Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lections_short_2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

4.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 11.10.2012

Пусть фирма производит выпуск y из двух факторов производства в соответствии с производственной функцией f (x1 , x2 ) , и пусть количество фактора 2 фиксировано на уровне x2 0 .

Тогда задача максимизации прибыли фирмы в краткосрочном периоде имеет вид:

max py w1 x1 w2 x2		или	max pf (x1 , x2 ) w1 x1 w2 x2
x1 , y 0		или	max pf (x1 , x2 ) w1 x1 w2 x2
x1 , y 0
y f (x1 , x2 )			x1 0
y f (x1 , x2 )
~	- внутреннее решение задачи, то				~		) w .
Если x 0	- внутреннее решение задачи, то			pMP (x , x		2	) w .
1				1	1	2	1
2) Долгосрочный период (все факторы производства переменны):

Тогда задача максимизации прибыли фирмы в долгосрочном периоде имеет вид:

max pf (x1

, x2 ) w1 x1

w2 x2

или max pf (x1

, x2 ) w1 x1

w2 x2

x1 ,x2 , y 0

y f (x1 , x2 )

x1 ,x2 0

Если x1

, x2

- внутреннее решение задачи, то MRTS

12 (x1

, x2 )

Решением задачи максимизации прибыли являются функции (безусловного) спроса на факторы

производства:	~	xi ( p, w1	~				~	~
	xi		, w2 ) , y( p, w1			, w2 ) f (x1 , x2 ) - это функция предложения фирмы,
	~		~	~		~	~	- функция прибыли фирмы.
соответственно,		( p, w1 , w2 ) pf (x1		, x2 )	w1 x1		w2 x2

Утверждение: если технология фирмы характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то решение задачи максимизации прибыли либо не существует, либо прибыль равна нулю.

Слабая аксиома максимизации прибыли (Weak Axiom of Profit Maximization (WAPM)):

Предположим,		что		при ценах		( p t , wt			, wt	)	фирма,	максимизируя			свою	прибыль,		выбрала
								1	2
комбинацию факторов и выпуска							( y t , xt , xt				) . А при ценах		( p s , ws , ws ) -			( y s , x s , x s ) .			Тогда
									1	2				1	2	1		2
должны	выполняться следующие							соотношения:				pt yt wt	xt	wt	xt pt	y s wt	x s	wt	x s	и
												1	1	2	2	1	1	2	2
p s y s ws x s ws x s				p s y t ws xt		ws xt .			Из слабой аксиомы максимизации прибыли следует,
1	1	2	2	1	1		2	2

что 1) выпуск фирмы не убывает с ростом цены готовой продукции; 2) спрос на фактор производства не возрастает по своей цене.

3. Задача минимизации издержек:

min w1 x1 w2 x2

x1 , x2 0

y f (x1 , x2 )

Если x1

, x2

0 - внутреннее решение задачи, то MRTS 12 (x1

, x2 )

Решением

этой

задачи являются

функции

условного

спроса

на

факторы

производства

x2 (w1 , w2 , y) .

Подставив функции

условного спроса

на факторы

x1 x1 (w1 , w2 , y) ,

производства

целевую

функцию

задачи

получим

функцию

издержек:

c(w1 , w2 , y) w1 x1 (w1 , w2 , y) w2 x2 (w1 , w2 , y) .

Функция издержек

показывает

минимальные

издержки производства y единиц выпуска при ценах факторов производства (w1 , w2 ) .

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 11.10.2012

Утверждение: если технология фирмы характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то функция издержек линейна по выпуску.

Слабая аксиома минимизации издержек (weak axiom of cost minimization WACM): Пусть при

ценах (wt , wt

) фирма, минимизируя издержки производства выпуска

y , выбрала комбинацию

факторов (xt , xt ) . А при ценах

(ws , ws

) минимальные издержки производства того же объема

выпуска y

достигаются при комбинации факторов

(x s , x s ) .

Тогда должны быть выполнены

следующие

соотношения: wt

x s wt

x s

ws x s ws

x s

ws xt ws xt .

Тогда

условный спрос на фактор производства не возрастает по своей цене.

Еще одна формулировка задачи максимизации прибыли:

max py c(w, y) . Тогда,

если

y 0 -

y 0

- функция предельных издержек.

внутреннее решение, то p c y (w, y ) , где c y (w, y)

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 18.10.2012

Примерный план лекции №7 и основные определения.

Темы: Частичное равновесие: случай совершенной конкуренции. План

1.Частичное равновесие: описание модели; определение равновесия; совокупный спрос и совокупное предложение; графическая иллюстрация поиска равновесия.

