Иванов Матан

+1

dx

сх дитсяПример.

1. Найти все значения , при которыхb

интеграл

R1

b

1

1

1

1

1 .

ешение. При =6 1 имååì

R

=

=

1

1

оэтому

1 x

1

1 b

lim

R

=

1 dx

> .

валек [a; b0

[a; b)

Í ñî ñò нным инт р лосмыслеR f(x) dx называется

b!+1

b

dx

+1

ïðè

< 1

1

Ïри = 1 получаем

b

dx

= ln b ! +1

(b ! +1). Ñëå îâàòåëüíî,

R

ïðè > 1

R

dx

õ äèòñÿ, à ïðè 1 ðàñõ

äèòñÿ.

1

+1

[a; b) интегралтегрирПуåма в собственномопределена любом отрез-

Опpеделе ие.

1

ь ункция f(x)

b

на п луинтер

0

lim

b

f(x) dx.

a

R

b0!b 0

a

b

f(x) dx äëÿ

Аналогично определяется

ый интеграл

R

ункции f(x), интегрируемойнесобственíном смысле на любом от-

резке [a0; b (a; b :Zb f(x) dx =

a0

lim

Zb

f(x) dx:

a

a

!a+0

a0

b

f(

) dx, òî

Лемма 1. Если существует собственный интеграл

R

b

0

b

a

ин егралы

lim

f(x) dx

lim

f(x) dx ñóùå

R

f

R

-

Доказа ельство.

Поскольку

ункция

несобственныествуютма венном

смысле на

[a; b ,

îíà

ограничена,нтегриру.å.

и равны

b0

!b 0

a

a0

!a+0

a

0

обственному интегралу.

Поэтому

R

f(x) dx

9M 2 R : 8x 2 [a; b ,!

jf(x)j

M.

M jb b0j ! 0 ïðè b0

! b 0.

223

b

b0

Следовательно,

b0!limb 0

b

0

b

b

f(x) dx =

R f(x) dx =

Ra f(x) dx b0!limb 0

bR0

b

lim

b

b

= R f(x) dx.

0

R

f(x) dx = R f(x) dx.

0

a

a !a+0

a

[a; b0

a

ункция f(x) инте-

отрезк [a; b Аналогично,любом отрезк

[a; b)

Ò

1.

Пусть ункция f(x)

определена

R

ограничена на

грируеоpема. Тогда существует

собствен

ый интеграл

f(x) dx.

b

Доказательство. Поскольку уíкция f огранè÷åíà íà [a; b , òî

a

9M 2 R : 8x 2 [a; b ,! jf(x)j M. Çà èêñ ðóåì ïðîизвольное чис

[a; b , составленное из

òрезкоче

разбиения

T, попавших на отрезок [a; b

ло " > 0 и определим b

0

2 [a; b) так, чтобы b b

0

<

"

ðàç-

8M .

биениюточки b0

:

T0

= fx0

; x1

; : : : ; xj 1

; b0g, где j определеноЛюбомуиз словия

0

T

= fx

gI

î

а [a; b сопостав м разбиение

T

0

трезка

x

.

i

i=0

0

j 1

< b0 x

j

азобьем разность сумм Даpбу (f; T) на два слагаемых:

I

ãäå

X

+ [xj 1;b ;

(f; T) = i=1(xi xi 1)!i(f) = [a;xj 1

[a;xj 1

j

);

I

= i=1(xi xi 1)!i

[xj 1;b = i=j (xi xi 1)!i(f):

X

X

÷òî [a;xj 1

(f; T0). Кроме того, поскольку !i(f)

Заметим,2M то [xj 1;b

2M (b xj 1) =

(b b0

+ b0 xj 1) 2M (b

b0

+ `(T)) < 2M

"

+ `(T)) =

"

+ 2M

`(T).

Следовательно,

8M

4

"

+ 2M `0(T):

(f; T) (f; T0) +

4

Поскольку ункöèя f интегрируема на [a; b , то в силу критерия

интегрируемости

> 0 8T

: `(T0) Æ0

"

:

T отрезк

9Æ0

! (f; T0) 4

[a; b òàê

÷òî `(T) ïолучаем,Ж выполняетсдля`(T ) `(T) Ж

Определив Ж = minfЖ

0

"

g,

÷òî

любого разбиения

8M

Æ0

" . Поэтому

0

, следовательнîãî, (f; T0)

4

224

(f; T)

"

+ " + 2M `(T)

" + 2M

"

= "

+ "

< ":

4

4

2

8M

2

4

Èòàê, 8" > 0 9Æ > 0 8T :

`(T) Æ ,!

(f; T) b". Отсюда

по критерию интегриðуемости полу÷аем существованиå

R

f(x) dx â

a

собственном смысле.

