Coll-FunkAn(24-11-14) (1)

точка x0 есть точка непрерывности ступенчатых функций

fΠ−m è fΠ+m (заметим, что множество всех

иных имеет меру нуль), причем f−m (x)

↑

f(x) è f+m

↓

f(x)

для почти всех x, то эта точка x

0

будет

Π

Π

также точкой непрерывности функции f. Обратно, если f почти всюду непрерывна, то f−m (x

)

↑

f(x )

+

Π

0

0

è fΠm (x0) ↓ f(x0) в каждой точке x0

непрерывности функции f и потому S−(f) = S+(f).

Задача 1.4 Проверить непосредственно, что функция

R(x) =

{0,

иначе

x = m/n

−

(1.2)

1/n,

åñëè

не сократимая дробь,

f = f− = f+

почти всюду в Ω ,

(1.3)

ãäå

f− =

lim f−n ï.â.,

f+ = lim f+n (x) ï.â. ïðè

lim

∆n

= 0, точнее: f−n

↑

f−

ï.â. è f+n

↓

f+ ï.â.

n→∞

Π

n→∞

Π

n→∞

Π

Π

Π

заменяется на следующее, более слабое:

f = f1 − f2

почти всюду в Ω ,

(1.4)

ãäå

f1 è

f2 являются пределами почти всюду неубывающих последовательностей ступенчатых функций,

интегралы которых ограничены, т.е.

fn1

↑ f1

ï.â.,

fn2

↑ f2

ï.â. è

fn1 ≤ const,

fn2 ≤ const, ÷òî

∫

∫

∫

∫

∫

также гарантирует существование

f

1

= nlim

1

è

f2 = lim

f2, а потому и числа

f(x) dx =

fn

n

→∞

∫n

∫

1

2

→∞

Ω

называемого интегралом Лебега функции

∫ f (x) dx

− ∫ f (x) dx,

f L(Ω).

Задача 1.5 1). Доказать, что max{f, 0}

è min{−f, 0}, а потому и

|f| = max{f, 0} − min{f, 0} èí-

тегрируемы по Лебегу, если

f L(Ω).

|f| L(Ω).

2). Доказать, что

f интегрируема по

ï.â. è

ступенчатой. При этом

Лебегу, если

max f1

, 0

const .

max fn1, 0 max f1, 0

ï.â. è ∫

Указание. Если ступенчатая функция

fn1

↑ f1

}

∫

fn1 ≤ const, то функция max{fn1, 0} является

{

} ↑

{

{

} ≤

Теорема 1.1 (Беппо Леви) Пусть fN L = L(Ω) è fN

↑ f п.в. Если существует константа

C ,

такая, что

∫

fN ≤ C

для любого N , òî

f L(Ω)

N→∞

∫ fN = ∫

f

è

lim

.

Лемма 1.1 (П. Фату) Пусть

gn L

,

gn ≥ 0 è gn

→ g

ï.â. Åñëè

∫ gn ≤ C < ∞

для любого

n

, òî

g

L è 0

≤

∫

g

≤

C .

fk(x) = x−1/2 ïðè x (1/k, 1)

è

fk(x) = 0 ïðè x (0, 1/k].

проверить, прежде всего

∫

f L(0, 1)∫

f(x) = x−

Указание. Обозначая через

(R)

интеграл в смысле Римана, а через

(L)

интеграл в смысле Лебега,

(используя теорему Б.Леви), что

, åñëè

1/2 . Ïðè ýòîì,

klim→∞ (L) |f(x) − fk(x)| dx = 0. Предположив далее, что существует функция

g , интегрируемая по

÷è 1.7), ÷òî

k→∞ ∫(R) |

−

|

Риману, для которой

lim

g(x)

fk(x) dx = 0,

показать (воспользовавшись результатом зада-

∫

lim

∫(R) |

g(x)

lim

|g(x) − fk(x)| dx

g = f .

k→∞

− fk(x)| dx = k→∞ ∫(L)

φ = ∫ |φ| , является

банаховым.

Пространство

L , снабженное нормой

Теорема 1.2 (Ф. Рисс и Р. Фишер)

тельстве теоремы Рисса Фишера.

