ТФКП Половинкин

§ 16. Регулярные ветви многозначных функций Ln f(z) и ifJ{;) 101

Следовательно, функция g0 есть регулярная ветвь многозначной

т. е.

g(z) == \IIJ(z)leir(Фo+27Т'ko+A"az arg f(z))'

откуда и следует формула {18).

2) Пусть область G неодносвязна. Разобьем данный контур 'Уаь С

С G точками z0 == а, z1, ... , zk. == Ь на малые сегменты 'Yz l zl+1 такие,

что ка2Кдый из них ле2Кит в пекоторой односвязной подобласти в

области G, где в силу доказанного в пункте 1) справедлива формула

положению 1. Чтобъt в области G существовали регулярнъtе ветви

.многозна'Чной фун?Сции { v'f(Z)},необходимо и достато'Чно, 'Чтобы

о

для любого зам?Снутого ?Сусо'Чно-глад?Сого ?Сонтура 'У С G нашлось це-

Е { \l'l(a)}.Определим для произвольной точки z Е G и для произ­

вольного кусочио-гладкого контура 'Yaz С G (с концами в точках а и z) выра2Кение

{21)

104 Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

Получаем, что ~"У arg z = ~' ~"У arg(z + 1) = ~, (см. рис. 1), откуда в

g'(i) = -З- 4i ·2-i ·е- t~1ri.

4

ох

Пример 2. Исследовать существование ре­

Ln _z_ в области G 6 <С\ ((-оо, -1] U [0, +оо)). Описать значения

z+l

регулярной ветви h этой функции с начальным условием h ( -~) =

=i1r. Вычислить h(i), h'(i).

Реше н и е. Здесь функция f(z) 6 _z_ регулярна и f(z) 1 О

z+l

в орласти G. Так как данная область G является односвязной, то по

лемме 2 § 16 выполнено условие (8) § 16. Следовательно, выполнены

условия теоремы 1 § 16 о существовании регулярных ветвей данной

многозначной функции. Более того, регулярная ветвь, удовлетворя­

ющая заданным условиям, имеет вид (см. формулу (13) в § 16)

где т- кусочио-гладкий контур в области G с началом в точке а=

= -1/2 и концом в точке z. В частности, вычисляя соответствующие

приращение аргумента z и приращение аргумента z + 1, получаем из

формулы (3)

h(i) = i1r + ln ~ + i (-~- ~) = -ln v'2 + i ~-

v2 2 4 4

Используя формулу (24) § 16 о дифференцировании регулярных

ветвей логарифма, получаем

Пример 3. Пусть дана регулярная ветвь h многозначной функ­

ции Ln(1- z2 ) в комплексной плоскости с разрезом по лучу действи-

тельной оси (-оо, 1] такая, что Imh (~)=О. Разложить функцию h

в ряд Тейлора с центром в точке а= -i. Найти радиус сходимости полученного степенн~го ряда. Вычислить сумму ряда и его произ-

водную в точке z = 5z .

Объединяя выражения (6) и (7), получаем представление функ­

ции h в виде степенного ряда

Уточним, при каких z справедливо равенство (8). Приведенный в формуле (8) степенной ряд, очевидно, является регулярной ветвью

функции Ln(1- z2 ) в круге сходимости ряда lz +i\ < -12. Обозначим

сумму этого ряда через S(z) при z Е В..;2(-i). Заданная же функ-

ция h на разрезе (-1, 1) имеет разрыв. В самом деле, при х Е ( -1, 1)

для любого контура 1 С G, с началом на нижнем краю разреза в

точке х - iO и концом на верхнем краю разреза в точке х + iO и со­

вершающего обход точки z == 1 справа, по формуле (13) § 16 полу­

чаем

h(x + iO) == h(x- iO) + i (~" arg(z- 1) + ~" arg(z + 1)) ==

== h(x- iO) + i(2n + 0).

При х < -1 аналогично доказывается, что h(x +iO) == h(x- iO) +4ni.

Следовательно, равенство (8) имеет место лишь на множестве {z 1 liz + il < -12, Imz < 0}. В свою очередь на множестве {z liz + il <

< -12, Imz >О} за счет скачка значений функции h(z)) при пересе­

чении границы области G получаем равенство h(z) == S(z) + 2ni. В

частности, S ( ~) = h ( ~) - 27ri = ln ~: - 21ri.

Так как функция S(z) является регулярной ветвью многозначной

функции Ln(1- z 2 ) в круге В-.12(-i), то по формуле (24) из § 16 для

регулярной ветви логарифма получаем

Распространим формулу степени, известную для действительных

чисел, на комплексные чисЛа, используя многозначную функцию

Lnz.

Определение 1. Пусть а, Ь Е С, причем а=/= О. Тогда определим

множество комплексных чисел {аЬ} по формуле

ленными ранее в §1 степенью an и корнем { уГа}, причем множество

{an} состоит из одного числа.

1

Пример 4. Зафиксируем число Ь Е С, Ь tf. N. Исследовать су­

ществование регулярных ветвей многозначной функции {(1 + z)Ь} в круге В1(0).

Р е ш е н и е. В силу определения 1 у многозначной функции

{(1 + z)Ь} существуют регулярные ветви, так как, очевидно, суще­

ствуют регулярные ветви у функции Ln(1 + z) в круге В1(0), кото­

рые будем обозначать hk(z), где hk(O) == 27Гki, k Е Z. Тогда соответ­ ствующие регулярные ветви многозначной функции {(1 + z )Ь} имеют

Найдем ряд Тейлора функции wk(z) в круге В1(0). По правилу

дифференцирования сложной функции (теорема 1 §5) получаем

w~(z) == wk(z) ·_ь_, т. е. w~(O) == Ь · wk(O),

1+z

Из соотношений (11) и из формулы для коэффициентов ряда Тей­

лора с центром в точке нуль получаем

У п р а ж н е н и е 2. Исследуйте, существуют ли у многознач­

ной функции {(1 + z)Ь} в круге В1 (О) другие регулярные ветви,

кроме ветвей вида (12).

Пример 5. Разложить в ряд Тейлора по степеням z регулярную

ветвь g(z) многозначной функции { ~1- z2 } в области В1(О) с на-

п==О

Пример 6. Установить существование регулярных ветвей мно-

о

гозначной функции { {lz3 (z + 1)} в области В1(оо), разложить эти

ветви в ряд Лорана по степеням z.

о

Реш е н и е. Так как множество В1(оо) С <С\ [-1,0], то, как

показано в примере 1, регулярные ветви функции { {lz3 (z + 1)} в

По теореме о вычетах (теорема 1 § 13) и по формуле (14) из §17

получаем

J _ {+оо Inxdx

- Jo (1+х)2~·

Р е ш е н и е. Для вычисления этого интеграла с помощью вычетов

в комплексной области мы вынуждены рассматривать многозначные

функции Ln z и { ~}.

Введем области G 6 С\ (0, +оо) и Ge, n 6 {z Е G 1 € < izi < R},

где О < е < 1 < R. В области G у многозначной функции Ln z су­

ществует регулярная ветвь вида h(z) == ln lzl + i arg z, а у функции

и рассмотрим ее в односвязной области Ge R (см. рис. 1).

1

х

Рис. 1

Очевидно, что эта функция f регулярна в области Gel R \ { -1} и

непрерывно продолжима вплоть до границы те R области Ge R· При