (0, 21Г).

В следующем параграфе мы покажем, что семейство (18) описы­

вает все конформные отображения верхней полуплоскости на еди- ·

личный круг.

Пример 2. Описать конфорl\1ные отображения круга lzl < 1 на

При отображении (19) окружность lzl = 1 переходит в некоторую окружность с центром в точке О. Чтобы это была окружность lwl =

= 1, достаточно для любой точки z1 = ei~P посчитать модуль образа

описывают семейство требуемых конформных отображений, опре­

деляемых выбором двух параметров: точки z0 такой, что lzol < 1, и

действительного числа а.

В следующем параграфе мы покажем, что семейство (20) описы­

вает все конформные отображения единичного круга на себя.

Пример 3. Описать дробио-линейные отображения, которые

три различные точки z1 , z2 , z3 отображают в три различные точки

w 1, w2 , w 3, т. е. wk == f(zk), k == 1, 2, 3.

Р е ш е н и е. Такое конфорl\1ное отображение, очевидно, зада­ ется формулой

(21)

Если выразить неявную функцию w = f(z) из (21), то получится,

что функция f является дробио-линейным отображением, так как

она представима в виде суперпозиции двух отображений

а отображение g- 1 также дробио-линейно (см. теорему 4).

168 Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

= ez конформно отображает область G4 на полукруг G4 = {z llzl <

< 1, Im z >О} (см. рис. 6).

v

Рис. 6

Пример 5. Пусть прямоугольник G имеет видG5 !::. { z = х+ iy 1 1 х > О, О < у < 1Г}. Тогда в силу сказанного выше функция w =

и

Рис. 7

Зa.мetttaнue l. Так как конформные отображения во многих при­

мерах (как в примерах 1, 2 и примерах 4, 5) заданы регулярными функциями, однолистными на соответствующих областях, то обрат­

ные к ним функции конформно отображают образы на соответству­

ющие им прообразы. Это уже показано в примере 3. Также, напри­

мер, полукруг G4 регулярной функцией h(z) = ln lzl + i arg z, arg z Е Е (0,1Г), конформно отображается на область G4 , а область G~ этой

же функцией h конформно отображается на область G5 .

3. Функция )Куковского. Функция

(3)

называется фун'Х:цией Жух;овсх;ого. ' Исследуем, каким условиям должна удовлетворять область,

чтобы функция Жуковского (3) на ней была конформной.