Пусть φn − φm → 0

ïðè

n , m → ∞ . Тогда существует возрастающая последовательность

N−1

Последовательность

∫

. Согласно

индексов {nk}k≥1 , такая, что

φn − φnk =

|φn − φnk | ≤ 2−k

äëÿ âñåõ

n > nk . Положим fN (x) =

k∑

{fN }N∞=2

∞

∫

fN ≤ 1

|φnk+1 (x) − φnk (x)|.

является возрастающей и

=1

∞

∑

L(Ω). Следовательно, ряд

|φnk+1 (x) − φnk (x)|

теореме Б.Леви,

f =

Nlim fN

сходится почти

→∞

(

)

k=1

∑

всюду. Тем самым, ряд

k=1 φnk+1 (x) − φnk (x)

тоже сходится почти всюду. Иными словами, для

почти всех x существует1

lim φnm (x) . Обозначим этот предел через

φ(x). Покажем, что φ L

ïðè nm →∞N , nk

N . Полагая gnm (x) =

φnm (x)

φnk (x) и опираясь на∫ лемму Фату, перейдем

m

→∞

è ÷òî nlim φn −φ = 0 . Имеем: для любого

ε > 0 существует N ≥ 1 , ÷òî

|φnm (x) −φnk (x)| dx ≤ ε

≥

≥

|

−

|

φ − φn → 0 ïðè n → ∞ ,

φ − φnk L. Тем самым, φ L , à φ − φnk

→ 0 ïðè∫k → ∞ . Отсюда|

к пределу при nm

→ ∞ . Получим: |φ − φnk

|

L è

|φ(x) −

φnk (x) dx ≤

ε . Согласно задаче 1.5,

è ∫

lim

∫

fn

.

f = n→∞

предельных переходов, т.к. (в силу теоремы Б.Леви) если

φn

(g)

è

φn

↑

φ+

èëè

φn

↓

φ−, òî

предельные функции φ+ è φ−

принадлежат множеству

L

L(g). Замечая, что при k → ∞

+ def

L(g) max{fn, fn+1, . . . , fn+k} ↑ Fn

= sup{fn, fn+1, . . .}

(1.5)

è

def

L(g) min{fn, fn+1, . . . , fn+k} ↓ Fn−

= inf{fn, fn+1, . . .} ,

(1.6)

получаем: Fn± L(g). ßñíî, ÷òî

Fn+ ↓,

à Fn− ↑ . Поэтому для почти всех x Ω,

а именно, для тех

x Ω,

ãäå

fn(x) → f(x),

имеем:

F +(x) = sup

{

f

n

(x), f

n+1

(x), . . .

} ↓

f(x)

è F −(x) = inf

{

f (x), f

(x), . . .

} ↑

f(x) .

n

n

n

n+1

Вспоминая, что L(g)

замкнуто относительно монотонных переходов, получаем, что

f L(g) L.

À òàê êàê

F −(x)

≤

fn(x)

≤

F

+(x)

для почти всех x

Ω, òî

F −

≤

fn

≤

F +

и потому

→∞

∫

n

→ ∫

n

→ ∫

∫

n

∫

∫

n

∫

∫

nlim fn =

f, èáî

Fn−

f

è

Fn+

f.

def

öèÿ 1{f≤a} множества {f ≤ a} = {x Ω | f(x) ≤ a } интегрируема по Лебегу.

Задача 1.13 Пусть f L(Ω). Показать, что характеристические функции

1{a<f≤b}, 1{f>b}, 1{f=c}

множеств

def

} ,

def

def

{a < f ≤ b} = {x Ω | a < f(x) ≤ b

{f > b} = {x Ω | f(x) > b } , {f = c} = {x Ω | f(x) = c }

интегрируемы по Лебегу. Указание.

1{a<f≤b} = 1{f≤b} − 1{f≤a} .

Определение 1.1 Если характеристическая функция 1A множества A Ω интегрируема, то мно-

жество A называется измеримым, а его мерой (Лебега) называется число

µ(A) = ∫ 1A.

∫

Задача 1.14 Вычислить интеграл

−∞e−x2 dx,

учитывая, что его квадрат равен

∫∫

−∞

2

2

(1.7)

→

k=2n−1 k

k

2

2

k + 1

A2 =

R

e−(x +y ) dx

=

lim

∑

µ

e−(x +y )

<

.

