ТФКП Половинкин

Следствие 1. Не существует неnрерывн/ЫХ ветвей многозна'Ч­

Н'ЫХ фун~ций { уГz} и Ln z, оnределенн'ых в nроизвольной области

G С С, содержащей nро~олотую о~рестностъ mо'Чки О или содер­ жащей nроколотую о~рестностъ бес~оне'Чности.

ществуют регулярные ветви многозначной

функции { уГz} и Ln z. Опишем их вид.

Рис. 1

Лемма 3. В односвязной области G С С та~ой, 'Что О f/. G, су- ществуют неnрерывные ветви многозна'Чной функции Arg z.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем точку z0 Е G и 1/;0 Е Arg z0 • Из точки z0 (как начальной) в произвольную конечную точку z Е G

проведем гладкий контур тz z С G.

о

Определим

'zoz

где функция ср0 взята из формул (14), (15).

Очевидно, что это ветви многозначных функций { уГz} и Ln z со­

ответственно, причем в силу леммы 3 эти ветви непрерывны в обла­

сти G.

Теорема 1. В односвязной области G та'К;ой, tttтo О f/ G, суще­

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего докажем, что непрерыв­

ные функции g0 и h0 являются регулярными в данной области G-t

Зафиксируем произвольную точку z1 Е G, и пусть r > О такое,

что Br (z1 ) С G. Так как О f/ Br (z1 ), то существует луч >..1/Jo, не пересекающий круг Br(z1 ). Итак, в силу включения Br(z1 ) С (С\ >..1/Jo) n G,

выполнены условия пункта 1 ~Простейший случай~ и по лемме 1,

в которой описаны все непрерывные ветви многозначных функций

{ y'Z}и Ln z в круге Вr ( z1 ) С (С \ Л1/J0), существуют номера k. , k.. Е

Е Z такие, что

и

как т__s>чка z1 была выбрана проиЗвольной из области G, то функции g0 и h0 регулярны в области G.

Далее, повторяя рассуждения доказательства леммы 1, легко по­ казать, что все непрерывные ветви указанных функций являются

знаtttной функции Ln z в односвязной области G такой, tttтo О f/. G,

удовлетворяет равенству (фор.м.уле Ньютона-Лейбница):

где интеграл берется по любом.у контуру, лежащему в области G,

с наtttало.м. в произвольной фиксированной тotttкe z0 Е G и концом. в

произвольной тotttкe z Е G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим, что справедливо равенство

hk(z) = ln lzl + i(ф0 +~'"У arg z + 21Гk) =

= ln lzl-ln lzol + (ln lzol + i(ф0 + 21Гk)) + i~'"Y argz =

оремы 2 о первообразной из §10.

у

о

редь, функция f(z(t, а)) задает непрерывную деформацию контура

удовлетворяющей предположению 1 лишь в пекоторой неодносвяз­

ной области G, но для которой тем не менее справедливо равенство

(8).

Лемма 3. Пусть фунх;ция f в области G удовлетворяет предпо­

ложению 1. Если в области G существуют регулярньtе ветви g0 и

h0 многозначных фунх;ций { ytj(Z)} и Ln f (z) соответственно, то

все непрерьtвньtе ветви этих .многозначньtх фунх;ций в области G

могут бьtть представленьt в виде

4- 8717

откуда следует, что Im h(z) есть непрерывная ветвь многозначной функции Arg f(z) (см. формулу (2)), точнее, Im h(z) является гар­

монической функцией действительных переменных х и у.

Допустим, что z: [0, 1] -t С есть гладкая параметризация кон­

тура rаь' тогда Im h(z(t)) есть гладкая ветвь многозначной функции

Arg f(z(t)). По теореме 1 § 14 и по определению 1 §14 получаем

d arg f(z(t)) = Im h(b) - Im h(a).

Для случая, когда контур rаь является кусочно-гладким, следует еще

Теорема 1. Пустъ фун~ция f в области G удовлетворяет пред­ положению 1. Чтобьt в области G существовали регулярньtе ветви

многознаtttной фун~ции Ln f (z), необходимо и достатоtttно, tttтoбьt

о

для любого простого зам~нутого ~усоtttно-глад~ого ~онтура 1 С G

вьtполнялосъ условие (8).

о

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимостъ. Берем контур 1 с нача-

лом и концом в точке а= Ь. По лемме 5 из формулы (13) получаем

условие (8).

Достатоtttностъ. Фиксируем произвольные точку а Е G и значе­

ние h(a) Е Ln f(a). Определим для произвольной точки z Е G и для

произвольнога кусочио-гладкого контура raz выражение

Легко показать, что в силу условия (8) значение h(z) не зависит

от выбора контура 1az С G с началом в точке а и концом в точке z,

4*

а определяется лишь выбором точки z, т. е. h является функцией.

т. е. в силу леммы 4 функция h есть непрерывная ветвь многознач­

ной функции Ln f(z) в области G. Докажем ее регулярность вобла­

сти G. Достаточно доказать, что для произвольной точки z1 Е G

найдется круг B<S(z1 ), в котором функция h является регулярной. Обозначим w 1 == f(z 1 ). По предположению 1 w1 =f О, т. е. суще­

ствует число с> О такое, что О f/. Be(w1 ). В силу непрерывности

функции f найдется число б> О такое, что образ круга B<S(z1 ) со­

держится в круге Be(w1 ), т. е. f (B<S(z 1 )) С Be(w1 ). Как показано в § 15, у многозначной функции Ln w в односвязной области Ве ( w 1 ), не

содержащей ноль, существует регулярная ветвь h(w), удовлетворяю­

щая услов~ю h(w1 ) == h(z1 ). Тогда суперпозиция регулярных функ­ ций вида h(f(z)) есть регулярная ветвь функции Ln/(z) в круге B<5(z1 ), причем h(f(z1 )) == h(z1 ). В силу леммы 3 об общем виде не­

прерывных ветвей многозначной функции Lnf(z) в области B€5(z 1 )

тО'ЧКе а U 'IСОН'ЦО.М в то'ЧКе Ь.

До к а з а т е л ь с т в о.

1)Допустим, что область G односвязна. Тогда по лемме 2 вы­

полнено условие (8). Пусть фиксированы точка а Е G и угол ф0 Е

Е Arg f(a). По теореме 1 существует регулярная в области G ветвь h

многозначной функции Ln f(z) такая, что Im h(a) == ф0. Определим

регулярную функцию g0 (z) ~ e~h(z). В силу (2) и (17) функция g0

принимает вид