ТФКП Половинкин

== z1 (О) ==а и z0 (1) == z1 (1) == Ь. Без ограничения общности (так как·

в силу леммы 1 и теоре~1ы Вейерштрасса можно сгладить кривые в

конечном числе точек, в которых имеется излом) будем считать, что контуры /'о и /'1 являются гладкими. В силу односвязности области G кривые /'о и !'1 являются гомотопными, т. е. существует функция

равенства z(t, О) == z0 (t) и z(t, 1) == z1 (t) при всех t Е [0, 1], а z(O, а) == ==а и z(1, а) == Ь при всех а Е [0, 1].

Таким образом, при каждом фиксированном значении параме­

тра а Е [0, 1] функция z == z(t, а), t Е [0, 1] описывает гладкую кри­

вую f'a, которая принадлежит области G и соединяет точки а и Ь. В

силу равномерной непрерывности функций z(t, а) и z~(t, а) на ква­ драте [0, 1] х [0, 1] длина l(a) контура !'а есть непрерывная функция параметра а Е [0, 1], и при достаточно близких значениях а1, а2 Е

По лемме 1 для любого значения параметра а Е [0, 1] существует

число 6(а) > О такое, что при любом значении а, взятом из интер-

6.

вала /а == [О, 1] П(а- 6(а), а+ 6(а)), аналитическое продолжение эле-

мента (Br(a), / 0 ) вдоль контура 1'1i приводит к эквивалентным эле­

ментам в конечной точке Ь.

По лемме Гейне-Бореля можно выбрать конечное число интер­

1

мента (Br(a), / 0 ) вдоль каждого контура /а, где а Е /а0 U/а1 при­

водит к эквивалентным элементам в концевой точке Ь. Аналогично

это верно при всех а Е /а U/а и так далее. В результате получаем,

1 2

что аналитическое продолжение элемента (Br(a), f 0 ) вдоль каждого

контура f'a, где а Е [О, 1], приводит к эквивалентным элементам в

Пусть точка а Е С, а-=/:- О. Выберем в круге в1а1(а) некоторые ре­

гулярные ветви ha и 9а многозначных функций Ln z и { ytZ} соответ­

ственно (которые, как показано в теореме 1 § 15, существуют в круге

и (B a (a),ga) порождены многозначными функциями Lnz и { ytZ}

1 1

соответственно.

5*

Произвольнъtй эле.мент (Bial (а), ha), порожденнъtй .многознаtttной

функ;цией Ln z, .может бъt,ть продолжен вдолъ любого х;усоtttно­

гладк;ого х;онтура таЬ {с наtttало.м в rnotttк;e а и к;онцо.м в тnotttк;e Ь},

не проходящего 'Через нуль. Для полуtttенного в результате так;ого

рожденного .многознаtttной функ;цией Ln z, найдется тах;ой к;онтур

1ас' не проходящий 'Через нулъ, tttтo элемент (Bicl (с), hc) будет

анали~иtttеск;им продолжением элемента (Bial (а), ha) вдоль к;он­

тура Тае·

Д о к аз а т е ль с т в о.

1.Обозначим d = dist ({0}, таь) > о. Разобьем контур ТаЬ точ-

должение вдоль контура тazk_ 1 , в результате чего получен элемент

пускает аналитическое продолжение вдоль следующей части тzk-lzk

контура таь·

частности, мы показали, что при k = 1 элемент (B1z 11 (z1 ),h1 ) есть

непосредственное аналитическое продолжение элемента (Bial (а), ha)

вдоль контура f'az •

1

В итоге получаем справедливость первого утверждения теоремы

о продолжаемости элемента (В1а1(а), ha) вдоль контура f'аь· При

этом, складывая по всем k выражения (3), получаем формулу (1). Формула (2) была доказана в следствии 2 §15.

2. Пусть даны точка с=/= О и элемент (В1с1(с), hc), порожден­

ный многозначной функцией Ln z. Выберем произвольный кусачно-

гладкий контур !'ас с концевыми точками а и с, приче:м О~ !'ас· Тогда по доказанному в пункте 1 элемент (Bial (а), /~а) продолжаем вдоль

контура_!'ас' в результате чего буде:, получен некоторый элемент

координат lkl раз, причем против хода часовой стрелки при k >О, и

по ходу часовой стрелки при k <О. Тогда аналитическое продолже­

Из доказанной теоремы мы получаем

Следствие 1. Полная аналиmи'Чес-к;ая фун-к;ция Ln z состоит из

сово-к;упности элементов вида

(В1а1(а), hа( z) + 27rki) , Vа Е С \ {О}, Vk Е Z ,

где ha - не-к;оторая регулярная ветвь .многознаtttной фун-к;ции Ln z

в -к;руге Blal (а).

