Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Иванов Матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1616

òî kABk =

jABxj kAk kBk.

ñðåä åì.)

Пусть

Ò îp ì jmaxj=1. (Теорема Лагр жа о

окрестности

точки

äè åðåíцируемая

вектор

ункция g : U

(y ) ! Rm

. Тогзаданадля любых y; y0

2 U

)

ñóùå-

(0; 1) такое, что

ствует число 20

y))k jy

yj:

(1)

jg(y

)

g(y)j

kD g(y + (y

Док т льст о. За иксируем пр

y; y0

2 U (y )

рассмотрим векторункцию скаляр ого п

f(t) = g(y +

U (y )

то по теоремелюбогоди ере

сложной

ункции

Следовательно,

соглаñ

òå

Лагранжцированииизвольныесреднем для

y)). Поскольку для

t(y

t 2 [0; 1 им ременногоy+t(y

y) 2 [y; y

Æ 0

уществует f

(t) = D g(y + t (y

y)) (y

y).

для любого t 2 [0; 1

ункции скалярного

0переменного

существует число 2

; 1)векторакое,

÷òî jf(1) f(0)j

jf ( )j.

Поэтому

y))(0y0 y)j

jg(y0) g(y)j = jf(1)

f(0)j jf0

( )j = jD g(y + (y0

îòî ð íèé

Rm . Вектор-

Опp л ни .m Пусть задано множествоим ющихY

Ë. 1( )

kD g(y + (y

y))k jy

yj:

Ÿ 3. Принцип Б н х с

îòî ð íè ì, åñëè

ункция g : Y ! R

существует число 2называетс(0; акое, что

þùèì8 y

2 Y:

) g(y1)j jyñ yèìj

точкиy;0

Т оp м 1. Пусть в Ж-

2 Rm задана

ункция

g : U

) ! R

окрестностиакая,что

отображ

0 g : UÆ

(y0) ! Rm

является сжимающим вектороэ -

ициентом <ение1

(à)á jg(y ) j < (1 )Æ.

Тогда в U (y )

уравненений y = g(y) имеет единственное

Æ 0

ности fy g

Rсистема, опр деляемой рекуррентной ормулой

решение y , которое мож т быть найдено

ак предел пос едователь-

303

k=0

Äîê ò ëü îyk.

+1Покажем,= g(yk);

÷òîk =äëÿ0; 1любого; 2; : : k 2 N [ f0g ñïðà(1)

ведливо

y j kjy

y j:

(2)

Ïðè k =

неравенство0

(2) выполнено. Пусть неравенство (2) выпол-

k+1

нено 8k 2 f0; : : : ; s 1g, тогда

jy y j

jy y j jy y j

( s 1 + + 1)jy y j

( s 1

+ +1)(1 )Æ = (1 s)Æ < Æ:

s 1

Следовательно, y

;(1)

2 U

) и в силу условия (а) дока-

12 U 0(y( ), y

s 1

зываемой теоремы

(

)

(1)

) g(y

j sjy

s+1

j = jg(y

s 1

. å.

(2)

при k = s. По индукции

что этонеравенство выполненодля любого k 2 N [ f0g.

Из неравенства (2) следует, что для любых k 2 N [ f0gполучаем,n > k

jyn

ykj jyn

yn 1j + + jyk+1

ykj

y0j:

( n 1 + +

k)jy1

y0j =

( k

n)jy1

y0j

kjy1

Поэт му для любого " > 0

åò íà óðà üíîå число N, опреде

ëÿåì

из условия

существу< ", акое,

äëÿ

любых k N, n > k

ñïпоследнемраведлèâî

неравенство к пределу при n !

1, имеем jy y j

Njy1 y0j

ñõследовательно,äè ÿ ê íåêîторойундаментточк y

Коши по ледовательность fy g

1 jyn ykj < ". Ý

означает

àëü-

ность

k=0

kjy

в силу критерия

2 Rm

. И пользуя

y j

ïðè k = 0,

любого n 2 N получаем

неравенство

jyn

y0j

. Переходлÿ

= g(y ) ïðè k !Следовательно,1 получаем y

= g(y )предел,т. . вектор y

ÿâëяется

( );(1)

y0j

Æ.

