![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
M4_10_14
.pdf![](/html/2706/30/html_HeKhWUP6uC.ncqP/htmlconvd-RW5lw711x1.jpg)
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
б) По формуле (2) arcctg |
|
arcctg |
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||
3 |
3 |
|
. Этот ре- |
|||||||||||||||
6 |
6 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
зультат можно было получить и по определению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ. а) |
2 |
; б) |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
arcsin sin x x, если x |
|
; |
|
; |
|
(3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
arccos cos x x, если x 0; ; |
|
|
|
(4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
(5) |
||
|
|
|
arctg tg x x, если x |
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcctg ctg x x, если x 0; . |
|
|
|
(6) |
Доказательство этих формул следует непосредственно из определения.
|
Пример 12. |
Вычислить: |
1) |
|
|
|
|
|
|
8 |
; 2) arccos cos 6 ; |
|||||
|
|
arcsin |
sin |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|||
3) |
arctg tg |
|
; |
4) arcctg ctg |
|
|
; 5) arcsin cos |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
8 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|||
|
Решение. 1) В данном случае |
|
8 |
|
|
; |
|
и мы не можем непо- |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
средственно воспользоваться формулой (3). Но можно записать цепоч-
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ку равенств: sin |
|
sin |
|
sin |
|
sin |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
Мы воспользовались формулой приведения |
sin sin |
и не- |
||||||||||||
чётностью функции y sin x . Теперь по формуле (3) получаем: |
|
|
||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin sin |
|
arcsin sin |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
7 |
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
2) Так как 2 |
6 2 , то |
|
6 2 0 |
или 0 2 6 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
cos6 cos 6 cos 2 6 . |
|
|
||||||||
Здесь мы воспользовались чётностью функции |
y cos x и её |
2 пе- |
||||||||||||
риодичностью. Следовательно, по формуле (4) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
arccos cos 6 arccos cos 2 6 |
2 6. |
|
|
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
11
![](/html/2706/30/html_HeKhWUP6uC.ncqP/htmlconvd-RW5lw712x1.jpg)
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
3) Так как |
|
5 |
|
|
, |
то |
0 |
5 |
|
|
. Поскольку |
|
8 |
2 |
8 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg |
|
|
tg |
|
|
|
|
, то по формуле (5) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
arctg tg |
|
|
|
arctg tg |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|||
|
4) |
Так |
|
как |
|
|
|
|
6 |
|
, |
|
то 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ctg |
|
|
|
ctg |
|
|
|
, |
то по формуле (6) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3 .
8 8
6 . Поскольку
5 2
|
6 |
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
||
arcctg ctg |
|
|
arcctg ctg |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
5 |
|
|
5 |
|
|
5 |
|
5 |
|
В пунктах 3) и 4) |
была |
использована |
периодичность функций |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y tg x и y ctg x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5) Так как cos |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
, |
то |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
2 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
по формуле (3) получаем: arcsin cos |
|
|
|
|
|
arcsin |
sin |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
||||||||||||||
Ответ. 1) ; |
2) |
2 6; |
3) |
3 |
; |
4) |
|
; |
5) |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
arcsin |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 13. Вычислить cos arccos |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. Обозначим arccos |
5 |
|
, arcsin |
3 |
. Тогда по определе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
нию |
|
0; , |
; |
. |
|
|
|
|
|
|
По |
|
формуле |
|
|
сложения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
cos cos cos sin sin . |
Так как cos |
|
5 |
|
и 0; , |
то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
25 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 0, |
||||||||||||||
sin |
1 cos2 |
(обращаем внимание, |
что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
169 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
12
![](/html/2706/30/html_HeKhWUP6uC.ncqP/htmlconvd-RW5lw713x1.jpg)
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
|
|
|
0; ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
|
|
|
|
|
|
то cos 0 |
|
|||||||||||||||||||
т. к. |
Поскольку |
|
|
|
и |
|
|
; |
|
, |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos |
1 sin2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
25 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Итак, |
|
cos |
5 |
|
|
4 |
|
|
12 |
|
3 |
|
20 36 |
|
56 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
5 |
|
|
13 |
|
5 |
|
|
|
|
65 |
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ответ. |
56 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 14. Доказать равенство arctg 2 arctg 3 |
3 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
Обозначим |
|
|
|
arctg 2, arctg3 . |
Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
tg 2, tg 3, 0 |
, 0 |
, |
и значит, |
|
0 . |
Вычис- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лим |
tg . |
|
По |
|
формуле |
сложения |
|
tg |
|
|
tg tg |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
tg tg |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
2 3 |
|
1. Но единственный угол в промежутке 0; , у которого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тангенс равен 1 , это |
|
3 |
|
. Значит, |
3 |
|
|
, что и требовалось |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
доказать.
