Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lections_short_2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

4.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 13.09.2012

4) Предпочтения с точкой (глобального) насыщения. Пусть существует самый лучший для

потребителя набор в потребительском множестве

X ,

x (x1 , x2 ) .

Все остальные наборы тем

хуже для потребителя, чем

дальше

они

лежат

от

набора

x (x1 , x2 ) .

Пример

функции

полезности:

u(x , x

) (x x )2 (x

)2 .

5) Функция полезности Кобба-Дугласа: u(x , x

) (x )a (x

) ,

где

, 0 ,

Предельная норма

замещения MRS12 (x1 , x2 ) x2

/ x1 .

Квазилинейная

функция

полезности:

u(x1 , x2 ) v(x1 ) x2 ,

где v (x1 ) 0 ,

v (x1 ) 0 ,

Предельная норма замещения MRS12 (x1 , x2 ) v (x1 ) .

3. Задача потребителя:

max u(x)

max u(x1 , x2 )

x 0

или в случае двух благ x1 , x2 0

pi xi

p1 x1 p2 x2 m

i 1

где

цена

блага i , m 0

доход

потребителя.

Будем

считать,

что предпочтения

потребителя представимы непрерывной функцией полезности u(x) .

Характеристика решения:

1)Поскольку бюджетное множество непусто и ограниченно ( 0 xi m / pi ), а u(x) непрерывная функция, то решение задачи потребителя существует (по теореме Вейерштрасса).

2)Если функция полезности строго вогнута (предпочтения строго выпуклы), то (поскольку бюджетное множество выпукло) решение задачи потребителя единственно.

3)Если предпочтения потребителя строго монотонны, то на решении задачи бюджетное ограничение выполняется как равенство, т.е. оптимальный набор лежит на бюджетной линии.

~	~		~	~	p1
4) Во внутреннем решении (x1	, x2 ) 0 выполнено соотношение:	MRS	12 (x1	, x2 )			, т.е.
					p	2

внутренне решение (если функция полезности дифференцируема) характеризуется касанием кривой безразличия и бюджетной линии.

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 20.09.2012

Примерный план лекции №3 и основные определения.

Темы: Теория поведения потребителя: задача потребителя; случай натурального дохода; экономика обмена (начало)

План

1.Задача потребителя: характеристика решения и примеры поиска функций спроса.

2.Бюджетное ограничение и задача потребителя в случае натурального дохода.

3.Экономика обмена: допустимые распределения, ящик Эджворта.

Основные определения

1. Задача потребителя:

max u(x1 , x2 )
x1 , x2 0
p1 x1 p2 x2 m
~	x1 ( p1 , p2 , m) ,	~	x2 ( p1 , p2 , m)	- функции (обычного или
Решение задачи потребителя x1	x1 ( p1 , p2 , m) ,	x2	x2 ( p1 , p2 , m)	- функции (обычного или
маршаллианского) спроса.
Функции спроса однородны нулевой степени по ценам и доходу,				т.е. xi ( p, m) xi (tp, tm) для
любого t 0 .

Если максимизируя свою полезность на бюджетном множестве потребитель выбирает набор с

положительным					~	~	- внутреннее решение), то
положительным					количеством обоих благ ( (x1	, x2 ) 0	- внутреннее решение), то
	~	~	p1
MRS	12 (x1	, x2 )			.
MRS	12 (x1	, x2 )	p	2	.
			p	2

Если, максимизируя свою полезность на бюджетном множестве, потребитель приобретает

положительное количество блага i , то для блага j

выполнено:

p j

MRSji (x1

, x2 )

Функции спроса для функции полезности Кобба-Дугласа

u(x , x

) (x )a (x

) , где

, 0 :

x1 ( p1 , p2 , m)

, x2 ( p1 , p2 , m)

( ) p1

( ) p2

Функции спроса для квазилинейной функции полезности вида u(x1 , x2 ) x1 x2 :

4mp p 2

p 2

, x2

при m

4 p1 p2

4 p1

p22

, x

0 при m

4 p1

Задача потребителя и ее решение с помощью условий Куна-Таккера для функции полезности u(x1 , x2 ) x1 x2 .