2 UÆ

(y0). Èç

(а) с едует

y0j

н прерывность ункции g(y). Переходя к

óсловияормуле yk+1

ðåшением системы уравнений y = g(y).

304

Покаж

единственность решения системы уравн ний

= g(y) â

UЖ(y0). Предположим

суще твует y0

2 UÆ

(y0) решения

этой системы, y0

6= .противное:Тогда силу условия (а) имеем jy

y0j =

= jg(y ) g(y0)j jy

y0j < jy y0j. Противоречие.

Ÿ 4.

Теорема о

ункции для

Пусть x 2 Rn , y 2 Rm неявнойокрестности точки (x ; y ) 2 Rn+m

системы уравнений

задана m-мерная векторункция

(x; y)

F1(x1; : : : ; xn; y1; : : : ; ym)

F (x; y) =

; : : : ; y

)

(x; y)

; : : : ; x

; y

будет

0 èç

решение y = y(x) системû F (x; y) =

стными винтем смы ле,

÷òî

èõ íóæ

âыразить черезназываюкò

ð ï ðà

метровалярныхx, îдяесоватьиз стемы уравнеентыий F (x; y) =

0. Ïðå

îë ãàåò-

Нася, что число

уравненавнений системы

÷èсло неизвестных совдпадàþò

. Ê ìïî

ектора y

ñ í è

векто у неизвестных: F (x; y) = A(x)y b(x). В этом

равны m.

котором векторунêöèÿ

ссмотрим сначала частный случай,

случае, при

åíÿÿ ïðавило Крамера,

известное

èç

алгеб

ðû,

получаем,

система F (x; y) =

0 имеет

венностиреøåíèå

мулинейнару ò достат чные

ñëîâ

сущ ствования

тогда

олько тогда, когда det A(x) 6= 0. Следующаялинейнойрема ор

нелинейнчтого

уравненèÿ. Пр дполагаетсåдинственнным нек

шенияточки

(x ; y )

"близк "веклиней ой по y ункции F (x; y ) +

+D F (x; y )(y y ), то вполне åñòествеорногоно,уравненчто д

èÿ

ществования и

решение

2 R

n+m

F (x; y) = 0. îòîÏ

единственности решения урàâíåíия F (x; y) = 0 следует потребовать

скольку ди еренцируемая ве тор- у кция F (x; yçâ) å малой окрест-

выполнение условия det Dy F (x0; y0) 6= .

;

F (x0; y )

Здесь Dy

F (x0; y0)

; y )

(x ;y )

матрица Якоби ункции F (x; y) в точк

(x ; y ) по перем нным y =

= (y

; : : : ; y

). В отличие от линейного

уравнения,

существование

305

решения нел нейного

уравнения гарантируются

лишьединственностьмалой окрестности точки (x

; y

Ò îp ì 1.

ñòü x

2 Rn , y

пусть m-мерная вектор-

2 Rm

ди еренци-

Тогда существуют числа >ди, Ж >еренцир0

ункция F (x; y)

Ïäóовлетворяет

словиям:

(1)3

F (x ; y ) =

det D F (x ; y ) =6

åìà U (x ; y ),

ункция F непрерывно

ПоскольДоку

Якоби D F (x; y) непрерывна

òî÷ê

(x ; y ),

ìíîжестве U (y )

x 2 U (x ) система уравн ний F (x ; y) =

руемая векторункция ' : U

(x ) ! U

) такая, что для любого

имеет единственное решение y

= '(x

Äîê ò ëüñò î

и единст енности

ешения.

