§ 24. |
Принцип сохранения области |
|
|
|
151 |
Пусть w0 = f(z0 ). |
По теореме 1 |
существует |
круг B€(w 0 ) |
та |
кой, что B€(w 0 ) С f(G). Возьмем в круге B€(w 0 ) |
точку w1 |
на го |
ризонтальном радиусе правее w0 , т. е. |
Re w1 > Re w0 |
(см. рис. |
2б), |
причем существует точка z1 Е G такая, что f(z 1 ) |
= w1 . |
Тог~а |
Ref(z1 ) = и(х1 ,у1) > и(х0,у0), что противоречит допущению. Сле
довательно, допущение неверно.
2.Доказательство утверждения о минимуме следует из пер
вой |
части доказательства о максимуме, |
так как min и(х, у) == |
= - |
max ( -и(х, у)), а функция -u(x, у) также является гармоничес |
кой функцией. |
11 |
Теорема 4 (О среднем для гармонической функции).
Пусть фунJСция и : ВR (а) --t |
IR является гар.мониrчесх:ой в х:руге |
ВR (а) и непрерьtвной на его за.мьtх:ании ВR (а). |
Тогда справедлива |
формула |
|
|
211" |
|
|
|
|
|
|
|
и(а) = |
_!_ |
1 |
и(а+ Rei"') d<p. |
(6) |
|
21Г |
|
о |
|
|
Д о к аз а т е ль с т в о. По теореме 2 §4 существует регулярная
функция f: BR(a) ~С такая, что Ref(z) == и(z). Тогда по инте-
гральной формуле Коши для любой окружности 'Ур = {z liz- aJ =
== р}, где рЕ (O,R), имеем равенство
|
f(a) |
= ~ ( |
!(() d(. |
|
|
|
|
21rz |
1'У (-а |
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
Так как для всякой точки ( |
Е 1Р, |
справедливо представление ( |
= а + |
+ pei"', где О ~ <р ~ 21r, |
то d( = ipei'P d<p, и после замены переменных |
в интеграле получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(a) = ~ {21r f |
(а+ peiv) ipei<P dr.p |
= _!_ |
{21rf (а+ pei'P) d!p. |
(7) |
21Гl 1о |
|
ре~~ |
|
|
21Г |
1о |
|
Выбирая в (7) действительные части, получаем равенство |
|
и(а) = |
|
1 |
21Г |
|
|
|
2._ |
|
и(а+ pei"') d<p. |
(8) |
|
|
27r о |
|
|
|
|
|
В силу непрерывности функции u(x, у) на круге BR(a) и в силу рав номерной по <р Е [0, 27r] непрерывности функции р ~ и(а+ pei"') при р Е (0, R], устреl\tляя р к R, по известной тeopeiVre l'латематического
анализа о переходе к пределу под знаком интеграла, получаем фор
152 |
Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП |
§25. Конформные отображения в С
Вданном параграфе сформулируем определение конформного отображения в произвольной области из С и объясним некоторые
геометрические свойства такого отображения.
1.Прежде всего, мы изучи:м геометрический смысл модуля и
аргу~1ента производной функции.
Пусть дана функция f : G -t С, определенная в области G С
С С. Пусть точка z0 Е G такова, что в ней существует производпая f' (z0 ) :/:. О. Обозначиi\1
w0 = f(z0 ), |
|
дw = f(z)- f(z 0 ), |
|
дz = z- z0 • |
Тогда в силу определения производной имеем |
|
|
|
|
|
дw = f'(z0)дz + а(дz), |
|
|
(1) |
где lim |
a(~z) =О, |
f'(z |
0 |
) = их(х |
0 |
, у |
0 |
) + ivx(x |
0 |
, у |
0 |
). |
дz--..+0 |
~z |
|
|
|
|
|
|
РасСI\·Iотрим приращение функции дw по формуле (1), т. е. вос-
пользовавшись его приближенным представленнем через дифферен
циал dw = f'(z0)дz (так как с точностью до членов более высокого
порядка малости, чем lдzl, имеет место приближенное равенство
дw::::: dw). Расписав дифференциал dw по компонентам, получаем
|
Дv |
V |
и |
Ду |
|
(i |
|
Ду |
|
|
( |
ди)::::: (их |
-vx) |
(дх) =К· |
Vx |
-k )(дх) |
' |
(2) |
|
|
|
• |
|
Ux |
|
|
|
х |
х |
|
[( |
к |
|
|
где К ~ lf'(z0 )/. |
Из выражения (2) |
следует, что линейное относи |
тельно дz отображение d1v = f'(z0)дz является суперпозицией двух
отображений: растяжения с коэффициентом К= lf'(z)1 >О и ор
0
тогонального преобра.зования плоскости (так как очевидно, что по
следняя I\Iатрица в равенстве (2) ортогональна).
