ТФКП Половинкин

ное число, причем х > 2. Тогда по той же формуле (18) § 16 получаем (здесь контур т с началом на Ii и концом в точке х > 2)

g(x) = {1хЗ(х _ 2) е!(зд1' arg z+~, arg(z-2)) =

n=O

Аналогично тому, как это доказа~о в примере 5 § 17, отсюда следует

Для удобства вычислений в силу формулы {12) преобразуем функ­

n=O

Так как по формуле {12) из § 17 справедливо следующее разложение

в сходящийся ряд:

={zjlz-2l=t}:

Очевидно, что ряд (1) одновременно является рядом Лорана функ­ ции f с центром в точке оо.

Теорема 1. Пустъ для целой фун'IСции f существуют 'Числа А > > О, R1 > О и целое т ~ О, при 'IСоторъtх справедливо неравенство

Тогда фун'IСция f является .много'Члено.м степени не выше, 'Че.м т.

Д о к аз а т е ль с т в о. По формуле (2) для коэффициентов сп

при r > R 1 получаем оценку

n >т из оценки (4) следует, что lcпl меньше сколь угодно малого

числа Arm-п (при r ---t оо), т. е. сп =О при n >т. Следовательно,

ограни'Чена в не'IСоторой О'IСрестности бес'IСоНе'Чности, то она посто­

янна.

С помощью теоремы Лиувилля докажем основную теорему алге­

бры.

Теорема 2. Вся'IСий .много'Член

Рп(z) = с0 + c1 z + ... + спzп,

где сп f:. О, n ~ 1, и.меет по 1Срайней .мере один нулъ в плос'IСости <С.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное, т. е. что много­

член Рп не равняется нулю ни при каком z Е <С. Тогда определим

функцию g(z) 6. 1 ) , которая в силу допущения будет целой. При

Рп(z

z ---t оо имеем Рп(z) -t оо, т. е. g(z) ---t О при z ---t оо. Следовательно,

1) оо - устранимая особая точка, т. е. функция f ограничена

о

в некоторой окрестности ВR ( оо), откуда по теореме Лиувилля сле-

1

дует, что т= О и f(z) =const;

2) оо -полюс, т. е. существует, lim f(z) = оо. Это значит, что

z--+oo

главная часть разложения функции f в ряд Лорана по степеням z в

окрестности оо, который совпадает с рядом (1), содержит конечное число слагаемых, т. е. функция f есть многочлен;

3) оо -существенно особая точка.

Определение 2. Целая функция, у которой бесконечность явля­ ется существенно особой точкой, называется 'Целой транс'Цендент­ ной фун'К;'ЦUей.

Примерами целых трансцендентных функций являются функции

ez , sin z, cos z, sh z, ch z.

Теорема 3 (Сохоцкий). Пусть дана произво.лъная 'Целая

транс'Цендентная фун'К;'ЦUЯ f. Тогда для любого А Е С найдется по­

следовательность { zn}, стремящаяся 'К; бес'К;оне-ч.ности, и та'К;ая,

'Что lim f(zп) = А. n--+oo

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Пусть А= оо. Так как для любогоn Е N на множестве lzl > n функция f не ограничена (в противном случае оо была бы устрани­

о

регулярна в области вб (оо), причем в этой области справедлива

о

оценка /g(z)/ < 1/Е0. То есть оо есть устранимая особая точка функ-

ции g, поэтому существует предел В= lim g(z), где В Е С. Так как z--+oo

f(z} =А+ 1 то функция f тоже при z-+ оо имеет конечный пре-

g(z),

дел, если В-=/:. О, или бесконечный предел, если В= О. Это проти­

воречит условию теоремы, по которому оо есть существенно особая

точка функции f. Следовательно, наше допущение оказывается не­

Докажите, что тогда f является многочленом. (Сравните с теоре­

мой 1.)