азательство

åå

пр делитель

скалярной ункцией,

непрерывной

ý îé ò ÷êå. Отсюдаматрицаиз существованиясловия det D F (x ; y ) =6 0 следует суще-

òîñ вование числа "

2являетс(0; " ак

÷òî

(1)

8(x; y) 2 U

(x ; yîãî,) ! det D F (x; y) =6 0:

ассмотрим векторункцию

F (x

; y

)) 1 F (x; y):

h(x; y) = y (D

По теореме о ди еренцировании сложной ункции

Dy h(x; y) = E (Dy

F (x0; y0)) 1

F (x; y) =

= (D

F (x

; y

)) 1

F (x

;

) D

F (x; y));

где E единичная матрица размера m m. Из непрерывности мат

рицы Якоби D yF (x; y)

следует, что D yF (x; y)

! D yF (x0

; y0) ïðè

(x; y) ! (x

; y

). Поэтому kD

h(x; y)k ! 0 ïðè (x; y) ! (x

; y

). Ñëå-

довательно, существует

2 (0; "1

h(x; y)k

8(x; y) 2 U

; y

) ,! kD

За иксируем произвольное число Ж 2

. Тогда для любых

0; p

x 2 U

), y 2 U

) выполняются соотношения

306

j(x; y) (x

; y

)j = p

jx x

j2 + jy y

< pÆ2 + Æ2 "

;

ò. å. (x; y) 2 U"

(x0; y

)

. Поэтому

) ,! kD

h(x; y)k

2 U

8y 2 U

Фиксируя произвольный x 2 U

) и применяя теорему Ëагранжа о

y), получаем, ÷òî для любых

среднем к векторункции g(y) = h

y; y0 2 UЖ(y0) существует число 2

(0x;1):

1jy0 yj:

jh(x; y0) h(x; y)j kD

h(x; y + (y0

y))k jy0 yj

Èòàê,

yj:

(2)

8x 2 UÆ(x0)

,! jh(x; y0) h(x; y)j 1jy0

Это означает, что для любого ик

x 2 UЖ(x0) отобра

жение g(y) = h(xy;y) в

U (y )

сированногояжимающим

с коэ ициен-

òîì =

2 .

h(x; y

) y

= (D

F (

; y

)) 1 F

. Â ñèëó

Заметим, что

непрерывности ункции F (x; yяв)ëяетсточке x

имеем h(x; y ) y

! (D

F x

; y

)) 1

F (x

; y

) =

0 ïðè x ! x

. Поэтому существует

число 2 (0; Ж такое, что

= (1 )Æ:

(3)

За иксиру

8x 2 U (x0) ,! jh(x; y0) y0j <

пр извольн

точку x

2 U2(x ). Èç

(2)

(3)

следует

вып лнение

словий

(à)

принципа словийжимающих

отображений для

ункциè g(y

= h(x ; y).

эту теоре

ìó

получаем,

÷òî

äëÿ

ëþáîãî

2 U (x(á)

сист ма уравнений

y =

= g( ) на множестве U (y ) имеет единственно0 Примрешениеåíÿÿ y . Îáî

(D F (x ; y ))

F (x ; y), òî

ñèñò ìà

уравнений y = g(y) эквива-

; y) = y

значим это решение через '(x

). П скольку g(y) = h(x

ентна системе F (x ; y) =

0. Таким

образом,

мы получили, что для

ëюбого x

; y) = 0 на множестве

2 U (x0) система уравнений F

) имеет единственное решение y

= '(x

2. Доказательство непрерывности решения в точке x0.

307

Заметим, что чèñло Ж было выбрано как

число из

ïроизвольолуинтерíâогоала

Æ"2

2. Поэтому,; Ж , найдемповторяячислотепроизвольноеж2рассуждения(0; ункциюдля

÷èñë0; pà2

: U 1 (x0) ! UÆ1

(y0)

1акую, что для любого x

12 U 1

(x0) уравнение

8x 2 U

(x ) ,! '

единственное(x) = '(0x)

решение y = '1

(x ). Следовательно,

F (x ; y) =

имеет

2 (0; : 8x 2 U

) ,! '(x) 2 U

8Æ

2 (0; Æ 9

Æ1

Тем самым доказана

нкции ' в точке x .

3. Доказательство

ди еренцируемости реш ния в0точке x .

мы 1 Ÿ 8 главы 6 следует,непрерывностьчт

В силу ди еренцируем сти ункции F в точкå (x ; y ) èç ëåì-

F (

y) F (x ; y ) = D F (x ; y )

x x

+ o(j(x; y) (x ; y )j) =

0 0

y y0

D F (x ; y )(x x )+D F (x ; y )(y

y )+o(

jx x j

+ jy

)

ïðè x

! x , y

! y .