Основные определения

Потребители: Пусть в экономике два товара: x и			m и M потребителей с квазилинейными
функциями полезности u k (x k , mk ) (x k ) mk ,			u k (0, 0) k (0) 0 ,	причем	( k ) 0 ,
( k ) 0 xk 0 . Пусть цена товара		m равна pm 1 , а цену товара x обозначим через				p . У
каждого потребителя имеется первоначальный запас блага m , равный потребителя,					k	и нет
					m
запаса блага x .
Фирмы: Пусть в экономике	J фирм,	производящих товар x из товара		m в соответствии с
функцией издержек c j ( y j ) ,	причем с j	(.) 0, c j (.)	0 y j 0 , где y j - уровень выпуска блага

фирмой j . Обозначим через k

– долю потребителя k

в прибыли фирмы

т.е. k 0 ,

1 .

~ M

) ,

Определение равновесия: Равновесием называется распределение (x

,..., x

( y1 ,..., yJ ) и цена

, такие, что

c j ( y j ). при цене

;

j : y j является решением задачи фирмы max py j

y j 0

~ k

является решением задачи потребителя

k max

)

( p) px

k : x

xk 0

при цене

p ;

M ~ k

J ~

равен совокупному

рынок уравновешен: x

y j , т.е. совокупный спрос на благо x

k 1

j 1

предложению этого блага.

Замечание 1: В определение равновесия можно было бы также включить распределение блага m и соответственно баланс на этом рынке. При сбалансированности рынка товара x как следствие закона Вальраса баланс на рынке товара m выполняется автоматически.

Замечание 2: В условиях, характеризующих равновесие (условиях первого порядка задач потребителей, фирм и условии уравновешенности рынка) ни в каком виде не присутствуют первоначальные запасы потребителей и доли участи в прибыли фирмы. В связи с этим можно сделать вывод, равновесное распределение и цена не зависят от распределения первоначальных запасов и долей участия в прибыли в фирмы. Этот результат является следствием квазилинейности предпочтений потребителей.

Спрос:

Условия первого порядка задачи потребителя (необходимые и достаточные в силу строгой вогнутости функции полезности):

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 18.10.2012

	(x k ) p;
k		.
	(x k ) p, если	.
	(x k ) p, если	x k 0
k
Для	каждого возможного		уровня p 0	мы можем определить	единственное значение x k ,
которое обозначим через			x k ( p) , удовлетворяющее условию первого порядка (это (прямая)
функция спроса потребителя k ).
Из условий первого порядка следует, что x k ( p) 0 при p					(0) ,	причем функция спроса
				k
x k ( p) не возрастает по p			для любого	p 0 и строго убывает при		p k (0) (поскольку по

теореме о дифференцировании обратной функции xk ( p) 1/ k (xk ( p)) 0 ).

Совокупный спрос: Графически для того, чтобы получить совокупный спрос на благо x , нужно

горизонтально	сложить	индивидуальные	кривые	спроса.	Совокупный	спрос
xk ( p) 0, если p max k (0)

k		.
x( p)		.
xk ( p) 0, если p max k (0)

Предложение:

Условия первого порядка задачи фирмы (необходимые и достаточные):

p c		( y	j	);
	j		j
		( y j ), если y j 0.
p c j		( y j ), если y j 0.

Условия первого порядка задачи фирмы определяют ее функцию предложения								y j ( p) : для
любого		p 0 мы можем определить единственный уровень выпуска					y j , удовлетворяющий
условию первого порядка. Функция y j					( p)	не убывает при любом p 0 и строго возрастает при
p c j (0)				(поскольку по теореме		о дифференцировании	обратной	функции
y j	( p) 1/ c j ( y j ( p)) 0 ), причем при				p c j (0) предложение фирмы равно нулю: y j			( p) 0 .

Совокупное предложение: Графически для того, чтобы получить совокупное предложение блага x , нужно горизонтально сложить индивидуальные кривые предложения. Совокупное

предложение:
y j	( p) 0, если p min c j (0)
j	.
y( p)	.
y j	( p) 0, если p min c j (0)
j
Равновесие:
Чтобы найти равновесную цену блага нам нужно только найти такую цену				~	, где совокупный
				p	, где совокупный
спрос равен	совокупному предложению:	~	~
спрос равен	совокупному предложению:	x( p) y( p) , т.е. графически нужно найти точку

пересечения кривых совокупного	спроса и совокупного предложения, и такая точка будет
соответствовать положительному	уровню блага	x , если	max k (0) min c			(0)	. Причем,
			k	j	j
			k	j

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 18.10.2012

поскольку при p min c j (0) функция совокупного предложения является строго возрастающей,

а	при		p max k (0) функция	совокупного		спроса является строго убывающей, то	эта
			k
равновесная цена определена единственным образом.
Индивидуальные уровни спроса				и	предложения блага в равновесии определяются		как
~ k	x	k	~	~	~	для всех производителей.
x	x		( p) для всех потребителей и y j		y j ( p)	для всех производителей.