В частности, так как ldwl = lf'(z0)llдzl, то образом окружности
'Yr !':. {z jlz- z0 1= r} радиуса r >О (на которой ID.zl = r) при ото-
бражении f будет окружность 'У= {w jlw- w 1= Kr} радиуса Kr
0
с точностью до o(lдzl) (см. рис. 1).
Полученное свойство отображения f называют свойством сохра
нения О'Х;ружности в .мало.м, причем коэффициент линейного растя
жения в точке z0 равен |
|
|
|
К= lf'(z0)1 |
= |
lim lдwl. |
(3) |
|
|
lдzl---+0 lдzl |
|
Кроме того из формулы (2) |
тllfкже следует, |
что отображение f |
сохраняет углы между кривыми, выходящими из точки z0 , так как
§ 25. Конформные отображения в С |
153 |
каждая из них повернется на один и тот же угол. Поясним это более
подробно.
z'
2
/2
о |
|
|
х |
о |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
Пусть функция f: G --t |
С регулярна в пекотором круге Br(z0 ) |
и пусть в этом круге f'(z) i=- О. |
Пусть w0 = f(z0 ). |
Рассмотрим |
два гладких контура г1,г2 |
С Br(z0 ), |
проходящие |
через точку |
z0 |
(см. рис. 1), т. е. представимые в виде |
|
|
|
|
Tk = {z |
1 |
z = zk(t), t |
Е [t0 |
- д,t0 |
+д]}, б> О, k Е 1,2, |
(4) |
~ |
|
|
|
|
|
-- |
|
причем z~(t) i=- |
О и z1 (t0 ) = z2 (t0 ) |
= z0 . |
|
|
|
|
Тогда функция f отображает контуры Гk, k Е 1, 2, |
в кривые |
|
1k = {w 1 w = wk(t) D. f(zk(t)), |
t Е [t0 - б,t0 +б]}. |
(5) |
Тогда в силу очевидной формулы |
|
|
|
|
w~(t) = f'(zk(t))z~(t), Vt Е [t0 |
- д, t0 +б], |
k Е 1,2, |
(6) |
получаем, что w~ (t) i=- О, Vt, |
т. е. кривые гZ являются гладкими кон |
турами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол между кривыми г1 |
и 12 в точке z0 по определению есть угол |
между касательными векторами z~ (t0 ) и z~(t0). Соответственно, угол между кривыми тi и г2 в точке w0 есть угол между векторами w~ (t0 )
и w~(t0). При этом из формулы (6) при t = t 0 |
получаем |
|
w~(t0) = f'(z0)z~(t0), |
|
|
откуда следует равенство |
|
|
Arg w~(t0 ) = аrgгл /'(z0 ) + Arg z~ (t0 ), |
Vk Е 1, 2. |
(7) |
Из формулы (7) следует, что каждый касательный вектор z~(t0)
контура Tk при отображении f поворачивается на один и тот же угол
аrgгл /'(z0 ). То есть угол между двумя кривыми, выходящими из точки z0 , сохраняется при регулярном отображении/, если f'(z0 ) i:-
=1 О. Это свойство называется свойством сохраиеиия углов.
154 |
Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП |
Заметим, что длины приведеиных выше контуров Tk и Tk вычи
сляются через криволинейные интегралы первого рода по формулам
l(-yk) = jldzj, |
l(-rk) = l.ldwl = jlf'(z)lldzj, |
~k |
~k |
~k |
т. е. мы еще раз видим, |
что величина 1/'(z)lявляется коэффициен |
том линейного растяжения в точке z при отображении f.