äñòà

полученную

ормулу

'(x)

'(x ). ВоспПользуемся равенствами F (x; '(x))

F (x ; '(x )) =

0. Â ñèëó

непрерывности неявн й ункции ' в точке

получаем,

÷òî '(x ! '(x )

ïðè x ! x .

Поэтому

0 = Dx

F (x0

; y0) (x x0) + Dy F (x0

; y0) ('(x) '(x0)) +

+ o(p

jx x

+ j'(x) '(x

)j2

)

ïðè

x ! x

Èç óñëîâèÿ det D

F (x

; y

) =6 0 следует существование обратной мат-

рицы к матрице Dy

F (x0; y0). Поэтому

F (x

; y

) (x x

) +

'(x) '(x

) = (D

F (x

; y

)) 1

+ o(pjx x0j2

+ j'(x) '(x0)j2)

ïðè

x ! x0:

Определив ìатрицу M = (D

F (x

; y

)) 1

F (x

; y

), получаем

'(x) '(x

) = M (x x

) +

jx x

+ j'(x) '(x

)j2

); x ! x

308

(4)

Покажем,

÷òî

ормуле

слагаемое

o(p

jx x j2

+ j'(x) '(

)

можно

çà

енить

íà

o jx

j .

Ýто и будет0

означать еренцируемость ункции ' в точке x .

Согласно опðеделенèю o-малого из ормулы

ïîëó÷àåì

;

(5)

'(x) '(x0) = M (x x0)

+ "(x) pjx x0j2 + j'(4)x) '(x0)j2

ãäå lim

"(x) = 0. Поэтому существует число > 0 такое, что j"(x)j <

1x!x0

< 2 8x 2 U (x0).

jx x j2

+ j 'j2

Обозначим ' = j' x) '(x )j. Так как

' kMk jx x0j+j"(x)j(5)jx x0j+ ') kMk jx x0j+ jx x0j + ';

jx x

j + j

'j, òî èç

)

следует, что для любого x 2 U

' (2kMk + 1) jx x

8x 2 U

а значит,

Следовательíî, ïðè x 2 U

(x0) ñïраведливо неравенство

pjx x

+ j 'j2

p1 + (2kMk + 1)2

jx x

Отсюда и из равенства (4) следует, что

j); x ! x

'(x) '(x

) = M (x x

) + o(jx x

В силу леммы 1 Ÿ 8 главы 6 это означает, что ункция ' ди ерен-

цируема в точке x0

и ее матрица Якоби равна

D '(x

F (x

; y

F (x

; y

) = M = D

)

1 D

4. Äîê

непрерывной ди еренцируемости реше-

à"çательство, то силу соотношения (1) имеем

íèÿ â

точки .

Òакокресакòдляностилюбого 2 U (x0) имеем '(x) 2 UЖ(y0), Ж

1det D F (x;'(

)) =6 0

8x 2 U (x ):

(6)

Êðîìå

òîãî,

äëÿ

2 U

)

равенство

любого

справедливо

F (x; '(x)) =

0, и найдется окрестность точки (x; '(x)), лежащая

309

âåàUмкопредыдущем"òî÷(xðîé0; y0)(окрес,x0ïîý; y0òøàãå)îìóностизаменитьутверóíêöòî÷êждениеточкойÿ(x;F 'непрерывно(останетсяx;))'.(Следx)), гдесправедливым,äèx 2 Uеренцируема(xдоказанное0). Аеслиименâ-

íî, óíêция ' ди еренцируема в любой точквательно,x 2 U (x

) è

F (x; '(x))

(7)

D '(x) = D

8x 2 U

Следовательно, ункция ' непрерывна

U (x ) и, используя

ца Якоби D '(x)

правой U

(x0),

.å.

ункция '

непрерывно

; y

олучаем

рывную ди еренцируемость ункции F

непрерывность в U (x )

части рав нства (7). Поэтому матри-

ди еренцируеманепрерывнаU (x ).