σn=

1

0

2n

{2n

≤

2n

}

n

2

2

k=0

Теорема 1.4 (Фубини) 3 Пусть Ωx

открытое множество в Rk , à Ωy

открытое множество

â Rm . Пусть f : Ω (x, y) 7→f(x, y) интегрируемая функция в прямом произведении

Ω = Ωx × Ωy .

Тогда

x Ωx

y Ωy ) функция

f(·, y) : Ωx

x 7→f(x, y) (ñîîò-

1)

для почти всех

(соответственно

ветственно

f(x, ·) : Ωy

y 7→f(x, y) ) является элементом пространства

L(Ωx)

(соответственно

L(Ωy) );

∫

∫

2)

(Ωx f(x, ·) dx) L(Ωy) , à

(Ωy f(·, y) dy) L(Ωx) ;

∫

∫

∫

∫

∫

3)

Ω f(x, y) dx dy = Ωy [Ωx f(x, y) dx]dy = Ωx

[Ωy f(x, y) dy]dx .

Задача 1.15 Рассмотрим функцию

f : (0, 1)

×

(0, 1)

(x, y) f(x, y) =

y2 − x2

.

(1.8)

(x2 + y2)2

7→

Имеем

I =

1

1

y2 − x2

dx dy =

1

1

dx

dy +

1 2y2

1

dx

dy ,

∫0

− ∫0

1

(∫0 (x2 + y2)2

)

(∫0 x2 + y2 )

∫0

(∫0 (x2 + y2)2 )

I =

1

1

y2 − x2

dy dx =

1

1

dy

dx

1 2x2

1

dy

dx .

∫0

(∫0 x2 + y2 )

2

∫0

(∫0 (x2 + y2)2

)

− ∫0

(∫0 (x2 + y2)2 )

Тем самым,

I1 = −I2. А поскольку

1

dx

1

1

1

dx

1

1

1

∫0

2y2

∫0

=

arctan

è

=

+

arctan

,

x2 + y2

y

y

(x2 + y2)2

1 + y2

y

y

òî I1

= ∫0 1+y2

= π/4. Следовательно, существование двух повторных интегралов

1

dy

∫Ωy [∫Ωx f(x, y) dx]dy è

∫Ωx [∫Ωy f(x, y) dy]dx

не влечет, вообще говоря, их равенства. Причина (согласно теореме Фубини) в том, что

f íå èíòå-

грируема по Лебегу. Проверить непосредственно, что

f / L((0, 1) × (0, 1)),

рассмотрев интеграл

y2 − x2

dxdy ,

ãäå

ω

=

x = r cos φ , y = r sin φ

ε < r < 1 , 0 < φ < π/4

.

∫ω" (x2 + y2)2

{

|

}

ε

Ÿ 2

Пространства Рисса

Lp è Lp

loc

Справедлива

Лемма 2.1 Пусть p [1, ∞) . Тогда отображение

· p : Lp f 7→f p = (∫Ω |f(x)|pdx)1/p ,

(2.1)

которое иногда будет обозначаться

· Lp , является нормой.

Задача 2.1 Доказать, что отображение

(2.1) не является нормой, если

p < 1.

Задача 2.2 Доказать, что C∞(Ω) плотно в

Lp(Ω) , 1

≤

p <

∞

.

0

Указание. Воспользоваться тем, что справедлива

Теорема 2.1 Пусть f L1(Ω) , причем

f = 0 почти всюду вне некоторого

K b Ω . Пусть ρ > 0

функция

K è

∂Ω,

ε (0, ρ],

à δε C0∞(Ω),

δε(x) = 0 ïðè

|x| > ε è ∫

δε = 1. Тогда

расстояние между

Rε(f) = fε : Ω x 7→fε(x) = ∫

f(y)δε(x − y)dy,

(2.2)

принадлежит пространству

C0∞(Ω) . Ïðè ýòîì

lim

f

−

f

ε

p

= 0,

1

≤

p < .

(2.3)

ε

→

0

∞

Задача 2.3 Пусть u C(Ω),

т.е. функция

u непрерывна в

Ω. Показать, что

u − Rε(u) C

def

ε → 0 .

= sup |u(x) − Rε(u)(x)| → 0

ïðè

x Ω