Так как справедливо равенство множеств { \(Z} = еk Ln z , то воз­

можность аналитического продолжения элементов, порожденных

многозначной функцией Ln z в С\ {О}, влечет возможность аналити­

ческого продолжение эле:ментов, порожденных l'vtногозначной функ­

цией { \(Z}. Точнее, из теоремы 1 следует утверждение.

Следствие 2. Фи-к;сируе.м ироизвольнъtе тottt'ICU а, Ь Е С\ {О}. Произвольнъtй элемент (Bial (а), Уа), порожденнъtй .многозна'Чноu

фун-к;цией { \IZ}, .может бъtть продолжен вдоль любого "..;усоtttно­

глад-к;ого -к;онтпура 1аь (с наtttало.м в mottt-к;e а и "..;онцо.м в mо'Ч-к;е Ь),

не проходящего tttepeз нуль. Для полу'Чениого в результатпе та-к;ого

Для всях;ой тottt'X;и с Е С\ {О} и вся'Х;ого элемента (В1с1(с), 9с), поро­ жден-ного многознаtttной фун'Х;цией { уГz}, найдется та'Х;ой х:онтур

{z1 /n}. С тем же успехом, в силу определения многозначной функ­

ции {zЬ} == еЬ Ln z, где Ь Е С - фиксировано, и z -1 О, взяв для ка­

== еы-"а(z), порожденный многозначной функцией {zь}. Аналогично

следствию 2 получаеl\1, что всякий элемент (Bial (а), fa), порожден­ ный многозначной функцией {zЬ}, допускает аналитическое продол­

жение по любому контуру 'Уас' не проходящему через точку z ==О.

Чтобы избавиться от многозначности аналитических функций

Lн z и уГz, введем понятия римановых поверхностей этих функций.

Пример 1. Рассr.лотрим плоскость С с разрезом, точнее, область

С\ (-оо, 0]. Как показанр в§ 15, функция Ln z на этой области рас­

падается на бесконечное число регулярных ветвей вида

НОJ\-1 множестве функции, принимающей все значения аналитической

функции Ln z при z Е С\ {0}. Расширим область определения иско­

мой функции до векоторого 1\-tножества, которое и будет называться

«рима.новой поверхностью>> функции Ln z. Для этого по определе­

нию будем различать точки zk == rei(Ч?+21rk) (где r > О) при различ­

ных целых значениях k. А именно, с помощью введения нумерации

из множества С\ {О} получим счетное семейство непересекающихся

При каждом k Е О, 1 функция gk совпадает с функцией (14) на мно-

о

жестве Gk, т. е. там она является регулярной функцией. При этом

о

в каждой точке z Е Gk \ Gk функция 9k терпит разрыв, а именно,

справедливы выражения

(15)

точнее, имеем:

ствии с формулами (15)-(17) определяем систему окрестностей то-

На множестве G с определенной выше системой окрестностей зада­ дим функцию

g(z) = Yk(z), если z Е Gk, k Е О, 1.

Эта функция принимает все значения аналитической функции Vz.

Мы специально так подобрали систему окрестностей на G, чтобы функция g была на множестве G непрерывной, а в силу следствий 2, 3 функция g будет регулярна на множестве G. Определенное выше

множество G называется римановой поверхностъю аналитической

функции Vz.

Приведенный выше выбор окрестностей во 11ножестве G можно

о о

наглядно изобразить как специальну1о склейку двух листов G0 и G1

по берегам разреза, сделанного на интервале (-оо, 0). При этом

верхний берег разреза zt множества G1 нужно склеить с нижним

берегом разреза li) 1\1НОжества Go, а верхний берег разреза zt мно­

жества G0 нужно склеить с нижним берегом разреза l1 множества

G1 (см. рис. 3).

аналитической функции F, порожденной элементом {В1(1), / 1 ), бу­

дет полюс (см. рис. 2).

одном из листов ее римановой поверхности.

Теорема 1 (Коши-Адамар). Пусть степенной ряд

n=O

и.меет ненулевой х;огне'Чдi'Ыil радиус сходимости R. Тогда на границе

х;руга сходимости Вн (а) лежит хотя бъt одна особая тottt?fa его

су.м.мъt.

До к аз а т е ль с т в о. Пусть на граничной окружности 'YR ==

={( l!(- а! = R} нет особых точек суммы S(z) ряда (1). Тогда эле­

мент (ВR (а), S) продолжаем по любому радиусу из центра а в кон­

цевую точку(, лежащую на окружности 'Ун· При этом для каждой

точки (Е 'Ун существуют число rc;, >О и круг Br(((), в котором

определена регулярная функция fc;. такая, что элемент (Br( ((), fc;.)

!н С Uf==l Brk ((k)).

Определим область G 6. Вн(а) U (U~=l Brk((k)) и для каждого

k Е 1, I< обозначим через (Br ((k), fk) элементы, полученные про­

k