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 20.09.2012

Задача потребителя:

max u(x , x			)	x	x	2 :
x1 ,x2 0	1	2		1		2 :

p1 x1 p2 x2 m

Пусть – множитель Лагранжа, тогда условия Куна-Таккера для этой задачи имеют вид:

1		p1	0	и 0 , если x1	0	(1)


	2 x1

1 p2 0			и 0 , если x2 0			(2)
m p1 x1 p2 x2				0 и 0 , если 0		(3)

Заметим, что, во-первых, т.к. предпочтения потребителя строго монотонны, то на решении задачи бюджетное ограничение будет выполняться как равенство (поэтому условие (3) выполняется как равенство), во-вторых, т.к. доход потребителя по предположению положителен, m 0 , то оптимальным не может быть набор, в котором отсутствует оба блага; в- третьих, поскольку функция полезности строго вогнута (а, следовательно, предпочтения строго выпуклы), то условия первого порядка являются необходимыми и достаточными.

Заметим, что x1

0 , поэтому условие (1)

0 всегда выполняется как равенство. Т.к.

из условия (2)

следует,

что 1 p

, то

, причем

если x

0 .

Таким

2 x

0 .

образом, x

, и x

, если

4 p

4 p2

С другой стороны расходы на приобретение блага 1,

x1 , не превосходят доход: p1 x1 m , то есть

, причем

, если

0 .

Поэтому x min

. Покажем, что

x min

. Действительно, если

0 , то

4 p1

, а если

0 , то

p22

4 p

Поскольку

0 ,

то

p22

0 .

Таким образом,

0 m

p22

. В

4 p 2

4 p

итоге получаем приведенные выше функции спроса.

2. Поведение потребителя в случае натурального дохода. Предположим, что индивид обладает некоторым запасом благ ( 1 , 2 ) , которые предлагаются на рынке по ценам p ( p1 , p2 ) , и

не имеет фиксированного		дохода,	тогда	бюджетное ограничение потребителя имеет вид:
p1 x1 p2 x2 p1 1	p2 2 .	Графически,		бюджетная	линия	проходит	через	точку
первоначального	запаса точка (x1		1 , x2	2 ) и имеет	наклон	p1 / p2 .	Решение	задачи

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 20.09.2012

потребителя, набор (x1* , x2* ) , теперь зависит как от цен, так и от первоначального запаса благ:

xi* xi* ( p1 , p2 , p1 1 p2 2 ) .

Если xi* i , то говорят, что потребитель является чистым покупателем или чистым потребителем данного блага.

Если xi* i , то говорят, что потребитель является чистым продавцом или чистым поставщиком данного блага.

В экономике с двумя благами при положительных ценах потребитель не может быть чистым покупателем или чистым продавцом обоих благ одновременно.

3. Экономика обмена. Обозначим через xik потребление блага i ,	i 1, 2		потребителем		k ,
k A, B , а через ik - первоначальный запас блага i у потребителя k .
Распределением называется пара потребительских наборов x A (x A , x A )		и	x B (x B , x B ) ,		т.е.
1	2		1	2

x (x A , x B ) .

Распределение называется допустимым, если потребляемое количество каждого блага равно совокупному запасу этого блага, т.е. x1A x1B 1A 1B и x2A x2B 2A 2B .

Допустимое распределение x называется Парето-оптимальным (эффективным), если нельзя улучшить положение одного потребителя, не ухудшая положение другого. Другими словами, распределение x Парето-оптимально, если для него нельзя построить Парето-улучшение, т.е. не

существует другого допустимого распределения					~	такого, что	~k	x	k	для всех потребителей и
существует другого допустимого распределения					x	такого, что	x	x		для всех потребителей и
	~k							~
хотя бы для одного потребителя	~k	x	k	.
хотя бы для одного потребителя	x	x		.

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 27.09.2012

Примерный план лекции №4 и основные определения.

Темы: Экономика обмена: Парето-оптимальные распределения; равновесие по Вальрасу (начало)

План

1.Парето-оптимальные распределения: определение, примеры поиска, дифференциальная характеристика.

2.Равновесие по Вальрасу: определение.

Основные определения

1. Допустимое распределение x называется Парето-оптимальным (эффективным), если нельзя улучшить положение одного потребителя, не ухудшая положение другого. Другими словами, распределение x Парето-оптимально, если для него нельзя построить Парето-улучшение, т.е. не

существует другого допустимого распределения					~	такого, что	~k	x	k	для всех потребителей и
существует другого допустимого распределения					x	такого, что	x	x		для всех потребителей и
	~k							~
хотя бы для одного потребителя	~k	x	k	.
хотя бы для одного потребителя	x	x		.

