Coll-FunkAn(24-11-14) (1)

Определение 4.1 Пусть s R . Пространство

Hs = Hs(Rn) состоит из тех

u S′ = S′(Rn) , äëÿ

которых конечна норма

u s = ξ s · u(ξ) L2(Rn),

ξ = 1 + |ξ|,

u = F u.

(4.2)

Задача 4.2 Проверить, что

S

Hα

Hβ

S′

, åñëè α > β , причем операторы вложения непрерыв-

e

e

ны, а вкладываемые пространства плотны в объемлющих.

Задача 4.3 * Осознать (т.е. уметь объяснить) каждое высказывание в доказательстве нижеследу-

ющей теоремы

Теорема 4.1 (вложения Соболева)

. Åñëè s > n/2+m , то справедливо вложение Hs(Rn) Cbm(Rn) ,

причем существует C < ∞ , ÷òî

u (m) ≤ C u s u Hs,

(4.3)

ãäå

u (m) =

sup

∂αu(x)

.

α

|≤

m x Rn |

|

| ∑

Надо доказать: u Hs(Rn) v Cbm(Rn), v = u п.в., причем

v (m) ≤ C u s . Достаточно

доказать для m = 0 . Из неравенства

ξ −2sdξ)1/2

|u(ξ)| = ∫

u(ξ) ξ s · ξ −se◦ıxξdξ ≤ u s (∫

,

ãäå

u

(R)

, следует оценка (20.3)

. Åñëè

u

H

s

, un

è

un

u

s

0

, òî â ñèëó (20.3)

v

C

0 ,

S

e

−

→

S

÷òî un − v (0) → 0 è

v (0) ≤ C u s . Ò.ê. u − v L2(Ω) ≤ CΩ( u − un s + un − v (0)) → 0 , òî

u = v

ï.â.

Задача 4.4 * Пусть u(x) = φ(x) ln

ln

x

, ãäå x R2 , à φ C0∞(R2) , причем φ(x) = 1 ïðè |x| < 1/3

è φ(x) = 0 ïðè

x > 2/3 . Показать,|

÷òî|

u

H1

(R2) . Тем самым,

Hn/2(Rn)

не вкладывается в

C(Rn) .

| |

Задача 4.5 Проверить, что

δ Hs(Rn)

ïðè s < −n/2 .

Задача 4.6 * Осознать (т.е. уметь объяснить) каждое высказывание в доказательстве нижеследу-

ющей теоремы

Теорема 4.2 (Соболева о следаx)

Пусть

s > 1/2 . Тогда для любой (вообще говоря, разрывной)

функции u Hs(Rn) определен след

γu Hs−1/2(Rn−1) , который в случае непрерывности функции

u

совпадает с ограничением u xn=0

функции u íà

гиперповерхность

xn = 0

. Ïðè ýòîì

C <

∞

, ÷òî

u H

s

(R

n

γu s′ −1/2 ≤ C u s

),

(4.4)

ãäå · σ′

норма пространства

Hσ(Rn−1) .

[∫

Пусть x = (x′, xn) Rn−1 × R . Äëÿ u S(Rn)

имеем: u(x′, 0) =

◦

ξ′

R u(ξ′, ξn)dξn

dξ′

.

Rn−1 eıx′

Поэтому (

γu

s′

1/2)2 =

Rn−1

ξ′

2s−1

R u(ξ′, ξn)dξn

2 dξ′ . Далее,

∫

e

]

−

∫

×

∫

e

2

∫

2s

2

dξn ,

u(ξ′, ξn)dξn

≤ A(ξ′) ∫ ξ

|u(ξ)|

ãäå

2s

s+1/2

, à

2 s

e

ïðè

; (

2 1/2 ).

A(ξ′) =

ξ

−

dξn

Cs

ξ′

−

e

s > 1/2

z = ξn(1 +

ξ′

)−

≤

Cs = C (1 + z )− dz <

∞

|

|

Hs(

R

n)

Поэтому

γu

C

u

s

äëÿ

u

S

. Åñëè

u

è

lim

u

u

= 0 , ãäå u

S

, òî

∫

s′ −1/2 ≤

∫

n→∞

n − s

n

w Hs−1/2(Rn−1) , ÷òî

γun − w s′ −1/2

→ 0 ; ïðè ýòîì

w не зависит от выбора последовательности

{un} . По определению

γu = w ; при этом справедлива оценка (4.4).

Определение 4.2 Оператор

P = PΩ :

S

′(

R

n)

f

P f

S

′

(Ω) , ãäå

Ω область в

n , à

P f, φ

.

=

7→

R

f, φ φ C0∞(Ω) , называется оператором сужения на область

Ω распределений, заданных в

Rn

Определение 4.3 Обозначим через

Hs(Ω) пространство PΩHs(Rn) , снабженное нормой

f s,Ω = inf Lf s, f Hs(Ω),

(4.5)

где нижняя грань берется по всем продолжениям

Lf Hs(Rn) функции f Hs(Ω)

(ò.å. PΩLf = f ).