î ð òíîì îòî ð íèè

Ÿ 5.

Ò îð ì î

Л мм 1. Пусть ункция g : Y

! R

непрерывна на о

его прообраз Y0

= fy 2 Y

: g(y) 2 Gg

ткрытыкрытом

å Y

. Тогда для любого открытого множес

множествîì.

произвольная точка множества Y .

Док т льс о. Пусть y

Требуетс

доказа ь, что существует число Ж > 0являетсакое, что

U (y )

ку множество G

открытìíî,

9" > 0 : U (g(y )) G. Èç

ности определениянкц g(y)

открытого множества Y следу

÷òî

. Èç

жества Y

следует, что g(y

) 2 G. Посколь

существóет число Ж > 0точкак е, что U (y ) Y

и для любогонепрерывктора

y 2 U (y ) выполняется включение g(y) 2 U (g(y )). Следовательно,

Æ 0

означает

8y 2 U

) ,! g(y) 2 G, чттопо определению множества Y

UÆ(y0)

Y0.

Пусть для

векторункции

g(y) размерности

векторовОпp y л gни(y)

с впадают. Определ тель матрицы Якоби D g(y)

называется яко и нîм отображения g и

обозначается через J

(y):

(y) = det D g(y):

Опp л ни . Пусть заданы множества X, Y . Сужением

öèè

! Y

íà

множество X

X называется

ункция

: X0

(x) =

! Y , определяемая ормулой 8x 2 X0

310

= f(x).

Т оp м 1. (Об обратном

ении.) Пусть заданы откры

òîå ìíî

ество Y R

и непрерывно ди еренцируемое отображе-

íèå g : Y ! R

с неравным нулюотображяк

а ноотображество X0

8y 2 Yn,! Jgбианом:(y) =6 0

: X0

! Y0

. Причем обрат ое отображение gj

Ò ãäà

åíèå g : Y ! R

локально обратимо, т. е. для любой

точки y0

2 Y существуют открытые мно ества X0

в простран-

ñòâå Rn

àêèå, ÷òî y0

2 Y0

сужение отображения gj

: Y0 !

являетсявляетснепрерывно

ди еренцируемым отображением с нерав-

! X0

я взаимно однозначным отображением множества

íым нулю якобианом.

U (y )

U (x

) = X

= g(y ) и применим те

ìó î

Док т льст о. Обозначим x

существуют числа > 0, Ж > 0 и непрерывнобразом,ди еренциðó

неявной

и F (x; y) = g(y) x. Из непрерывнîé

еренцируемость ункциии F (x; y). Кроме того, F (x ; y ) = g(y ) x

= 0 è

вия теоремыемостинеявной у кции выполнеíû,

è,

ñ ã àñíî ýòîé

слоте

ункциè g(y) следует непрерывная

реме,я ункция ' : U (x ) ! U (y )

такая, что для

любого век ора

det D

F (x

; y

) = det D g(y

) = J

) =6 0. Òàê

âñå

x 2 U (x ) система урав ений

F (x; y) = 0 (эквивалентная сисòåìå

) имеет единственное реше-

óðàвнений g(y) = x) на множестве U

íèå y = '(x).

311

Определим

= U

) è Y

= fy 2 U

) : g(y) 2

2 X

g. Поскольку 8y 2 Y

,! g(y) 2 X

, то отображение g перево

. Отображение

дит элементы множес

элементы множества X

: Y0

! X0

ествая взаимно однозначным, поскольку для лю

существуåò åäèíñò

âåê îð y 2 Y

àêîé,

бого вектора x 2 X

g(y) = x. Этотявляектор y = '(x)

я единс венным решени

чтоакже, что

åíèå

' : X !