Пусть предпочтения каждого потребителя представимы функцией полезности, которая является дважды непрерывно дифференцируемой, причем предпочтения потребителей строго

монотонны. Обозначим через

совокупный запас блага i . Будем также считать, что u k (0) 0 .

max

u1 (x1

, , x1

)

x1 ,...,xM 0

u k (xk , , xk

)

k 2, M

(1)

xik

i 1, N

Утверждение. Каждое решение данной задачи (1) является Парето-оптимальным распределением и наоборот, любое Парето-оптимальное распределение является решением задачи (1) при некоторых значениях уровней полезности (u 2 ,u 3 , ,u M ) .

Дифференциальная характеристика Парето-оптимальных распределений:

1) Во внутреннем Парето-оптимальном распределении x 0 выполнено: MRSijA (x) MRSijB (x) . Т.е. в случае экономики обмена с двумя потребителями и двумя благами во внутреннем Парето-оптимуме имеет место касание кривых безразличия.

Условие равенства предельных норм замещение – необходимое и достаточное условие внутреннего Парето-оптимума, если предпочтения потребителей выпуклы (т.е. для любого набора xˆ из множества допустимых наборов X множество наборов не хуже xˆ выпукло).

Пример ситуации, когда предпочтения одного потребителя (А) не являются выпуклыми и из равенства предельных норм замещения получаем не Парето-оптимальное распределение:

Итак, пусть		, u A (x A ) x A 2	x A 2	и u B (x B ) x B		x B	. Тогда	MRSA		x1A	,	MRS B	1 . И
	2									x1A

1		1	2		1	2		12		x A		12
										x A
									2
из равенства предельных норм замещения получаем:					x A x A , т.е. диагональ ящика Эджворта.
					2	1

Однако распределения на диагонали Парето-улучшаемы. В действительности, в данном случае нет внутренних Парето-оптимальных распределений; множество Парето-оптимальных распределений – периметр (все стенки) ящика Эджворта.

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 27.09.2012

2) Граничные Парето-оптимальные распределения: Пусть

x A 0 , x A 0 ,

x B 0 ,

x B 0 , где

i j , тогда MRSA (x) MRSB (x) . Если

x B

0 , x B 0 , x A 0 ,

x A 0 , где i j ,

то получаем

следующую характеристику граничного Парето-оптимума MRSA

(x) MRSB (x) .

Пример.

Пусть

u A (x A ) 2x A

x A

и u B (x B ) x B x B

. Тогда в любой точке ящика

Эджворта

MRS A 2

MRS B 1. Внутренних

Парето-оптимальных

распределений

нет.

Граничные Парето-оптимальные распределения – все наборы такие, что x A

0 при

0 x A

и x A

при 0 x A

(т.е. нижняя и правая стенки ящика Эджворта).

Пример: Поиск Парето-оптимальных распределений в экономике обмена, где предпочтения потребителей описываются функциями полезности Кобба-Дугласа:

Пусть u A (x) x1 x12 и u B (x) x1 x12 , где , (0, 1) , 1 , 2 0 .

1)Граничные Парето-оптимальные распределения: только две точки начала координат для потребителей А и В, т.е. точки (x1A 0, x2A 0) и (x1A 1 , x2A 2 ) .

2)Внутренние Парето-оптимальные распределения: поскольку предпочтения выпуклые, то во внутреннем Парето-оптимуме MRS12A MRS12B . Таким образом, для поиска внутренних Паретооптимальных распределений нужно решить систему:

		x A	A		x B		B
		2	A			2	B
		2				2
	(1 )x			(1 )x
		1				1
	A	B
	A	B	1					,
x1		x1	1					,
	A	B
	A	B	2
x2		x2	2


											x A				(1 )
						x A					x A	, где 0 x A		и	(1 )
откуда находим:										2 1							.
откуда находим:																	.
						2						1	1		(1	)
						2			(1 )x A			1	1
									(1 )x A
								1		1

Тогда множество Парето-оптимальных распределений (внутренних и граничных) описывается

				x A
функцией x A				x A		0 x A
			2 1		при			. При		множество Парето-оптимальных
					при			. При		множество Парето-оптимальных
2		(1 )x A				1	1
2						1	1

	1		1
											2
распределений совпадает с диагональю ящика Эджворта,									x A		2	x A . При , кривая лежит
									2			1
									2	1		1
										1

выше диагонали (функция строго вогнута), при кривая лежит ниже диагонали (функция выпукла).