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 25.10.2012

Примерный план лекции №8 и основные определения.

Темы: Частичное равновесие: случай совершенной конкуренции (сравнительная статика); монополия

План

1.Частичное равновесие: случай совершенной конкуренции: сравнительная статика – введение потоварного налога; равновесие и оптимальность.

2.Монополия: задача монополиста, характеристика решения; сравнительная статика: введение потоварного налога.

Основные определения

1. Сравнительная статика. Предположим, на рынке действует потоварный налог t на товар x .

Введение налога для потребителей эквивалентно увеличению цены на величину t , то совокупный при введении налога t и цене p составит x( p t) . Таким образом, равновесная

рыночная цена при введении налога (которую и получает производитель), обозначим ее через

p(t) , должна удовлетворять условию: x( p(t) t)

y( p(t)) .

x ( p(t) t)

Тогда

p (t)

, т.е.

1 p

(t) 0 . Таким образом, цена p(t) , получаемая

x ( p(t) t) y ( p(t))

производителями,

снижается с ростом налога,

тогда как совокупные издержки приобретения

товара

для

потребителей

растут,

следовательно совокупное

количество

p(t)

приобретаемого и производимого блага сокращается.

Два специальных

случая:

если

(кривая совокупного

предложения

y ( p(t))

горизонтальна), то

т.е. на цену, получаемую фирмами, налог никакого влияния не

p (t) 0 ,

оказывает -

все бремя налога несут потребители;

если y ( p(t)) 0 (кривая совокупного

предложения вертикальна), то

p (t) 1, т.е. влияние налога ощущают на себе только фирмы.

Равновесие и оптимальность: Задача на поиск Парето-оптимальных распределений в данной экономике сводится к следующей:

max W (x, y)			k (x k )		c	( y	)
xk , y j 0					j	j
		k 1		j
x k	y j
k	j

где W (x, y) - индикатор общественного благосостояния.

Условия первого порядка этой задачи совпадают с условиями первого ~порядка, характеризующими равновесие, при множителе Лагрнажа равном равновесной цене p . Таким

образом, равновесное распределение Паретооптимально.

2. Монополией называется фирма, являющиеся единственным производителем некоторого

товара. Задача монополиста: max ( y) p( y) y c( y) , где	p( y) x 1 ( p) - обратная функция
y 0
совокупного спроса.

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 25.10.2012

Равновесный выпуск монополиста ym 0 характеризуется условием: p( ym ) ym p'( ym ) c ( ym )

или MR( ym ) MC( ym ) , где MR( y) p( y) yp ( y) - предельный доход (выручка) монополиста

(от англ. marginal revenue), MC c ( y) - предельные издержки (от англ. marginal costs).

Если обратная	функция	спроса	p( y) и функция издержек c( y) дифференцируемы и
p(0) c (0) , то	ym 0 .
Сравнительная	статика:	введение	потоварного налога в случае, когда c( y) cy , c 0 .

Введение потоварного налога приводит к росту предельных издержек на величину налога, а следовательно к параллельному сдвигу вверх кривой предельных издержек.

Условие первого порядка p( ym ) ym p'( ym ) c неявным образом описывает зависимость

равновесного объема выпуска монополиста от предельных издержек c . Как изменятся оптимальный уровень выпуск и равновесная цена при малом увеличении предельных издержек? Продифференцируем условие первого порядка по c , учитывая, что оптимальный уровень

выпуска зависит от c ,	ym y c . Тогда	y (c)			1			0	(по условию второго порядка

				2 p ( y)
						yp ( y)
задачи монополиста) и p (c) p ( y) y (c)				p ( y)			0 , т.к. p ( y) 0 .

			2 p ( y) yp ( y)
При линейной обратной функции спроса p( y) a by ,						a c t ,				, т.е. в этом
									b 0 , p (c) 1/ 2

случае равновесная цена возрастет на половину величины налога с единицы выпуска.


При обратной функции спроса p( y) 2 / y		, т.е. введение потоварного налога	t
	p (c) 2

приводит к росту предельных издержек на величину налога, а равновесная цена возрастает на величину 2t .

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 01.11.2012

Примерный план лекции №9 и основные определения.