енныйтся

обратным

отобра

Посколькуотображмно ество Y являетсявляетспрообразом

ìíîæ -

ем системы уравнений F (x; y) = 0 относит льно y. Отсюда следует

ñòâà X

= U (x ) при непрерывном

отображении gоткрытого, в силу леммы

жению gj

: Y0

! X0, . . ' =

1 множество Y0

(x) = '(x)

В силу теоремыоткрытоеявной ункции ункция

епрерыв

ди еренцируема. Ди еренцируя левую

правую

сти системы уравнений g('(x)) = x

по теореме о ди еренцировча-

íèè ñëîæíîй ункции получаем 8x 2 X

,! D g('(x)) D '(x) = E

быть глобально обратимым,Следовательно,. . оно может

переводить различныне

единичная матрица.

det D '(x) =

det D g('(x))

= det E = 1. Поэтому 8x 2 X0

! det D '(x) =6 0.

Ç ì ÷ íè . Â ó

1 о ображение g может

точки множества Y всловияхдну тутеоремыж точку. Пусть, например,

= f(r; ') : r 2 (1; 3);2 ' 2 ( ; 3 )g;

g(r; ') =

Îò

sin

ражение g : Y

! R

непрерывно ди еренцируемо;

ßê

этого отбражения равна

D g(r; ') =

os '

r sinматрица,

ÿêобиан:

Jg(r; ') = r =6 0 8(r; ') 2 Y . Однако отображ

g : Y !

! R2 не является обратимым,

sin '

r os '

àê êàê g(2; 0) = g(2; 2 ) =

Т оp м 2. Образ

òîãî

жества Y R

ïðè

епрерыв-

ÿê

è ном яв яется открытым м множеством.

с неравениеым нулю

но д еренцируемом отображе ии g : Y

! R

Докт льст о. Через G обозначим образ множества Y при

отображении g:

G = g(Y ) = fg(y) : y 2 Y g:

312

доказать,Покажем,что что

жество9Æ > 0 G: открытоU (g ) . ПустьG:

2 G. Требуется

По определению множ

2 G

ледует

÷òî ñó

G èç ó

ет вектор y

теоремы 1

2 естваY акой, что g(y ) = g . В

открытые множества XсловияY т

g(Y ) = X

Напомним, что мн жество X Rn

называетсявëинследовательно,ествойн -с я нмноû

2 Y

= g(y ) 2 X

è â

ñèëó

открыто-

уществуютти множества X

существует число Ж > 0 т

îå,

÷òî

U (g ) X .

Поскольку Y0

è,

òî X0 = g(Y0) g(Y ) =àêèå,G

UЖ(Зg0)м чG.ни След. Условиеîвательно,от чия от нуля якобиа а отображения

òå ðåìå 2

. Например, н прерывно ди еренцируем

æество,

состоящее из

дной точки 0, которое не

ÿåòñ

ткрыт .

отором

существенноотрезк [t ; t векторункция x(t) со значенияминепрерывнаяX и

от бражение g(y) =

0 переводит любоå

открытое

ìíîæ

если для любых двух точек x

; x

2 X существует

íà

íåêò àÿ, ÷òî x(t1) = x1, x(t2) = x2.

векторункция f :

X ! R

непрерывна

Т оp м 3. Пусть

на линейно-

жестве X R

. Тогда множество значений

f(X) являе

связномлинеймно-связным.

2 X: f(x ) =

2 f(X). Ïî

определению

множества значений 9x ; x

Äîê ò ëüñò î.

ассмотрим произво ь ые

точки

f ; f

= f , f(x ) = f . Поскольку множество X

ëинейно-связно, то су

x(t ) = x , x(t ) = x . По теореме

непрерывности сложной унк-

! X

àêàÿ, ÷òî

щест ует непрерывная векторункция x : [t ; t

öèè

âåê

орункция

дной переменн й '(t) = f(x(t))

; f

íà

отрезк

; t

Следовательно,

произвольные

äâå

точки f

g непрерывнаf(X), . .

= f'(t) : t 2 [t

; t

2 f(X) можно соединить кривой

множество f(X) линейно-связно.

(При цип сохраненсвязноеобласти.)

Образ области

Поскольку открытое линейно-

множество называется

ластью, то из теорем 2, 3

олучаем

Y R

непрерывíî

ди еренцируемом отображении g : Y !

! RСл неравнымст и

нулю якобианом является областью.