Приведем другой пример, демонстрирующий свойство модуля
производной функции как коэффициента линейного растяжения.
Возьмем вектор-функцию вида
и=и(х,у), (х, у) Е G, |
такую, что и, v Е Cl(G) , |
{v = v (х, у) ' |
|
|
|
|
|
причем ее якобиан |
д |
|
и |
х |
|
|
|
J(x, у) = |
|
|
|
|
|
|
vx |
|
Как известно из математического анализа (см., например, §44 в [3]),
такая вектор-функция отобразит измеримое по Жордану множество
G с IR2 на измеримое множество G*, мера Жордана которого удо
влетворяетравенству
mG* = Jla IJ(x,y)jdxdy. |
(8) |
В случае, когда функции и, v суть компоненты регулярной функ
f(z) = и(х,у) + iv(x,y), где и,v Е C 1 (G) и f'(z) =/=О на
в силу условий Коши-Римана получаем
|
и |
|
|
|
2 |
|
J(x,y)= |
vx |
|
|
|
|
|
|
|
=и;+ v~ = l/'(z)l >О. |
|
|
х |
|
|
|
|
|
Поэтому формула (8) принимает вид |
|
|
|
2 |
(9) |
|
|
mG* = Jla lf'(z)jdxdy, |
т. е. величина l/'(z)l2 является коэффициентом растяжения площа
дей в точке z при отображении f.
2. На основе указанных геометрических свойств производной
функции введем понятие конформного отображения.
Определение 1. Отображение f: Br(z0 ) --t С называется 'IСО'Н
фор.мнъt.м в mo'Ч'ICe z0 Е С, если его компоненты и(х, у), v(x, у) диф
ференцируемы в точке z0 = х0 + iy0 , а линейное отображение |
|
du = их(х0, y0 )Lix + иу(х0, у0)6.у, |
|
{ dv = v"(x0 , у0)~х + vy(x0 , у0)~у, |
(lO) |
§25. Конформные отображения в С |
155 |
представляет собой композицию растяжения и поворота относи тельно точки О.
Теорема 1. Отображеиие f |
к:оифор.мно в то'Чк:е z0 |
Е <С тогда |
и то.лъх;о тогда, к:огда фун.х;ци.я |
f диффереицируе.ма в |
то'Чк:е z0· и |
f'(z0 ) =1= О. |
|
|
До к а з а т е л ь с т в о. То, что дифференцируемая функция f,
укоторой f'(z0 ) -:/:-О, конформна в точке z0 (по определению 1), было
показано в начале этого параграфа. Допустим обратное. Пусть ото
бражение f конформнов точке z0 == х0 +iy0 . Тогда по определению 1
выражение (10) принимает вид
du) == /( ( |
cos () |
sin ()) (дх), |
К > О, |
(11) |
(dv |
- sin () |
cos () |
ду |
|
|
откуда следует, что их = |
к cos (), Uy == к sin е, |
vx == -К sin (), |
Vy == |
== К cos О, т. е. выполнены условия Коши-Римана, в результате чего
функция f дифференцируема в точке z |
0 |
и l/'(z)1 ==К =1= О. |
11 |
|
0 |
|
Определение 2. Отображение f : G -+ С называется к:оифор.м иы.м в области G С С, если оно однолистно на области G и кон
формно в каждой точке из области G.
За.ме'Чаиие l. В силу теоремы Гурса (см. замечание 1 § 7) из того,
что функция дифференцируема в каждой точке области следует, что
она непрерывно дифференцируема в этой области, т. е. регулярна. Поэтому и в силу теоремы 1 функция, осу1цествляющая конформное
отображение области <С в комплексну1о плоскость <С является регу
лярной в данной области.
Обобщим понятие конформного отображения на случай расши
ренной комплексной плоскости С.
Отметим, что определенное выше понятие конформности отобра
жения в конечной точке включает в себя два геометрических свой ства таких отображений: свойство сохранения углов и свойство со
хранения окружностей в малом. Мы хотели бы определить кон
формность отображения в бесконечно удаленной точке оо, опираясь
на эти же геометрические свойства, по крайней мере, на свойство
сохранения углов.
