ТФКП Половинкин

функция F многозначна, то точка z == а является 'I'очкой ветвления аналитической функции F (см. рис. 4).

Пример 5. Точки О, оо являются точками ветвJiения аналитиче­

ских функций Lnz и y'Z. В самом деле, по формулам (1), (3) §21

при 'У= {z lizl = r} после одного обхода окружности против хода

часовой стрелки получаем другие значения элементов

(4)

У пр а ж н е н и е 2. Покажите, что точка ветвления аналити­ ческой функции является особой точкой этой аналитической функ­

ции в смысле определения 1.

Определение 3. Пусть а - точка ветвления аналитической

функции F. Пусть (Br(a 1 ),f0 ) - любой элемент с центром в точке

элемента (Br(a 1 ), f 0 ) по окружности, лежащей в BR(a), с центром в

точке а (или в точке О, если а== оо ), причем с т-кратным ее об­ ходом, получаем конечный элемент (Br(a 1 ), / 1 ), ЭК8ивалентный эле­

менту (Br(a 1 ), f 0 ), то говорят, что точка а есть rпоrч'Ка ветвления

алгебраиrчес'Кого поряд'Ка т. В противном случае, если нет такого

конечного т, то говорят, что точка а есть тоrч'Ка ветвления лога­

риф.миrчес'Кого поряд'Ка.

Пример 6. Продолжая разбор примера 5, из формул (4) полу­

чаем, что у функции Vz точки О и оо суть точк11 ветвления 2-го

порядка, а у функции Ln z точки О и оо суть точки ветвления лога­

рифмического порядка.

в С, причем точка z = оо - существенно особая точка, а точка z = =О- правильная точка (т. е. точка, где функция регулярна). Это

же видно из разложения функции cos Vz в степенной ряд

Пример 9. Рассмотрим аналитическую в С\ {О} функцию sin Vz. Любой ее элемент можно представить в круге Blal (а), а #

#О, в виде регулярной функции

sin vГz= g0 (z) ( 1 - ;, + ~~ - ...) = g0 (z) ·f(z),

где (B a (a),g ) - элемент аналитической функции Vz, а f - регу­

1 1 0

лярная в С функция. Таким образом, аналитическая функция sin Vz

имеет, как и функция Vz, точки ветвления 2-го порядка в точках О

и 00.

п ф sinvz , z

ример 10. ункция vГz доопределенная в точке =О по

непрерывности, будет целой функцией (см. пример 9).

§ 23. Принцип аргумента. Теорема Руше

Теорема 1. Пусть дана односвязная область G и за.м'IСнут'Ый простой 'IСусоtttно-глад'IСий положительно ориентированнъtй '/Сонтур

с yttteтo.м их поряд'/Сов.

Доказательство. Так как f(z) "фО, то по теореме един-

146 Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

Оценим второе слагаемое в равенстве (13). Функция w = 1 + ~~:~

о

определена на контуре /, и при движении по эт_9му контуру ее значе-

ния описывают некоторую замкнуту!9 кривую Г. В силу нера.венства

инуль (см. рис. 1). Поэтому, например, в силу

леммы 2 § 16 (в которой нужно взять f(z) =z) справедливо равенство дг arg w == О. Так как

и.меет в х;о.мплех;сной плосх;ости С ровно n нулей с ytttemo.м их по­ рядх;ов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим две функции

< 1 при /z/ == R. По теореме Руше число нулей функции Pn внутри

окружности ~R = {z llzl = R} равно числу нулей функции f(z) = zn

о

внутри !я с учетом их кратности. Так как точка О есть нуль функции zn порядка n, то многочлен Pn в любом круге BR(O), R > R0 , имеет

ровно n нулей с учетом их порядков, а в силу произвольности R > > R0 многочлен Pn имеет ровно n нулей с учетом их порядков во

= ~ (z + ;.) и две окружности -у1 = {z llzl = 2} и -у2 = {z llzl = ~}.

Функция Жуковского имеет нули первого порядка в точках i, -i,

а точка z ==О является полюсом 1-го порядка. По принципу аргу­

мента получаем

д"f1 arg f(z) == 21r(N- f) == 27r(2- 1) == 21r,

д"f2 arg f(z) == 21r(N - Р) == 21r(O- 1) == -21r.

нъtм дл.я одиолистн.ости отображения f в не'К:оrпорой дocrnan~otttнo малой о-крестнос1пи то'Ч,'К:и z0 , т. е. «одн.олистности в .малом».

Заметим, что условие f'(z0 ) i= О не является достаточным для од­

нолистности в области, т. е. << Однолистнасти в больШОl\1>>. Например,

функция w == ez всюду удовлетворяет условию f'(z) i= о, но она не

однолистна, например, в С.

ней точкой области G, то функция f регулярна в окрестности точки z0 , причем так как f(z) ф. const, то существует n Е N такое, что j(n)(z0 ) i= О. По лемме 1 существует круг B 8n(w0 ), входящий в G*,

т. е. w0 - внутренняя точка множества G*, поэтому множество G*

открыто.

2) Докажем (линейную) связность множества G*. Пусть точки w0 и w1 Е G*, тогда. существуют точки z0 , z1 Е G такие, что f(z 0 ) ==

== w0 и f(z 1 ) == w 1 . Так как множество G есть область, то существует

кусачно-гладкая кривая : С G, соединяющая точку z0 с точкой z1 .

Теорема 2 (принцип максимума модуля). Пусть фун-кция

f: G -t С регулярна в ограниtttепной области G и непреръtвна в G ==

==G U Г, где Г - граница области G. Пусть f(z) ф. const. Тогда

супремум модуля этой фун-кции

sup{lf(z)il z Е G}

достигае·тс.я строго на границе Г обласrпи G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольнуrо точку z0 Е

Е G. Для доказательства теоремы достаточно доказать, что суще­

ствует точка z1 Е G такая, что lf(z1 )\ > lf(z0 )j. По теореме 1 образом области G является область G*, и поэтому точка w0 == f(z 0 ) является

внутренней точкой, т. е. существует число Е > О такое, что справед­

ливо включение В~(1и0) С G*. Возьмем точку w 1 Е Bc:(w0 ), которая находится дальше от начала координат (см. рис. 2а):

W1 = Wo (1 + 2l:ol), lw1l > lwol·