Иванов Матан

+8pj2"f2).n+Следовательно,ПустьNp(x!) fn(x+)jp >2"8+xnÿ2" условиеXN",!,, òî.jf.(6)n8выполняетсx.)2 Xfn+!p(x)jjусловиеfn+jfpn(x(x)) f.f((xx))jj +

8x 2 X

8" > 0 9N 2 N : 8n N 8p 2Следовательно,N ! jf (x) f

(6)x)j ";

. å.

для любого ик

рованного x 2 X выполняется условие Ко

øè

х димости чи

вой последовательности

ff (x)g. Â

ñè ó êðè

òåльность ffвыполня(x)gчисловыхя.åдитстс

Обозначим f(x) =

lim

f (x).

n

n+p

Перепишем условие (6)

âèäå

n!1

n

n

n

p (x)j ".

и рассмотрим от

условие 8p 2 N ,! jf (x) fn

8" > 0 9N 2 N : 8n N 8x 2 X 8p 2 N ,!

n

f

( )j "

предельном

дельнов неравенствах

n+p

jf (x) f(x)j ". Èòàê, èç

Поскольку

lim jfn(x) fn+p(x)j = jfn

(x) f(x)j, то по теореме о

p!1

f(x) ïðè n ! 1.

n

f(x)j ", тперех. . f (x)

(x)

условия (6) сл дует, что 8" > 0 9N 2 N : 8n N 8x 2 X ,! jf

Ÿ 2.

n

!

ñ

димость

X

Опp л иавномерная. Пусть множестве X задана

зывается р номункциональныхрно схо ящимся

множестве X, если последов

рядов

дункциональнаятс равномер

последовательего частичных сумм Sn(x) =

P uk(x) ñõ

1

k=1

. Функци нальный ряд

P

uk(x)

тельносна

îñòü fuk(x)gk=1

жестве X к сумме S(x) этого ряда. Аналîгично

определя

n

åòñÿ ìíî÷ ÷í ÿ

ðÿäà.

k=1

èç

авноме ной

дует пот чечная ссходимостьимость

Поск льку из равномерной

х димости последовательности сле-

ñõîдимости

ряда следует по

последовательности,очечнаях димость

ðÿäà.

ðÿäà

P Îïp ë íè .

Îñò òêîì

поточечно

схэтогодящегося

k=1 uk(x) называется

263

1

(x):

rn(x) = S(x) Sn(x) = k=Xn+1 uk

Непосредственно из

я равномерной сходимости ряда и

критерия равномерной

определенсх димостè

последователь

íа множестве X тогдаункциональныйтольк тогда,ункциональнойогда

следует

ñõ

ð

.) Поточеч-

Т оp м 1. (Критерий

равномернойяд

остих дящийся

uk(димостиx) х дитсядаравномерно

k=1

n

!

P

r

(x)

0

ïðè

n ! 1;

X

ò. å.

ïðè n ! 1:

sup jrn(x)j ! 0

Ò îp ì 2.

k=1

(x) ñõ äèòñ

равномер-

x2XÊîøè.) ÿä P uk

но на множестве(КритерийX тогда только тогда,

когда выпîлняется условие

Коши равномерной сходимости ряда

n+p

8" > 0 9N 2 N : 8n N 8p 2 N 8x 2 X ,!

X uk(x) ": (1)

Äîê ò ëü

о состоит

k=n+1

применении критерия Коши равно

äà.) Åñëè ðÿä

P(Необu последовательностиx) х дитс равномерно на множестве X,

ֈ

мерной

õîä ìîñòè

ê

n Ñë !ñò è

.

х димое условие равномернойпоследовательностих димости ря-

стичных

óìì ðÿäà.

u (x)

k=1

k

ñõòî-

X

0 ïðè n ! 1.

Êîøè èç

Äîê ò ëüñò î. Â ñèëó

димости ряда

ет условие

критерияКоши вномернойравномернойсхдимостиряда

(1). Полагая в

следусловии (1) p = 1,

получаем

(x)j ";

8" > 0 9N 2 N : 8n N 8x 2 X ,! ju

n+1

264

8" > 0 9N 2 N : 8n N 8p 2 N 8x 2 X ,!

n+p

":

X vk(x)

n+p

n+p

k=n+1

Используя неравенство

P

P

k=n+1 uk(x) k=n+1 vk(x) , имеем

8" > 0 9N 2 N : 8n N 8p 2 N 8x 2 X ,!

n+p

X uk(x) ":

Еще раз применяя

Êîøè,

k=n+1

доказываемое

ждение.

Сл ст и . Есликритерийяд

k

P

k=1

P

стве X, то k=1 uk(x) сходится равномерно на множестве X.

N

8x 2

Ò îp ì 4.

.) Åñëè 8k 2

2 X

ju (x)j a

числовойВейерштрассаяд P a ходится, то ряд

P u (x)

ходитс

(Признакмнож

X.

k=1

k

k

k=1

k

k

Док равномернот льст состоит ествеприменении обобщенного признак

ñравнения

äëÿ v

x) = a .

