ТФКП Половинкин

ется устранимой особой точкой, так как ее ряд Лорана в проко­ лотой 6k-окрестности точки zk есть разность ряда Лорана функ­

ции f и суммы главных частей ряда Лорана функции J, в том. числе и с центром в точке z k. Доопределив функцию r n в точ­

ках zk при k Е 1, n по непрерывности, получаем, что функция r n

регулярна внутри Гn и непрерывна на замыкании области, огра­

ниченной контуром Гn· По интегральной формуле Коши (тео­

рема 1 §8) для любой точки z., лежащей внутри контура Гn' по­

лучаем

n

Фиксируем Произвольное число R >О. Так как lim dn == оо (по n--+oo

условию 2 определения 4), то найдется номер N 0 такой, что для всех

122 Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

n ~ N 0 , dn > 2R. Для таких n ~ N 0 в силу условия 3 определения 4

получаем для всех z Е BR(O)

функций r n сходится равномерно на ВR (О) к нулю. Отсюда следует,

что последовательность функций sn = f- rn равномерно сходится

к функции f в круге BR(O) всюду, за исключением тех точек, где

функция f не определена, т. е. за исключением точек ее полюсов.ll

Следствие 2. Пусть в теореме 7 въtполненъt все условия, за

бавляя при необходимости еще один достато'Чно малъtй круговой коитур с центром в нуле, содер;жащийся внутри контура Г1 , по-

лу'Чае.м, 'Что дл.я фytt'IC'ЦUU :~~1 вuполненu уеловил теоре.м·ы 7, по

которой мо;жно полу'Читъ разло;жение ее в ряд элементарнъtх дро­ бей, откуда полу'Чаем ряд элементарнъtх дробей для функции f.

1) Оценим max {1 ctg zil z Е Гп}·

На вертикальных сторонах квадрата Гп= z = ~ + iy + 1rm. Полу-

2

чаем

Итак, функция '1 ctg zl ограничена на квадратах {Гп}~_1.

§20. Аналитическое продолжение

Известны различные способы аналитического продолжения за­ данных функций. Простейший из них мы уже встречали при рас­

смотрении примеров по теореме единственности в § 10. Напомним

его.

Определение 1. Пусть пекоторая функция f задана на множе­ стве Е, а функция g регулярна в области G, содержащей множе­

Тогда функция g называется аналити'Ческ;и.м продолж,ение.м функ;­

ции f с .множ,ества Е на область G.

Утверждение 1. Если .множ,ество Е содерж,ит бес'I'Ьоне'Чное 'Число mо'Чек; и и.меет в области G по к;райней .мере одну предель­ ную то'Ч'I'Ьу, то аналити'ЧеС'К;Ое продолж,ение фун'К;ции f : Е --t С с

.множества Е на область G единственно, т. е. существует един­ ственная регулярная фун'~'Ьция g : G --t С, удовлетворяющая опреде­

лению 1.

Данное утверждение, очевидно, следует из теоремы единственно­

сти (теорема 1 § 10).

Так, например, в §10 мы рассмотрели аналитическое продолже­

ние функций еж, sin х, cos х с действительной оси на всю комплекс­ ную плоскость по формулам

Основные сложности аналитических продолжений связаны с рас­

смотрением многозначных функций, примерами которых являются

Ln z и { y'z}.

Дадим ряд определений.

Определение 2. Пусть выбраны точка а Е С и круг Br(a), r >О,

на котором задана регулярная функция f. Тогда пару (Br(a), f)

назовем эле.менто.м, а точку а назовем центром этого элемента.

Определение 3. Скажем, что элемент (Вр(Ь), g) является непо­ средственнъt.м аналити'Чес'I'Ьи.м продолж,ение.м эле.мента (Вт(а), f),

если Вr (а) n ВР( Ь) # fZJ и f (z) = g(z), Vz Е Вr (а) n ВР( Ь).

При этом по заданным элементу (Вт(а), f) и кругу Вр(Ь) функ­

ция g на Вр(Ь) определяется однозначно в силу теоремы единствен­ ности (теорема 1 §10).