2. Определение равновесия по Вальрасу.

~ ~

Набор (x, p) называется равновесием по Вальрасу, если

~ k

1). Для любого потребителя k , набор x является решением задачи этого потребителя при

равновесных ценах p :

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 27.09.2012

max u k (x k )

xk 0
N ~	k	N	~	k
pi	xi	pi		i
i 1		i 1

2) Рынки уравновешены (сбалансированы), т.е. на рынке каждого блага совокупный спрос равен совокупному предложению (запасу) блага:

M	~ k	M	k	для любого блага i .
xi		i		для любого блага i .
k 1		k 1

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 04.10.2012

Примерный план лекции №5 и основные определения.

Темы: Экономика обмена: равновесие по Вальрасу; равновесие и оптимальность (теоремы благосостояния)

План

1.Равновесие по Вальрасу; закон Вальраса; пример поиска равновесия по Вальрасу.

2.Равновесие и оптимальность: первая и вторая теоремы благосостояния.

Основные определения

					~ ~	называется равновесием по Вальрасу, если
1. Определение равновесия по Вальрасу: Набор (x, p)						называется равновесием по Вальрасу, если
1). Для любого потребителя			k набор	~ k	является решением задачи этого потребителя при
1). Для любого потребителя			k набор	x	является решением задачи этого потребителя при
равновесных ценах		~
равновесных ценах		p :
max u k (xk )
xk 0
pi xik	pi ik
i	i

2)Рынки уравновешены (сбалансированы), т.е. для любого блага i выполнено соотношение:

~ k k xi i .

k k

Совокупным избыточным спросом на благо i называется разность между совокупным спросом

на благо i и его совокупным предложением (запасом), т.е. zi ( p) xik ik .
k	k

Закон Вальраса. Если предпочтения потребителей строго монотонны, то стоимость совокупного избыточного спроса равна нулю при любых ценах, при которых определен избыточный спрос,

т.е. pi zi ( p) 0 .

Следствие закона Вальраса: Если в экономике N рынков, то достаточно найти цены, при

которых уравновешены N 1 рынков,				а на рынке товара N спрос автоматически будет равен
предложению.
2. Первая	теорема	благосостояния:		Если все потребители имеют строго монотонные
предпочтения и набор		~ ~			~
предпочтения и набор		(x, p) является равновесием по Вальрасу, то распределение x является
Парето оптимальным.
					~ ~ ~
Определение равновесия по Вальрасу в экономике с трансфертами: Набор (x , p,T ) называется
равновесием по Вальрасу в экономике с трансфертами, если
1). Для любого потребителя k набор				~ k	является решением задачи этого потребителя при
1). Для любого потребителя k набор				x	является решением задачи этого потребителя при
	~	~ k	:
равновесных ценах p		и трансферте T	:
max u k (xk )
xk 0
pi xik pi ik T k
i	i

2) Рынки уравновешены (сбалансированы), т.е. для любого блага i выполнено соотношение:

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 04.10.2012

~ k	k
xi	i .
k	k
	~ k	0 .
3) Выполнен финансовый баланс: T		0 .

Вторая теорема экономики благосостояния. Пусть все потребители имеют строго монотонные выпуклые предпочтения (представимые дифференцируемыми функциями полезности). Тогда любое внутренне (т.е. такое, в котором каждый потребитель имеет положительное количество любого блага) Парето-оптимальное распределение можно реализовать как равновесное в экономике с трансфертами.

Пример: Пусть u A (x A ) (x1A )1/ 4 (x2A )3 / 4 и u B (x B ) (x1B )1/ 4 (x2B )3 / 4 , A (6, 1) и B (2, 3) .

(а) Найдите равновесие по Вальрасу в данной экономике.

Ответ:

1/ 6 ,

~ A

3 / 2

~ B

5 / 2 .

/ p2

, x2

, x1

, x2

~ A

(2,

~ B

(6, 2)} реализовать как равновесное при каких-

(б) Можно ли распределение {x

2), x

либо ценах и трансфертах?