Темы: Монополия. Стратегические взаимодействия: олигополия План

1.Монополия: монополия и совершенная конкуренция, неэффективность монополии; чистые потери от монополии.

2.Олигополия: модель Курно.

Основные определения 1. Монополия.

Утверждение. Пусть ym - равновесный уровень выпуска монополиста, а yc - равновесный

уровень выпуска при совершенной конкуренции (т.е. объем выпуска, который был бы выбран фирмой с такой же функцией издержек, но принимающей цену заданной). Тогда, если обратная функция спроса, p( y) , убывает, то

(1)ym yc ;

(2)если кроме того обратная функция спроса и функция издержек дифференцируемы, ym 0 и p ( y) 0 , то ym yc .

Равновесный уровень	выпуска при монополии	неэффективен (не Парето-оптимален),
yc
DWL ( p(t) c (t))dt	(deadweight loss) - чистые	потери от монополии, мера снижения
ym

благосостояния потребителей в результате того, что они платят не конкурентную, а монопольную цену.

Пример. Пусть p( y) a by , c( y) cy , причем a c 0 , b 0 . Равновесная цена при совершенной конкуренции определяется из условия равенства предельным издержкам: p c , соответственно, равновесный уровень выпуска при совершенной конкуренции (он же и будет эффективным) будет следующим: yc (a c) / b .

Равновесный уровень выпуска при монополии, ym , будет положительным, поскольку выполнены все предпосылки соответствующего утверждения: если обратная функция спроса

p( y) и функция издержек c( y)	дифференцируемы и p(0) c (0) , то ym							0 (см. план лекции 8),
и определяется из условия p ( y	m	) y	m	p( y	m	)	c , откуда находим y	m	(a c) / 2b , что в два
	m		m		m			m
							MC( ym )
		MR( ym )

раза меньше оптимального. Соответственно, равновесная цена составит

pm (a

Чистые потери от монополии:

( yc ym )( pm c)

a c

a c a c

1 a c a c

a c 2

DWL

c) / 2 .

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 01.11.2012

DWL

p( y)

	MR( y)
ym	y
ym	yc

2. Олигополия.

Модели некооперативного поведения олигополистов:

	Одновременно	Последовательно

Количество	Модель Курно	Модель
(выпуск)		Штакельберга

Цена	Модель Бертрана	Ценовое лидерство

Будем считать, что некоторую однородную продукцию производят J фирм технологии которых представлены возрастающими выпуклыми функциями издержек c j ( y j ) , а спрос на продукцию

задается убывающей обратной функцией совокупного спроса p(Y ) , где Y y j ,	y j 0 .
j

Модель Курно (дуополия): фирмы одновременно и независимо выбирают уровень выпуска.

Пусть y j - это выпуск фирмы j , а через y j					обозначим выпуск другой фирмы (или совокупный
выпуск	всех других	фирм,	если	их	больше двух). Задача	фирмы j имеет вид:
max j	p Y p j c j ( y j	) p( y j	y j	) y j c j ( y j ) , где Y y j и		y j - ожидаемый выпуск
y j 0					j
					j

фирмы-конкурента (и в равновесии ожидания оправдываются). Обозначим решение этой задачи через y*j .

Определение: Набор ( y1* , y2* ) составляет равновесие в модели дуополии Курно (равновесие по Нэшу), если для любой фирмы j , y*j является решением задачи фирмы j при y j y* j .

Зависимость оптимального объема производства y j от y j называют функцией (отображением в общем случае) реакции: y j R j ( y j ) .

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 01.11.2012

Если оптимальный отклик однозначен, то равновесие Курно ( y1* , y2* ) является решением системы: y*j Rj y* j , где j 1, 2 . Графически, равновесие в модели Курно характеризуется пересечением кривых реакции в пространстве выпусков.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.20151.28 Mб8Krim.pdf
#
03.06.201540.22 Mб23Kurs_matematicheskogo_analiza_Ter-Krikorov_A_M.pdf
#
08.12.20186.36 Mб32Lec1.1-1.5 linearity.docx
#
31.08.2019407.04 Кб25lect-gis.doc
#
05.09.2019275.97 Кб1lection8_9full.doc
#
03.06.20154.52 Mб4Lections_short_2012.pdf
#
03.06.2015221.27 Кб5lecture01-mpi_introduction.pdf
#
03.06.20152.66 Mб10lecture1.pdf
#
03.06.20151.03 Mб16lecture1.pdf
#
03.06.2015202.54 Кб13lecture2.pdf
#
03.06.2015828.39 Кб21lecture4.pdf