Дирихле.) Пусть на множестве X заданы

äâå

Т оp м 5. k(Признакk

последовательности fa

k

(x)g1

1

è fb

k

(x)g1 ,

удовлетворяющиеункциональные

âèÿì:

k

k=1

1)

последовательн

ñòü

ñóìì An(x) = k=1 ak

(x) ðÿäà

n

P

P ak(x) равномерно îграничена,частичных. е. существует число C, не зави-

k=1

8x 2 X ,! jA (x)j C;

сящее от x и от n:8n 2 N

b

k

(x)

!

0 ïðè k !

;

n

2)3 8x 2 X X 8k 2 N ,! b

k+1

(x) b

k

(x).

266

ДокТогда рядтnëüñòkP=1 ak(оx.) bВыполнимk(x) равномерноn преобразованиесх дится наАбеля:множестве X.

Xak

(x) bk(x) =

X(Ak(x) Ak 1(x))bk(x)

k=1

k=1

A0(x)=0

n

n 1

=

X

A

k

(x) b

k

(x)

X

A

k

(x) b

k+1

(x)

=

k=1

n k=0

(2)

= An(x) bn(x) + k=1 Ak(x)(bk(x) bk+1(x)):

n

X

k

k+1

1

n+1

!

1

÷òî

P(b

(x) b

(x) b

(x)

(x) ïðè

n !Заметим,1 . .

(x)) = b

b

ÿä

P(bk(x) bk+1(x))

равномерно сходится,

ëåäî

k=11

X

P C (bk(x) bk+1(x)). Ïîñêîëü

вательно, равномерноk=1 сход тся ряд

k=1

C (b (x) b (x)), и в силу обобщенного признака сравнения по-

êó jA

k

(x)j C, b

k

(x) b

k+1

(x) 0, òî jA

k

(x) (b

k

(x) b

k+1

(x))j

k+1

P

k

(x) (bk(x) bk+1(x)), ò. å.

л чаем равномерную сходимость ряда k=1 Ak

существует ункция S(x):

n

(x) (b

(x) b

(x))

S(x)

ïðè

n ! 1:

(3)

k=1

XA

k

k

k+1

!

X

х димости

-

В силу леммы 1 Ÿ 1 из равноме ной

ти fb (x)g к 0 и равномерной огðаниченности

последовательности! 1. Отсюда из

fA (x)g следует

÷òî A (x) b (x)

X

0 ïðè n

соотношений

(2),

следует, что

n

n

n

n

!

ïðè

n ! 1;

n

a(3)x) b (x)

S(x)

X

k

k

!

=1

k=1

k

k

X

267

ò. å. ðÿä

(x) b

P a

(x) равномерно сходится на множестве X.

â íåìÇ ÷ 1.

3)Останется8xзаменить2 X 9Nли:

справедливым признак Дирихле,;

åñëè

áà) условием 9N :

8x 2 X 8k N ,! b

k+1

(x) b

(x) ?

Ò

6.

Лейбница.)

k

(x)

Пусть 8k 2 N 8x 2 X ,!

,! b

k+1

b

k

(x)(Признакb x)

!

0 при k ! 1. Тогда ряд Лейбни-

k

P

k

X

öà

k=1

(x) равномерно сходится.

îp( 1)ìkb

n

Äîê

P

. Обозначим ak(x) = ( 1)k. Тогда k=1 ak(x) =

n

P

k

=

(

1) т льст1. В осилу признака Дирихле ряд Лейбница сходится.

k=1

(Признак Абеля.) Пу

ь на множестве X заданы

äâå

Ò îp ì 7.

ïîñë

ñòè fak(x)gk=1 è fbk(x)gk=1,

у ункциональныеяющие словиям:

1

1

k=1

P

1)2 последовательность fb (x)g равномерно ограничена, т. е.

(4)

3) 8x 2 X

9C 2 R :

8k 2kN 8x 2 X ,! jb

(x)j C;

8k 2 N ,! bk+1(x) bk(x).

k

îê

k=1

k

.

k

(x) равномерно сходится на множестве X.

Тогда ряд

P a

(x) b

êàê R

(x)ò ëüñòR (x)î= a

(x),

òî

1

Äля любых n 2 N, x 2 X

P

пределим Rn(x) = k=n+1 ak(x). Так

n 1

n+p

n

n

n+p

(Rk 1

(x) Rk(x))bk(x) =

X ak(x)bk(x) =

X

k=n+1

n+p

R

k=n+1

n+p

R

(x)b

(x) =

=

X

k 1

(x)b

k

(x)

X

k

k

k=n+1

268 k=n+1

=

n+p 1

Rk(x)bk+1(x)

n+p

X

X R ( bk(x) =

k=n

(x)b

(x) R

k=n+1

(x)+

= R

n

n+1

n

p

(x)b

n+p+1