ТФКП Половинкин

ɈȽɅȺȼɅȿɇɂȿ

Основные обозначения

=6 - знак равенства по определению

N - множество всех натуральных чисел

Z - множество всех целых чисел

n, т- множество целых чисел вида n, n + 1, n + 2, ... , т ~ - множество всех действительных чисел

~n - п-мерное действительное евклидово пространство

С- множество всех комплексных чисел, комплексная плоскость С - расширенная комплексная плоскость

lzl == Jx 2 + у2 -модуль комплексного числа. z == х + iy

z = х - iy - число, КО1\1плексно-сопряженное числу z = х + iy

Re z == х -действительная часть числа z == х + iy

Im z == у - мнимая часть числа z == х + iy

Br(z0 ) = {z llz- z0 1< r} - открытый круг радиусаr >О с центром

в точке z0

Br(z0 ) = {z l1z-z0 1:::; r}-замкнутыйкруградиусаr >Ос центром

в точке z0

fЦz0) = {z 1 О< lz- z0 1< r} - проколотая окрестность точки z0

Br(oo) = {z llzl > r} - проколотая окрестность бесконечности

о

Br(oo) == Br(oo) U ооокрестность бесконечности arg z - произвольное значение аргумента числа z -:j:. О

аrgгл z - главное значение аргумента числа z -:j:. О, принадлежащее

интервалу (-1Г, 1r]

Arg z = { аrgгл z +21rk 1 k Е Z} - множествовсехзначений аргумента

числа z i=- О

'Уаь - ориентированная кривая (контур) с началом в точке а и с

концом в точке Ь

,У- простая замкнутая ориентированная кривая (контур)

f : G -4 С - функция f задана на множестве G со значениями в

расширенной комплексной плоскости С

f(G) = {f(z) 1 z Е G} - множество значений функции j, заданной

{ y'Z}-многозначная функция корня п-й степени z

Ln z - многозначная функция логарифма z, аналитическая функ­ ция логарифма z

{zn}, {f n ( z)} - числовая и функциональная последовательности

С[О, 1], (С1 [0, 1])- пространство действительных непрерывных (не­ прерывно дифференцируемых) функций, заданных на отрезке [0, 1]

С2 ( G) - пространство действительных дважды непрерывно диффе­

ренцируемых функций, заданных на области G С IR2

Предисловие

Настоящая книга является достаточно полным конспектом курса

лекций по теории функций комплексного переменного, читаемого

автором студентаr-.1 l\1осковского физико-технического института. Это - полуторасеместровый курс в объеме 51 академического часа

лекционных занятий.

Эта книга является учебным пособием для студентов высших

учебных заведений с углубленным изучением курса математики.

Б настоящей книге r-.1ы будем изучать свойства функций ком­

плексного переменного. Такие функции нашли многочисленные при­

менения как в различных разделах чистой математики, таких как:

алгебра, аналитическая теория чисел, дифференциальные уравне­

ния, так и в различных прикладных r-.1атематических дисциплинах,

таких как: теоретическая физика, небесная механика, гидродина­

мика, теория упругости и др.

Чтобы понять важность теории функций комплексного перемен­

ного, отметим лишь некоторые примеры использования этой теории,

которые встречаются студентам младших курсов при изучении ими

алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений.

Так, утверждение о том, что всякое алгебраическое уравнение имеет

по крайней мере один комплексный корень, является основным в

алгебре. Б интегральноr-.1 исчислении большое значение имеет тот факт, что рациональная функция представима в виде элементар­ ных дробей с КО1\1плексными коэффициентами. Понятие комплекс­ ного числа и экспоненциальной функции комплексного перемениого

имеет важное значение при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянныl\1И коэффициентами. Только изучив теорию

функций комплексного переменного, можно понять, почему такаЯ

хорошая на всей числовой оси функция f (х) == 1j (1+х2 ) может быть

+оо

представлена в виде степенного ряда f (х) == 2:: (-1)n x2 n лишь при

n=O

значениях х, удовлетворяющих условию -1 < х < 1.