За.ме'Чание 1. Так как при доказательстве теоремы Сохоцкого

используется лишь то, что бесконечность есть существенно особая

точка функции f, то аналогично доказывается следующая более об­

щая теорема.

Теорема 4 (Сохоцкий). Пусть а Е С есть существенно осо­

бая точ?Са фун?Сции f. Тогда для любого числа А Е С найдется nоследовательность {zn}, сходящаяся " точ?Се а, и та?Сая, что

lim f(zn) = А.

n-+oo

У пр а ж н е н и е 2. Докажите, что утверждение теоремы 4

верно и для случая, когда точка а является предельной точкой по­

люсов пекоторой функции.

Более сильный результат, характеризующий поведение целой

трансцендентной функции, следует из следующей теоремы, которую

приводим без доказательства.

Теорема 5 (Пикар). Пусть дана целая трансцендентная

фун?Сцuя f. Тогда в ?Саждой О'Х;рестности бес?Сонечности фун?Сция f nринимает, и nритом, бес'Х;онечное число раз, любое значение из С,

1Сроме, бъtть может, одного.

Иначе говоря, теорема Пикара утверждает, что если f - це­

лая трансцендентная функция, то для всякого А Е С, за исключе­

нием, быть может, одного, уравнение f(z) =А имеет бесконечное

число решений {zn}· При этом вследствие теоремы единственности

lim zn =оо.

n-+oo

Рассмотрим, например, функцию w = ez. Для любого А #

#О уравнение ez =А имеет решения zn = ln IAI + i(argгл А+ 27rn),

где аrgгл А Е (-1r, 1r], n - любое целое число. Здесь число А= О

является как раз тем исключительным по теореме Пикара значе­

нием.

Определение 3. Функция f : С -t С называется .м,еро.морфной,

если для каждого R >О она регулярна в круге BR(O), за исключе­

нием, быть может, конечного числа полюсов.

Приведем примеры мераморфных функций.

1. Рациональные функции вида f(z) = Pn~z)), где Рп(z) и

Qm Z

Qm(z)- многочлены степениnит соответственно. Эта функция

имеет конечное число полюсов в С.

2. Функция ctg z = c~s z имеет бесконечное число полюсов 1-го

s1n z

порядка zk = 1rk, \:1 k Е Z.

3. Функция ezz- 1 Иl\1ест по.1юсы 1-го порядка в точках zk = 21rki,

\:1 k Е Z, k # О.

Пусть дана мераморфная Q)Y нкция f >:и пусть {zk} - все ее конечные

полюсы. Для каждого ПOjJJO<'(l z~4 найдется проколотая окрестность

о

В8k (zk), в которой функция f nредставима в виде сходящегося ряда

Лорана

сти устранимую особую т;nо'Чtьу или nолюс, то она является раци­

ональной функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Число всех полюсов такой функции f

конечно, так как иначе, в силу компактности расширенной комплекс­

ной плоскости С будет существовать предельная точка полюсов, ко­ торая в силу определения мераморфной функции может быть только

бесконечностью, но это противоречит условию теоремы. Обозначим

через {zk}~=l конечные полюсы функции J, через qk ·-главные ча­

сти (6) ряда Лорава функции f с центром в точках zk. Обозначим

также

Qo(z) д Со+ c1 z + ... + C11 Zn

главную часть ряда Лорава функции f в бесконечности. Рассмотрим

функцию

l

r(z) д f(z) - L qk(z).

k=O

Эта функция в каждой точке zk, где k Е 1, l, а также в бесконечно­

сти имеет устранимую особенность. Поэтому, если доопределить ее в этих точках по непрерывности, то получим, что функция r является

целой и ограниченной в пекоторой окрестности бесконечности. По теореме Лиувилля получаем, что r(z) =а0. Таким образом, спра­

роко употребляемая в действительном математическом анализе, о

возможности представления рациональной функции f (z) = рn ~z\ в

Qm Z

виде суммы элементарных дробей.