Определение 4. Скажем, что два элемента (Вт(а), f) и

(Вр(Ь), g) эк;вивалентны, если они имеют общий центр а= Ь и один

из этих элементов является непосредственным аналитическим про­

должением другого. То есть, если r < р, то f(z) = g(z) при всех z Е

Е Br(a).

Определение 5. Скажем, что злемент (Вр(Ь), g) является ана­ лити'Ческ;и.м продолж,ение.м эле.мента (Br(a), f) 'Через к;оне'Чную

цenott.tкy кругов (также говорят: через конечную цепочку элемен­

тов), если существует конечный набор элементов (Br 1 (а1), / 1 ),

является непосредственным аналитическим продолжением друг

сумма / 1 данного ряда является регулярной в круге В1 (О) функцией,

и, как показано в примере 1 §9, она совпадает в этом круге В1(О) с

Таким образом, при любом а Е С\ [1, +оо) элемент (В1а_11(а), / 2 )

является непосредственным аналитическим продолжением элемента

(В1(0), / 1) (так как не пусто множество В1(0) ПВ1а_11(а), в ко-

тором эти функции совпадают). При любом действительном а>

> 1 множество В1(О)ПВ1а_11(а) пусто, но элемент (В1а-11(а), / 2 )

является аналитическим продолжением элемента (В1(0), / 1), так

как, введя, например, еще один элемент (Bii-ll(i), / 2 ), мы убе­

ждаемся, что последний элемент является непосредственным ана­

литическим продолжением как элемента (В1(0), / 1 ), так и элемента

(Bia-11(a), /2).

В силу определения 3 элемент (В1(i), fтr;2) (также, как и элемент

В этом случае, так же как и при продолжении вдоль трехзвенных

цепочек кругов в примере 2, конечные элементы (В1( -1), f тr) и

(В1(-1), f_тг) различны.

Теорема 1. Если элемент (Br (a), fo) можно аналитиtttес~и

0

продолжить вдоль 'Контура rаь' то это продолжение единственно,

т. е. в результате его аналитиtttес'Кого продолжения вдоль этого 'КОнтура полуtttается единственнъtй с тоtttностью до э'Квивалентно­ сти элемент с центром в тоrч,'Ке Ь, независимо от въtбора радиуса r > О 'Кругов и семейства элементов, осуществляющих у'Казанное

продолжение.

воречит определению J.L как точной верхней грани. Следовательно,

Теорема 2. Понятие аналиmи'Чесх;ого продолжения вдоль х;оне'Ч­

ной цепо'Ч?СU х;ругов (по определению 5) и понятие аналиmи'Чесх;ого nродолжения вдоль х;онтура (по определению 6} взаи.моза.меняе.мЪt.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Допустим, что элемент (Вр(Ь), g) является аналитическим продолжением элемента (Br(a), J) вдоль некоторой конечной цепочки

кругов. Пусть при этом получены элементы {(Br (ak), fk} (см. опре-

k

деление 5). Тогда в порядке возрастания номера k последовательно

соединяем центры входящих в цепочку кругов отрезками и полу­

чаем ломаную 'Уаь· При этом легко указать число r >О такое, что

всякий круг радиуса r с центром в произвольной точке, принадле­

жащей ломаной 'Уаь содержится по крайней мере в одном из кру­

гов {Brk(ak)}k'= 1 • Отсюда, в соответствии с определением 6, можно

легко проверить, что элемент (Вр(Ь), g) может быть получен в ре­ зультате аналитического продолжения элемента (Br(a), f) вдоль ло­

ществует бесконечная цепочка элементов (Br(z(s)), fs), s Е [О, l], с

мент (Br(z(sk+l)), fsk+l) является непосредственным аналитиче-

ским продолжением элемента (Br(z(sk)), fsk), откуда в совокупно­

Определение 7. Полной аналиmи'Чесх;ой фунх;цией, порожден­

ной начальным элементом (Br(a), j 0 ) называется совокупность :F

всех элементов, получающихся аналитическим продолжением эле-

мента (Br(a), / 0 ) вдоль всех таких контуров, начинающихся в точке

а, вдоль которых аналитическое продолжение возможно.