313

Ïð ì òíûé óê ò ëü

АсимптотНьютона

112

íå

второго рода 9

Áèíîрмаль 152

ÿ 135, 165

223

ектор

- óíêö

опредсобственныйл

ленный193

произведение 136

имана 193

Âнутренность

множества

36,

числового множества

заимнооеднозначное соответ-

Èí èìóì

ствие 10

ункции 50

дограент15472

Касательная

рямая

лоскость 173

èца множества 156

ðò

альная 79

нев ртикальная 76

ðàíь множества 14

êð âîé 147

âåðõ

îìï êò 38,

òîнечная

лебание

ункции 196

íèæíÿÿ146

Êðèâ ÿ

140

Ди еренциал

çàìê óò

ра ик ункции 75, 173

гладк

146

172

à 77,

39,

иентированнаяост 141

141

первого

высш х порядков 86,

185

спрямляемая 143

Длина

кривой

143

èçíà 148

трапеция

перем нная 145

âîë

нейная

Замыканиå множества 37, 155

Êðèòåð

Интеграл

интегрируемости 197

Дарбу 195

компактности 38, 159

криволинейный

Êîøè

первого рода 217

314

192

	ряда 265ункционального
	263 ункциональной
	äëÿ	числовой						-
	последовательности35
	уществования предела
	ункции 46
					несобствен-
						235
	ñõíîãîдимостиинтегралаяда 249
равномернойда 265						ãî ðÿ
равномернойда 265					сх димости
	ункциональной						ïî-
	следовательности 260
	îò				ин грала
	ункции 232
сходимостинеотрицательнойяда -
	цательными членами
	244						38,
точки		прикосновения					38,
	158
частичного предела 30
Круг х димости 283
ê
ункции 50
÷			множества 16
атрсимумцасловогоЯк				180
елкость разáèåíèÿ 193

Мноинимумункции 50 æ÷èестволового множества 17 çамкнутноеначений ункции37, 155 10

равномлинейнонесчетноегпределткрытаничîåí-связное36,ия40 15414,ункции168158 10

счетноеC 18 39ùíîå 39

RZ 1

QN 3

Непрерывностьточк 51, 56,ункции137, 165 Неравнавномернаямножестве16956, 167

Бернунстволли 27 КошитреугольникаБуняковского22, 134133

158 262 Окресту кциистьнечности58

ÍîÎгрблмальниченность168кривой 15849 множествапоследравномернаявательности14, 21,

åðâîáатуральнаяñêêò 135 19 проколотчислармальная18 42, 161

à àìåòí бр изациязная кривой146 142 1152

315 Ïëîñêсоприксть асающаяся 149

Ïî	спрямляющая158			152					2129,
	бе конечно ì ëàÿ 22
	ложенных отрезков 28
		ягивающбольшаяяс 29
дпоследовательностьозрастающая 26
	åéíå 43							ìèíè-
	àê							ìèíè-
	ìонотонн		27			57
	возрастающая 26
	íåубывающ			6		158
	хсимизирующая,
	ðàñõ		1,2157
	ограниченнаяубываюдящаяс 26						34, 160
		äàìå					34, 160
	óíêöèî				â	260
	эквивален18				â		смысле
		х димости рядов 245
Ïðеделави Л питальная101, 103
	числовая					òè âåùå-
		венных чи						18, 20
	верхний, нижний 34
	÷àñò ÷íûé 30								êîì-
		плексных чисел 280
	ункции
	последовательностидносторонний 49
		вторный 163
		åéíå	3,
		Êîøè 42, 161

ïî множествунаправлению48,162164

			ëåâà 49
	ПризнакАбеляñправа240,49269								67, 282
					ññà				67, 282
	интегральныйВейерштÄирихл 237, 267245
		аламбе				247
	Êîøè 248
		обобщенный 279
	Лейбница 269							232, 234			èí
			тегра					232, 234
	сравн ния
		äëÿ чиснесобственныхëîâ ð äîâ 245
		обобщенный							äëÿ	óíê-
			циональных							рядов
			266
	Принцип				17
	Àð				17
	Банаххимедаж мающих отоб-
	âëîализации						227, 244
	дносторонняя								78
			ðàæ			é 304
			женных				трезков 29
	вектор- у кции 137
	сохра ения						бласти 314
	Производная			75		75
	ïî		вектору			75
	ïî		направлению 175
	смешанная					183
	частная 176, 183
	Пространство
	евклид во 133								133
	нормированноелинейн 131								133
	R	n	132
	адиус
316	кривизны 148
316