Для этого необходимо ввести понятие угла между кривыми в бес
конечности. Отметим следующие два свойства стереографической
проекции <С на сферу Римана S (см. §2).
1) Угол между любыми двумя гладкими кривыми, пересекающи мися в пекоторой конечной точке из <С, при стереографической про
екции переходит в равный ему угол между образами данных кривых
на сфере Римана S.
156 |
Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП |
2) Отображение плоскости С на плоскость С, осуществляемое |
u |
1 |
ф |
u |
функциеи w = |
-, при стереогра |
|
ическои проекции соответствует по- |
|
z |
|
|
вороту сферы Римава на угол 1Г вокруг диаметра сферы с концами
вточках, являющихся образами точек +1 и -1 из С.
Всилу этих свойств под углом между двумя неограниченными кривыми в точке оо следует понимать угол между образами этих
кривых (при стереографической проекции) на сфере Римава в верх
ней точке Р, если эти образы имеют в точке Р касательные. Этот угол, в свою очередь, совпадает с углом в точке нуль на плоскости С
между новыми кривыми, получаемыми из данных кривых при ото
бражении w == 1/z плоскости С на себя.
Приведеиные выше соображения порождают следующие опреде
ления.
о
Определение 3. Пусть функция f: BR(oo)--+ С имеет в точке z0 = оо устраниму1о особую точку. Скажем, что отображение f кон-
формнов точке оо, если отображение g(z) 6 f (;),доопределенное
по непрерывности в нуле, конформно в точке нуль.
Определение 4. Пусть точка z0 Е С является особой точкой
функции /,но не является устранимой особой точкой. Скажем, что
отображение f конформнов точке z если отображение g(z) == 1
0 , f(z),
доопределенное в точке z0 по непрерывности, конформнов точке z0 .
За.ме'Чание 2. Отметим, что в определении 4 особая точка может
быть только полюсом 1-го порядка, так как иначе нарушается од нолистность в малом, т. е. в л1обой проколотой окрестности особой
точки.
У пр а ж н е н и е 1. Докажите справедливость замечания 2. Теперь мы можем ввести понятие отображения, конформного в
области из расширенной плоскости С в расширенную плоскость С.
Определение 5. Отображение f : G --+ С называется 'I'ЬО'Нфор.м 'Н'Ы.М в области G С С, если оно однолистно на области G и кон
формнов каждой точке из области G.
Рассмотрение конкретных классов конформных отображений,
получаемых с помощью элементарных функций, проделаем в сле
дующих трех параграфах.
§26. Дробио-линейные отображения
Вэтом параграфе изучим свойства дробио-линейных отображе ний, важнейшего класса конформнь1х отображений плоскости С на
§26. |
Дробио-линейные отображения |
157 |
Определение 1. Функция (или отображение) вида |
|
|
az + Ь |
(1) |
|
w== cz + d ' |
|
|
где коэффициенты |
а, Ь, с, d Е С и ad- Ьс =Р О, называется |
дробно |
линейной фунr.;цией (или отобра;жение.м). |
|
Доопределим функцию w из (1) на бесконечности по непрерыв ности в <С:
1) если с == О, то полагаем
w(oo) == оо, |
(2') |
2) если с "# О, то полагаем |
|
w(oo) = ~' w ( -~) = оо. |
(2) |
Таким образом, функция (1), (2) отображает С в <С.
В случае, когда с == О, получаем линейную функцию, свойства
которой считае:м хорошо известными из курса линейной алгебры и
аналитической геометрии. Поэтому, как правило, полагаем, что с =Р
=1 о.
Теорема 1. Дробио-линейпая фунr.;ция (1), (2) отобра;жает рас
ширенну1о r.;о.мплеr.;сную плос~осrпъ С на всю расширеиную r.;о.м плеr.;сную nлocr.;ocrnъ С ~онфор.мно.