Если из контекста ясно, что речь идет о функции

f Hs(Ω) , то наряду с f s,Ω будем писать f s .

Определение 4.4 Пространство

Hs(Γ) , ãäå

Γ = ∂Ω гладкая граница области

Ω b Rn , åñòü ïî-

полнение пространства

C∞(Γ) по норме

ρ s,′

K

Γ =

φkρ s′ .

(4.6)

k=1

∑

Здесь · s′ норма пространства

Hs(Rn−1),

K

φk ≡ 1 разбиение единицы, подчиненное конечному

k=1

покрытию

K

, ãäå

Γk = Ωk∩Γ

, à

Ωk

∑

-мерная область, в которой не пересекаются норма-

k=1 Γk = Γ

n

1

1

ëè ê

Γ

. Далее, функция

φkρ C0∞(R

n

1

)

определяется по формуле:

(y′))

,

−

(φkρ)(y′) = φk(σk−

(y′))·ρ(σk−

ãäå σk

диффеоморфизм Rn , (аффинный вне некоторого шара и) распрямляющий

Γk . Это означа-

åò, ÷òî äëÿ

x Ωk n -ÿ координата

yn = yn(x) точки y = (y′, yn) = σk(x) равна координате этой

точки на внутренней нормали к

Γ . Если из контекста ясно, что речь идет о функции

ρ Hs(Γ) ,

то наряду с

ρ s,′

Γ будем писать также ρ s′ .

висит от выбора покрытия, разбиения единицы и диффеоморфизмов σk .

до непрерывного оператора γ : Hs(Ω)

→

Hs−1/2(Γ) .

C(Ω) ∩ H (Ω) u 7→u Γ C(Γ)

s

Задача 4.7 Пусть s > 1/2 . Показать, что оператор

продолжается

Au(x) =

Ω K(x, x − y)u(y)dy, u C0∞(Ω).

∑

. Еще одним примером ПДО являются сингулярные

Здесь K S′(Ω × Rn) , причем K C∞(Ω × (Rn\0)) . Åñëè K(x, x − y) =

aα(x) · δ(α)(x − y) , òî

α

|α|≤m

интегральные операторы.

Au(x) =

∑ aα(x)∂ u(x)

ференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

|

∑

aαDαu = f.

a(D)u ≡

(5.1)

α|≤m

Эллиптичность означает, что

am(ξ) ≡

aαξα ̸= 0

ïðè

|ξ| ̸= 0.

=m

|α∑|

Это эквивалентно условию

aαξα

a(ξ)

C ξ m

ïðè

ξ M

1.

(5.2)

| ∑

| | ≡

α m

≥ | |

| | ≥

Докажем следующий результат

о гладкости

решений уравнения (5.1). Если u

Hs−1

è a(D)u

Hs−m при некотором s , òî u Hs . Для доказательства

этого факта достаточно

|≤

всего навсего заме-

тить два момента. Во-первых, учитывая(5.2), можно вырезать особенность функции

1/a с помощью

множителя ρ C∞ , такого, что ρ ≡ 1 ïðè |ξ| ≥ M + 1, ρ ≡ 0 ïðè |ξ| ≤ M . Во-вторых,

(F−1(ρ/a)F)(F−1aF)u = u + (F−1τF)u, ãäå τ = ρ

−

1.

(5.3)

Поэтому ввиду очевидных неравенств

|ρ(ξ)/a(ξ)| ≤ C(1 + |ξ|)−m, |τ(ξ)| ≤ CN (1 + |ξ|)−N N ≥ 1,

(5.4)

влекущих за собой неравенства

(F−1(ρ/a)F)f s ≤ C f s−m, (F−1τF)u s ≤ C u s−N ,

(5.5)

имеем в итоге так называемую априорную оценку

u s ≤ C ( f s−m + u s−1) , f = a(D)u, u Hs,

(5.6)

a = a(ξ) . Мы будем их обозначать также через Op(a(ξ))

èëè a(D) . В зависимости от класса симво-

aα(x)Dx u(x) . Åñëè a(x, ξ) функция, положительно

∑

ξ , ò.å. a(x, tξ) =

лов получается тот или иной класс ПДО. Если a(x, ξ) =

aα(x)ξα , òî a(x, D)u(x) = Op(a(x, ξ))u(x) =

α

однородная нулевого порядка по

a(x, ξ) äëÿ

t > 0

, òî

a(x, D) = Op(a(x, ξ))

это сингулярный интегральный оператор.

∑

Op(a(x, ξ))u =

a+ + a−

u(x) +

i

v.p.

∫

a+ − a−

u(y)dy .

2π

2

x − y