Ответ: Данное распределение не является Парето-оптимальным, следовательно, по первой теореме благосостояния оно не может быть равновесным ни при каких ценах.

~ A

~ B

(6, 3)}

реализовать как равновесное при каких-

(в) Можно ли распределение {x

(2, 1), x

либо ценах и трансфертах?

Ответ: Данное

распределение

можно

реализовать

как равновесное при ценах

~ A

~ B

(данные величины трансфертов получены при нормировке

трансфертах T

4 , T

при выборе другой нормировки величины трансфертов будут другими).

Пример экономики, в которой отсутствует равновесие: Рассмотрим экономику обмена с двумя

благами (1 и	2) и двумя потребителями (A и В). Предпочтения потребителей представимы
функциями полезности		вида: uk xk , xk xk			3 2 xk	2 2 ,	k A, B . Начальные запасы
		1	2	1	2
потребителей	A A , A 5,3 и B			B , B 5, 3 .
	1	2		1	2

Пример экономики, где равновесное отношение цен не единственно. Предпочтения
потребителей		представимы		функциями	полезности:	u A x A , x A min{ x A , x A }					и
						1	2		1	2
u B x B , x B min{ x B , x B } . Начальные запасы благ: A A , A 1, 1 и								B	B , B 1, 1 .
1	2	1	2		1	2	~		1	2
							~
								p	0 .
Тогда точка первоначальных запасов будет равновесной при любых ценах								1
								~
								p2

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 11.10.2012

Примерный план лекции №6 и основные определения.

Темы: Теория поведения фирмы (производителя): описание технологии, максимизация прибыли, минимизация издержек.

План

1.Описание технологии: производственная функция, изокванты, предельный продукт, предельная норма технологического замещения, отдача от масштаба.

2.Максимизация прибыли в краткосрочном и долгосрочном периодах: задача, характеристика решения, графическая иллюстрация, сравнительная статика.

3.Минимизация издержек: задача, характеристика решения, графическая иллюстрация; слабая аксиома минимизации издержек.

Основные определения

1. Производственная функция f (x1 ,..., xm ) показывает максимальный объем выпуска y , который может быть получен из факторов производства (x1 ,.., xm ) .

Изокванта – это линия уровня производственной функции y f (x1 , x2 ) в пространстве факторов производства, т.е. это множество комбинаций факторов производства (x1 , x2 ) , позволяющих произвести в точности данный уровень выпуска y .

Если производственная функция дифференцируема, то предельным продуктом фактора

производства i называется MPi (x) f (x) , т.е. предельный продукт показывает приращение

выпуска, вызванное малом увеличением количества данного фактора производства.

Предельная норма технологического замещения второго фактора производства первым

(MRTS12) показывает, от какого объема второго фактора должна отказаться фирма, чтобы увеличив объем использования первого фактора на малую величину, произвести тот же уровень выпуска. Предельная норма технологического замещения характеризует наклон изокванты (с

обратным знаком) в пространстве факторов производства: MRTS 12 dx2 MP1 . dx1 MP2

Отдача от масштаба:

Производственная функция f демонстрирует

возрастающую отдачу от масштаба (IRTS), если для любого числа t>1 f (tx1 , tx2 ) tf (x1 , x2 )

убывающую отдачу от масштаба (DRTS), если для любого числа t>1

f(tx1 , tx2 ) tf (x1 , x2 )

постоянную отдачу от масштаба (CRTS), если для любого положительного числа t

f(tx1 , tx2 ) tf (x1 , x2 ) .

2. Задача максимизации прибыли:

1) Краткосрочный период (один из факторов производства фиксирован)

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.20151.28 Mб8Krim.pdf
#
03.06.201540.22 Mб23Kurs_matematicheskogo_analiza_Ter-Krikorov_A_M.pdf
#
08.12.20186.36 Mб32Lec1.1-1.5 linearity.docx
#
31.08.2019407.04 Кб25lect-gis.doc
#
05.09.2019275.97 Кб1lection8_9full.doc
#
03.06.20154.52 Mб4Lections_short_2012.pdf
#
03.06.2015221.27 Кб5lecture01-mpi_introduction.pdf
#
03.06.20152.66 Mб10lecture1.pdf
#
03.06.20151.03 Mб16lecture1.pdf
#
03.06.2015202.54 Кб13lecture2.pdf
#
03.06.2015828.39 Кб21lecture4.pdf