До к а з а т е л ь с т в о. 1. Докажем однолистность функции (1),
(2)на плоскости С. Из <lJормул (1), (2) элементарными вычислени
ями l\1ожно выразить z через w, в результате чего получаем, что
существует обратное отображение вида
z(oo) == d z (~) = 00. (4)
с '
Таки~1 образом, отображение (1), (2) однолистно отображает плос кость <С на всю плоскость <С, причем, так как определитель
с-а
то обратное отображение (3), (4) также является дробно-линейным. 2. Докажем конформность функции (1), (2) в каждой точке z0
плоскости <С. |
|
|
|
|
|
1. Пусть z0 =Р -~, z0 |
# оо. Тогда |
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
w' (z ) == |
a(cz0 |
+ d) - с(Ь + az0 ) |
ad- Ьс |
:ро. |
(5) |
--- 2 |
о |
|
(czo + d)2 |
(cz0 + d)' |
|
|
158 Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП
2. Пусть z0 |
= -~. Так как |
lim w(z) = оо, то рассмотрим функ- |
|
с |
Z~ZO |
|
цию |
|
|
|
|
g(z) ~ _1__ cz+d |
|
w(z) |
o.z + Ь' |
|
g'(zo) = Ьс- ad = |
с2 =1 О. |
|
(az0 |
+ Ь)2 |
сЬ- ad |
Это значит, что q)ункция g конфорrv1на. в точке z0 , откуда по опре |
делению 4 § 25 функция w(z) конформна в точке z0 = -~. |
|
= оо. |
|
|
|
|
|
с |
3. Пусть z0 |
Тогда |
lim w(z) = ~. Исследуеrvt на. конформ- |
|
|
|
|
z~оо |
с |
|
|
ность функцию |
|
|
|
~ w (!) = а+Ь( |
|
|
|
g(() |
|
|
|
|
|
( |
с+ d( |
|
в точке ( 0 = О. |
Вычисляя производную в этой точке |
|
1 ( /" ) = |
|
Ьс - ad = Ьс - |
ad -1- О. |
|
g |
~о |
(с+ d(o)2 |
с2 |
|
1 |
получаеrv1, что функция g конформна в нуле. |
Отсюда по определе |
нию 3 § 25 функция w(z) конформна в точке оо. |
Итак, по определениям 1-5 §25 функция (1), (2) конформно ото- |
бражает плоскость С на всю плоскость С. |
|
11 |
У пр а ж н е н и е |
1. |
Докажите, |
что если функция f: С--+ С |
конформно отображает плоскость С на плоскость С, то функция f является дробно-линейной.
Отметим следующее круговое свойство дробно-линейных отобра
жений.
Теорема 2. При дробно-линейно.м отображении (1), (2) образом
любой ох;руж·носrпи или пря.мой является ох;ружностъ или пря.мая.
Д о к аз а т е ль с т в о. Для линейного отображения (т. е. при
с= О) |
а =1 О, |
(6) |
w = az + Ь, |
круговое свойство, приведеиное в формулировке теоремы, очевидно, справедливо, так как из линейной алгебры известно, что линейное
отображение на плоскости IR2 сводится к суперпозиции преобра.зова
ния подобия, поворота и переноса, при которых окружности перехо
дят в окружности, а прямые в прямые.
В общем случае (при с =1 О) представим отображение (1) в виде
w = ~ + -o.d + Ьс . |
1 |
с |
с |
cz + d' |
т. е. функцию (1) представим в виде суперпозиции трех отображе-
ний:
'l.V = Q + {3t, |
t =! |
( = cz + d. |
(7) |
|
(' |
|
|
§26. Дробио-линейные отображения |
159 |
В формулах (7) два отображения являются линейными, и, как уже
отмечали выше, они обладают круговым свойством. Осталось дока-
зать, что отображение t == .!. также обладает круговым свойством.