283

последовательности

êîì

вномернаянепрерывностьх димость 60,169264

264плексных чиселго

280ðÿäà

азбиение

141

292

й последо-

яд Маклоре

ункциональнонер тельности

260

Òåé

ðà 289

равномерная260

ункциональный 264

Теорема

степенн

282

поточечная 260

число ой

243

окруж-

Абеля 284

îответствие 10

31, 158

прикасающаяся

Вейершт асса

Ñóììà

ность 149

Больцан Коши

проме-

еделе

191

жутчастичномзначении

Дарбуяда 243

Вейерштрасса

имана 198

последо

ерпозиция

ìóìà

óïðå óì

максимума

существмонотоннойвании ми

операторов 187

вательн сти 27

ункци 50

непрерывной уíê-

Сходимо ть

Кантора

числового множества 15

öèè 57

отрезках

вещественного

числового

вложенных

абсрядалютная243

249

непре-

êомплек

ðÿäà 281

Êîøè î среднем

óñë âíàÿ 249

ðûâ îñòè

170

несобственного

интеграла

Лагранжа мернойсреднем 90

223

236

äëÿ

векторункции

àáñ

139, 304

лютнаявн 237

îëëÿ 89

последовательно òè âåùå-

Ч бышева 1 0

ðîâ

157

âåê

имана 255

Ô ðìà 88

ственных

÷èñåë 21

Точка

317

внутренняя 36, 154

изолгранаксимумаров нная15687 47,

бесконозрастчноющая289ди50 еренци-

ìинимумчная 87

âыпуклемая108

особая

кривой 146

гиперболическая 71

для интеграла 226

Дирихле 48

едельная 47, 164

172, 180

ерегиба 110

ди еренцируемая 76,

ïðикосновения 37, 154

n ðàç 86, 184

193

разрыва

интегриру

ïåðâîãî ðîäà 52

âòîð

кусочно-непрерывная 205

Лагранжприращений90

монотоннаяосительно 73

самопересечения

кривой

åìàÿ

экстремума 87

прерывно

ди еренци-

140

òî÷ê 51, 56, 137, 165

Ôормула

åìàÿ10

странимого 52

множестве 56, 167

Френе 152

ðó

144

Трехгранниконечных

ðà

ченная 58

акториал 84

283

íåÿâ

83, 301

ðåãóлярная

290

КошиНьют наАдамараЛейбница 209

ýê èâàë

Лейбница 85

ñëîæíàÿ 54

Ìàêë ðåíà 97

убывающая

сходимости

Тейлора 92

интегральной

ðìå

интсмыслегра ов 233

лая часть чиснтнаяë

296

Öåнтр кривизны

с остаточным членом в

д йствительное 11

Лагранжа 95,

Число

îðìå

e 28

Пеано 93, 140,

êомплек

189

н тураль

149

Эйлера 119

малая относи-

àщественноециональ

бесконеч

Экстремум ункции 87

Функция10

целое 13

òåëüíî 73

318

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1616

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.201581.11 Кб9задачи.pdf
#
03.06.2015103.27 Кб43Занимательная биология.pdf
#
01.05.2025249.86 Кб2Занимательная грамматика.doc
#
20.09.2019218.8 Кб2записка-пояснительная Иноземцев.docx
#
03.06.20151.17 Mб53Золотое сечение.pdf
#
03.06.20152.95 Mб32Иванов Матан.pdf
#
03.06.20152.08 Mб276Иванова. Построение графиков функции.pdf
#
01.07.2025299.34 Кб0Игнатьев ИВ 2.docx
#
03.06.201580.38 Кб15Из диалогов Платона - Диалектика Сократа.doc
#
03.06.20151.9 Mб10Изоспин.pdf
#
03.06.2015756.54 Кб26Инерциальная навигация.pdf