Определение 8. Аналитиrч,есх;оu фунх;циеu (без слова: полная)

называется любое связное подмножество элементов из совокупности F, т. е. такое подмножество, любые два элемента которого являются

аналитическими продолжениями друг друга через некоторую конеч­

ную цепочку элементов из этого же подмножества.

Очевидно, что каждая аналитическая функция не зависит от вы­

бора начального элемента (Вr (а); f 0 ) . В качестве начального можно

брать любой элемент из совокупности F.

Объединение G = Uo Br (z0 ) кругов всех элементов, принадле-

а:

жащих аналитической функции, представляет собой область. В самом деле, открытость G следует из того, что оно есть объединение

открытых множеств, связность следует из определения 8, т. е. из

того, что любые две точки из G можно соединить ломаной, лежа­ щей в объединении кругов, в узлах которой находятся центры кру­

гов элементов, входящих в цепочку, с помощью которой осуществля­

ется аналитическое продолжение элементов с центрами в указанных

точках друг в друга. Поэтому будем говорить, что аналитиtttесх;ая

фунх;ция задана (определена) на области G.

В случае, когда область определения аналитической q)ункции од­

носвязна, имеет место следующее важное утверждение.

Теорема 3 {о монодромии). Если элемент (Br(a), f 0 ) aнa­

литutttecx;u продолжаем по любому х;онтуру 1аь' лежащему в одно­

связной области G, то резулътат его продолжения в произволъную

тotttx;y Ь Е G не зависит от х;онтура 1 аь, а однозна'Чно определяется

его х;онцом Ь.

Часто это формулируют и та-к;: аналитиtttес'К;ая фунх;ция, опре­

деленная на односвязной области G, является однознаtttноu регуляр­ ной фунх;цией, определенной на G.

Для доказательства теоремы 3 нам потребуются следующие опре­

деление и лемма.

Определение 9. Пусть кусочио-гладкие контуры 1 и 7 заданы соответственно через параметр длины s в виде z = z( s), s Е {0, l) и

z = z( s)' s Е {0, l). Расстоянием .между х;рив'Ьt.МU 1 и ;:у назовем ве­

tttecx;и продолжен вдолъ х;усоtttно-гладх;ого х;онтура 1аь (с наtttалом в

5-8717

жен вдолъ любого ~усоtttно-глад~ого ~оптура '7аь {и.меющего те же

нatttaлo и ~онец) та~ого, tttтo dist (f'аь' '7аь) < е {где dist с.м. в опре­

делении 9). При это.м в ~онеtttной тotttx;e Ь будут полуtttенъt э~вива­

лентнъtе .между собой эле.ментъt.

Д о к аз а т е ль с т в о. Пусть функция z = z(s), s Е (0, l), опи­ сывает контур f'аь через параметр его длины, и z(O) = а, z(l) = Ь.

Пусть число r >О, непрерывная функция <p(s), s Е (0, l) и элементы

(Br(z(s)), fs) выбраны в соответствии с определением 6 при анали­

= j 5 (z) при всех z Е BE(z(s)), что возможно в силу очевидного вклю­

чения BECz(s)) С Br(z(s)).

= fl(z(s)) и fs(z) = fl(z) при всех z Е BE(z(s)), что возможно в силу

включения BE(z(s)) с_Br(z(l)). В частности, отсюда следует, что и в этом случае (при l < l) конечные элементы эквивалентны.

Покажем непрерывность ф~нкции ip(s) на отрезке [0, l]. Для ка­ ждого значения s0 Е [0, min (l, l)] в силу выбора контура ]аь спра­

Е [0, max (l, l)] П(s0 - е, s0 +е), т. е. фу~кция ip(s) непрерывна в точке s0 . Аналогично, в_случае, когда l < l, из равенства ip(s) = fl(z(s)) при всех s ~ (l- е, l] следует непрерывность функции cp(s) на интер­ вале (l- е, l]. Таким образом, мы показали, что по определению 6

контура '7аь' причем в конечной точке получен элемент, эквивалент-

ный конечному элементу, получаем9му при аналитическом продол­

Докажем теперь теорему 3.