(
Зададим произвольную окружность т в плоскости ( == ~ +iТJ. Она
задается уравнением 2-го порядка
(8)
где А, В, С, D - действительные числа, удовлетворяющие условиям
.~4 ~О, В2 |
+ С2 > 4AD. В случае, |
когда .~4 ==О, уравнение (8) |
задает |
прямую. |
Так как ~2 |
+ rJ 2 |
|
|
') |
|
- |
~ == |
1 |
- |
|
1 |
- |
|
== ICI- |
== ((, |
2(( + (), ТJ == |
i ((- (), то |
уравнение (8) можно переписать в виде |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
(в |
|
с) |
( |
+ |
(в |
с)- |
+ D == О. |
|
(9) |
|
А(( + |
2 + |
2i |
2 - 2i |
( |
|
Отображение t == |
! преобразует окружность (9) |
в кривую, урав |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нение которой имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
А + |
( |
в |
с)- |
+ |
(в |
с) |
t + |
О. |
|
(10) |
|
- + - |
t |
|
- - |
- |
Dtt == |
|
|
|
2 |
2i |
|
|
2 |
2i |
|
|
|
|
|
Очевидно, что уравнение (10) в случае, когда D 1= О, также является
уравнением окружности, а. в случае, когда D == О, является уравне
Зa.мett.taнue 1. При дробио-линейном отображении окружности
или прямой нетрудно уточнить, что же конкретно будет в образе:
окружность или прямая. Для этого достаточно посмотреть на точку
z0 == - ~, для которой w (z0 ) == оо. Если точка z0 лежит на исходной
с
кривой, то образом будет прямая, в противном случае образом будет
окружность.
Из средней школы известно по
нятие точки, симметричной данной
точке относительно прямой. Расши
рим это понятие на случай окружно-
сти.
Определение 2. Пусть на плос
кости IR2 дана. окружность г ради
уса R с центром в точке А (см. рис. 1).
Точки М и lv/* называются сим
метричными относительно окружно-
сти г, если они лех<ат на одном луче,
справедливо равенство
у
lvf*
Рис. 1
выходящем из центра А, и
IAl\1I·IAlvl*l == R2 • |
(11) |
160 |
Е. С. Половинкин. l(ypc лекций по ТФКП |
Переходя |
на язык комплексных чисел, получаем, что точки |
z0 , z0 Е С являются симметричными относительно окружности т==
= {z liz- ai = R}, если справедливо равенство
z* -а== |
R2 |
- |
. |
(12) |
о |
- |
|
|
|
|
z0 |
- |
а |
|
|
Так как в Q)Opl\Iyлe (12) при z0 -+ а получаем z0 -+ оо, то будем счи
тать, что точки а и оо также являются симl\1етричными относительно
окружности 'У= {z liz- ai = R}.
Теорема 3. При вся'К:ом дробно-линейном отобра;жении (1), (2)
пара то'Ч.е'К:, си.м.метри-чнъtх относительно не'К:оторой о'К:ру;жно
сти или прямой, переходит в пару то-че'К:, си.м.метри-чных отно
сительно образа этой 'К:ривой.
Заме-чание 2. В силу сходства получа.еl\1ЫХ свойств дробио
линейных отображений, связанных как с окружностями, так и с nрямыми, для краткости изложения в q)ормулировках теорем будем
окружностью называть не только окружности, но также и прямые.
Для доказательства теореl\1Ы 3 нам потребуется следующая
Лемма 1. То-ч'К:и z0 и z0 .я.вл.яюrпся симметри-чными относи
тельно данной о'К:ружности т rпогда и толь'К:о тогда, 'К:огда любая
о'К:ру;жность Г, проходящая -через rтlО'Ч'К:и z0 и z0, пересе'К:ает о'К:ру;ж
ность 1 под пря.мъtм углом.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
у |
|
|
|
|
Необходимость. |
Пусть точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 и z0 |
симметричны относи |
|
|
|
|
|
|
тельно окружности т ради |
|
|
|
|
|
|
уса R с центром в точке а. |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
Г |
произвольная |
|
|
|
|
|
|
окружность, проходящая че |
|
|
|
|
|
|
рез точки z0 и z0 (см. рис. 2). |
|
|
|
|
|
|
Проведем через точку а ка |
|
|
|
|
|
|
сательную прямую L к окруж |
|
|
|
|
|
|
ности Г. |
При этом обозначиl'л |
|
|
|
|
х |
|
через ( |
точку касания окруж- |
о |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
ности Г, т. е. (Е ГnL. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По теореме о касательной и |
секущей получаеl\1, что 1(- al2 == |
lz |
|
0 |
- al·lz - а!. Отсюда и из опре |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
деления 2 о симметричных точках (равенство (12)) получаем, что
1(- al = R, т. е. точка ( лежит на окружности т' т. е. точка ( есть точка пересечения окружностей 1 и Г. Так как радиус [а,(] окружно
сти т перпендикулярен касательной l к окружности т, проведеиной