Несколько слов о плане настоящего курса. В первых параграфах мы будем заниматься развитием в комплексной области известных

из действительного анализа основных понятий и операций: предела,

производной, интеграла. Опираясь на указанный аналитический ап­ парат, в основной части курса мы будем изучать свойства регуляр­

ных функций, т. е. функций комплексного переменного, определен­

ных и непрерывно дифференцируемых в некоторой области на ком­ плексной плоскости. Б § 9-11 и § 19 бу,п~ут изучены условия предста­ вления таких функций в виде степенных рядов, в виде рядов Лорана,

атакже рядов из элементарных дробей.

Бкниге изложены свойства обратных l'лногозначных функций. Б

§14-17 приведено подробное исследование условий существования

и вид однозначных функций, называемых "регулярными ветвями"

многозначного корня или многозначного логарифма от регулярной

функции. В§ 20-21 рассмотрены'понятия аналитических продолже­

ний и аналитической функции.

Вкурсе также изложены геометрические принцилы регулярных

функций, такие как: принцип аргумента, принцип сохранения обла­ сти, принцип максимума модуля и другие. На их основе построена

геометрическая теория конформных отображений, осуществляемых

регулярными функциями.

Вкниге приведены некоторые прикладные аспекты теории функ­

ций комплексного переменного. В § 13 и § 18 с помощью теории вы­ четов показавы эффективные методы вычисления интегралов, в том числе несобетвенных интегралов от действительных функций. В § 29 на примере задачи Дирихле продемонстрированы возможности ком­ плексного анализа при решении уравнений математической физики.

Вкниге имеются некоторые упражнения, призванные закрепить теоретический материал. Эти упражнения имеют разный уровень

сложности, и поэтому студентам не стоит огорчаться, если они не

сразу смогут найти решение некоторых из них.

В приложении 1 в конце книги изложена экзаменационная про­ грамма по курсу лекций, предложенная студентам l\1ФТИ на экза­

мене в 2002 году.

Первое издание книги вышло в 1999 году. В настоящем втором

издании устранены опечатки и сделаны небольшие изменения.

Считаю своим долгом выразить признательность своим коллегам

-професеарам А..А... Болибруху, В. К. Захарову, В. Б. Лидскому,

Б. В. Пальцеву, 1 Ю. В. Сидорову 1 , М. И. Шабунину и Г. Н. Яковлеву

за полезные обсуждения первого издания книги, а также выражаю

большую благодарность А. В. Полозову за помощь в подготовке ру­

кописи к печати. Особую признательность выражаю моим слушате­

лям - студентам физтеха, которые помогли исправить опечатки и

сделали ряд интересных замечаний по данному курсу лекций.

§ 1. Комплексные числа

Рассмотрим двумерное линейное евклидово пространство IR2 , со­ стоящее из векторов z = (х, у) с двумя действительными компонен­

тами х, у, в котором как обычно заданы поиятие равенства векторов

и

1) операция сложения

Z1 +z2 = (xl +х2,У1 +у2),

где zk = (xk, Yk), k Е 1, 2;

2) операция умножения вектора z на действительное число Л:

Лz = (Лх, Лу);

3) расстояние и норма:

p(zl, z2) = llz1 - z2ll = J(xl - х2)2 + (yl - У2)2 ·

Свойства приведеиных операций известны из математического

анализа.

Обозначим базисные векторы в IR2 следующим образом:

z = х · 1 +у· i, или проще: z = х + iy.

Теперь определим в IR2 операцию произведения следующим обра.-

где zk = xk + iyk.

Определение 1. Евклидава пространство IR2 , в котором вве­ дено произведение по формуле (2), называется .множеством (или

пространство.м} х:о.мплех;сньtх 'Чисел С. Элементы множества С на­

зываются х;о.мплех;сньt.ми 'Числа.ми.

Комплексное число i называется .мни.мой единицей. В силу опре­

деления произведения (2) получаем, что i 2 = -1.

число z = х- 'lY называется ?Со.мпле?Ссно-сопряженньt.м 'Число.м к

числу z = х + iy.

Очевидно, что zz- = lzl2 . Очевидно также, что множество ком­

плексных чисел вида х + iO изоморфно множеству действительных

чисел (т. е. между ними можно установить взаимно однозначное со­

'ответствие, сохраняющее операции сложения и умножения). При этом х = Re z называется действителъной (вещественной} 'Частъю,

а у = Im z - .мни.мой 'Частъю 'Числа z = х + iy.