ограничен-

З мечание. Аналогично можно доказаòü,

íàÿ

(a; b óíêция интегрируема на любом

трезкесли[a ; b (a; b ,

то этна ункция интегрируема на [a; b . В

частности,

ункция

f(x

=

1

2

; 1 ;

sin(1=x)

0

sin x ;

смысле)

0;

x = (0

ограничена

íà

отрезке

[a; b x

íà [0; 1..

Если ункция f

интегрируема

(â

собственном

также из

Следствиеинтег ала

по отрезкисключениемна

ê

ïðåð

вна на э ом отрезк

çà

[a; b .

числа то

÷ ê,

ункц я f интегрируема

íà

сл дует из свойства

т оремыивности1

нтегрируемости

онечногозк ункции. За-

аддим т м, что при этом ункция непрерывнойf некотинтегрирования,разрыварыхЭто чках

может

íå

иметь предела, в значит, не б

òü

кусочно-непрерывной.

Опpеделение. Точка a

называетс

осо ой точкой несобствен

ного интеграла

b

a è

f

еограни

R f( ) dx, åñ

чена в любой окрестности точки a.

Äëÿ

не обственных

интегралов

R

f(x) dx,

R

f(x) dx символы 1

всегда

ñчитаютсункцияособыми точ-

+1

b

1

b

êàìè.

225

Следствиеb. Из леммы 1 и теоремы 1 следует, что несобствен

интеграл Ra f(x) dx без особых точек всегда

ходится. Более то

b

íåñîá-

íûé íåñîбственному. Поэтому не имеет смысла рассматриватьa

ãî,

ýò

случае существует собственный интеграл R

f(x) dx, ðàâ

ственные

интегралы без особых точек.

1

Пример 2. Найти все значения , при которых интеграл

R

сходится.

1

0

dx

ешение. При 0

огра ичена на (0; 1), и, сëåäî

íûé

интегðàë

имеет особенункцостьèÿâ òîсобчк å x = 0, поэтому

R

=

ватель о, д нный интеграл

x

ííîñòåé. Ïðè > 0 äàí-

е имеет

1

dx

0

=

b!+0

1

dx

.

1

b

lim

R

1

1

1

1

1

1

.

Ïðè =6 1, b 2 (0; 1) èìååì

=

=

R

dx

b

b

b

1 x

1

1

1

1

ïðè

< 1

b!+0 b

оэтому

lim

R

=

+

>

.

Ïðè = 1

1

dx

= ln b ! +1

(b ! +0).

ïðè

b

R

R

íî,

< 1 интеграл

сходится,

при 1 расхСледовательèòñÿ.

Лемма 2.

1

dx

2 R è

(Ïðинцип локализации.) Пусть заданы a; a1

0

< b. Пусть на промежутк

[a; b) определе-

b 2 R Sf+1g, a < a

1

собственном смысле на любом

на ункция f(x), интегрируемая

R

f(x) dx

ходятся или расходятсобственныея дновременно,тегралыв случае их схо-

b

отрезке [a; b0

[a; b). Тогда не

è

R

f(x) dx è

a

b

димости справедлива ормула

a1

Z

b

f(x) dx =

a1

f(x) dx + Z

b

f(x) dx:

(1)

Z

a

a

226

a1

0

Док т льст о. Поскольку

ïðè

b

0

2

[a; b)

имеет

место

b

1

f

b

0

f(

) dx, то конечные0

b

Ra

f(x) dx =0 Ra

) dx + aR1

пределы Ra f(x) dx =

b

(1).

b

b

ëèâà îðìóëà

R f(x)dx =

lim

R f(x) dx существуют или

=

b0

lim

R

f(x

dx è

b0

!b 0

a

a1

!b 0

a1

не существ ют одновременно,

в случае их

том, чтосправедходи

З м ч ни . Принцип

состоит

логичное утверждение

справедливоализациидля несобссуществованиявенного нтеграла

несобстве ного

нтеграл

опреде

åòñ

поведением подынте

грал ной ункции лишь

окрестности

особой точки. В лемме 2

ормулирован

принцип

локонце

а интегрировегрирования.

мостьособенностью на

левом

. Àíà-

правом

îíöå

До сих пор мы ра смат ивалипромежуткнесобс венные интегралы с одной

. Дадим

теперь

определение несобстве ного

особенностьюконечным числом

особенностей.

интеграла

Опp л ни . Пусть на

онечном или беск

ственном смысле на любом

отрезкисключением[ ; (a; bонечном), содерпромежуткащем то-

(a; b) задана ункция f(x)

çà

точек x

(i = 0; :::; I):

= 1; :::; I). Будем гîворить,

÷òî

и теграл

R

f(x) dx

a = x

< x

< ::: < x

i

0

1

I

= b. Пусть ункция f интегрируема в соб

÷åê x

2 (x

; x )

(i =

. Выберем пр извол ным образом точки

i

i 1

i