M4_10_14
.pdf
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. |
|
|
|
|||
Тригонометрические функции и уравнения |
|
|
|
|||
Если же sin x 1 |
(рис. 3), то учитывая неравенство cos x 0 , по- |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
y |
|
лучаем решение системы x 6 2 n, |
n Z. |
|||||
|
||||||
Отметим, что решения системы на рис. 1 и |
|
|||||
рис. 3 можно записать одной формулой: |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
||
x 6 |
n, |
n Z. |
|
|
- 1 |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ. x 2 n, |
n Z; |
x 2 n, |
n Z; |
2 |
||
|
||||||
x |
|
n, |
n Z. |
Рис. 3 |
6 |
|
8. Нестандартные уравнения Пример 25. Решить уравнение sin4 2x cos2 x 0.
Решение. Так как оба слагаемых в левой части уравнения неотрицательны, то равенство достигается тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.
sin 2x 2sin x cos x 0 |
cos x 0 х |
|
n, n Z. |
|
|
||
cos x 0 |
|
2 |
|
Ответ. х n, n Z. 2
Пример 26. Решить уравнение cos3x cos 2x 1.
Решение. Перепишем уравнение, перейдя от произведения к сумме: cos5x cos x 2. Так как cos5x 1 и cos x 1, то cos5x cos x 2, при-
чём, если cos5x 1 или cos x 1, то сумма cos5x cos x 2 , Значит,
cos5x 1,
уравнение будет выполняться только в случае
cos x 1.
Если cos x 1, то x 2 n, |
n Z . В этом случае cos5x cos10 n 1 |
и система выполнена. |
|
Ответ. x 2 n, n Z. |
|
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
21
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Пример 27. Решить уравнение sin8 x cos5 x 1. |
|
|
|
|
|
|||
Решение. Преобразуем уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin8 x cos5 x sin2 x cos2 x, cos2 x 1 |
cos3 x |
|
sin2 |
x 1 |
sin6 x |
|
0. |
(7) |
Так как сумма неотрицательных слагаемых равна нулю, то каждое из
них должно быть равно нулю. |
Рассмотрим первое cos2 x 1 cos3 |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
Оно равно нулю, если cos x 0 |
(в этом случае sin2 x 1 и1 sin6 x 0 , |
|||
т.е. второе слагаемое в (7) обратится в нуль) или cos x 1 (в этом слу-
чае |
sin x 0 и опять второе слагаемое в (7) |
обратится в нуль). Итак, |
|
должно |
выполняться cos x 0 или |
cos x 1, и значит, |
|
|
|
|
|
x |
2 n, n Z , или x 2 n, n Z. |
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
x 2 n, n Z; x 2 n, n Z. |
||
9. Уравнение с параметром
Пример 28. Найти все значения параметра a , при которых уравне-
ние cos2x 4acos x 2a2 1 0 не имеет решений. Решение. Преобразуем уравнение:
2cos2 x 1 4a cos x 2a2 1 0, cos2 x 2a cos x a2 0, cos x a 2 0.
Итак, уравнение свелось к cos x a. Оно не имеет решений, если
a1.
Ответ. a ; 1 1; .
Пример 29. При каких значениях параметра a уравнение 3sin 2x 4cos 2x a имеет решения?
Решение. Преобразуем уравнение, используя формулу дополни-
тельного угла: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5sin 2x a, где cos |
3 |
, |
sin |
4 |
. |
|
|
|
|||
5 |
5 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда sin 2x |
a |
|
a |
|
1. |
||||||
. Это уравнение имеет решения при |
|
||||||||||
|
|
||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||
Ответ. a 5; 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
22
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Пример 30. Найти все значения a , при которых уравнение sin2 x + 3 2a sin x 6a 0 имеет корни, и решить это уравнение.
Решение. Разложив левую часть уравнения на множители, запишем
уравнение |
в |
виде sin x 2a sin x 3 0 . |
Так как уравнение |
||||||||||
sin x +3 0 |
не имеет корней, то исходное уравнение, равносильное |
||||||||||||
уравнению |
sin x = 2a, имеет корни тогда и только тогда, когда |
|
2a |
|
1, |
||||||||
|
|
||||||||||||
т. е. |
1 |
a |
1 |
. Эти корни определяются по формуле |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 1 n arcsin 2a n, n Z. |
|||||
Ответ. |
1 |
a |
1 |
; x = 1 n arcsin 2a n, |
n Z. |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Контрольные вопросы
1(3). Определите, какие из данных функций являются чётными, какие – нечётными, а какие не являются ни чётными, ни нечётными:
а) |
y |
1 |
|
|
1 |
; |
б) y |
x2 cos3x |
; |
в) y |
|
x 2 |
|
|
|
x 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x 1 |
x 1 |
sin x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2(1). Доказать, что НПП функции y cos x является число T 2 .
3(1). Найти НПП функции y sin 3x .
4(2). Будет ли функция y cos x cos |
|
|
|
|
|
|
2x периодической? |
||||
5(2). Вычислите sin6 cos6 , если sin cos |
1 |
. |
|||
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
6(2). Вычислите без таблиц S cos36 |
cos108 . |
|
|
||
7(1). Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
5sin 12cos .
8(3). Вычислите:
а) arcsin sin10 ; |
|
|
8 |
|
|
|
|
6 |
|
б) |
arccos sin |
|
|
; |
в) |
arctg ctg |
|
. |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
5 |
|
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
23
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
|
|
|
|
|
5 |
|
|
arccos |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||
9(2). Найдите |
tg 2arccos |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10(2). Докажите равенство arcsin |
5 |
|
2arctg |
2 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|||||
11(1). Решите уравнение 7sin2 x 8cos x 8 0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12(2). Решите уравнение sin3x cos4x. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Решить уравнения (1-8) |
|
|
|
|||||||||||||||
1(2) 3sin 2x 3cos x 2sin x 1 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2(2). sin x tgx sin x tgx 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3(2). sin2 x 3sin x cos x 2cos2 x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4(3). cos2x 2cos2 x sin 2x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5(3). sin 2x 2 sin x cos x 1 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6(3). sin7x cos6x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7(3). |
cos 2x 5sin x 2cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8(3). sin 3x |
|
sin x |
|
sin 2x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9(3). Найдите все значения параметра |
a при которых уравнение |
|||||||||||||||||||||||
sin4 x cos4 x a имеет корни, и решите это уравнение. |
|
|
||||||||||||||||||||||
10(3). |
При |
каких |
значениях |
|
|
параметра |
a |
уравнение |
||||||||||||||||
x a arcsin x 1 0 имеет единственное решение? |
|
|
||||||||||||||||||||||
11(4). Докажите, что любая функция с областью определения, симметричной относительно x 0, есть сумма чётной и нечётной функций.
12(4). Вычислите без таблиц сумму
S cos 27 cos 47 cos 67 .
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
24