II Тригонометрические уравнения
Чтобы решить тригонометрическое уравнение надо путём тригонометрических преобразований свести его к простейшему тригонометрическому уравнению. Напомним формулы решений простейших тригонометрических уравнений.
1) sin x a. Если |
|
a |
|
1, решений нет. Если |
|
a |
|
1, то |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 n arcsin a n, n Z. Последнюю формулу можно записать и
|
arcsin a 2 k, k Z n 2k , |
|
|
|
|
||||
так: |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin a 2k 1 , k Z n 2k 1 . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
cos x a. Если |
|
a |
|
1, решений нет. Если |
|
a |
|
1, то |
|
|
|
|
x arccos a 2 n, n Z.
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
13
![](/html/2706/30/html_HeKhWUP6uC.ncqP/htmlconvd-RW5lw714x1.jpg)
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
3)tg x a. При любом а будет x arctg a n, n Z.
4)ctg x a. При любом а будет x arcctg a n, n Z.
Отметим несколько частных случаев простейших тригонометрических уравнений, в которых ответ можно записать более просто, чем по общим формулам.
|
|
|
а) sin x 1; тогда x 2 |
2 n, n Z; |
|
|
|
|
б) sin x 1; |
тогда x 2 2 n, n Z; |
|
|
|
|
в) cos x 0; |
тогда x 2 |
n, n Z; |
г) cos x 1; |
тогда x 2 n, n Z. |
Рассмотрим несколько основных способов решения тригонометрических уравнений.
1. Разложение на множители
Пример 14. Решить уравнение 5sin 2x 5cos x 8sin x 4 0.
Решение. Используя формулу sin 2x 2sin xcos x , преобразуем данное уравнение:
10sin x cos x 5cos x 8sin x 4 0,
5cos x 2sin x 1 4 2sin x 1 0,
2sin x 1 5cos x 4 0.
Уравнение распадается на два: |
|
|
|
|
|||||
1) |
2sin x 1 0, sin x |
1 |
, x 1 n 1 |
|
|
n, n Z; |
|||
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
6 |
|
||||
2) |
5cos x 4 0, cos x |
4 |
, x arccos |
4 |
|
2 n, n Z. |
|||
|
|
|
|||||||
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
Ответ. |
x 1 n 1 |
|
n, n Z; x arccos |
4 |
2 n, n Z |
|
6 |
5 |
|||||
|
|
|
|
Отметим, что в сериях решений 1) и 2) не было бы ошибкой использовать разные буквы (например, n или m), т. к. идёт перечисление решений.
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
14
![](/html/2706/30/html_HeKhWUP6uC.ncqP/htmlconvd-RW5lw715x1.jpg)
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
|
2x |
|
sin 3x 0. |
Пример 15. Решить уравнение cos |
|
||
|
|
3 |
|
Решение. Перепишем уравнение, используя формулу приведения
|
|
: |
|
2x |
|
|
|
0. |
||
sin cos |
|
|
cos |
|
cos |
|
3x |
|||
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
Далее применим формулу преобразования суммы в произведение. По-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
лучим: 2cos |
2x |
|
3 |
2 3x |
cos |
|
2x 3 |
2 |
3x |
0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) cos |
|
|
|
|
0; cos |
|
|
0; |
|
|
|
|
n, n Z; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 n, n Z; x |
7 |
|
2 n, n Z. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) cos |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
0; |
|
|
|
6 |
|
n, n Z; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
5x |
5 |
2 n, n Z; x |
|
|
|
|
2 n |
, n Z; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
5 |
5 |
|
|||||
|
|
|
|
x |
11 |
|
|
2 n |
, n Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
30 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ. |
x |
7 |
|
2 n, n Z; |
x |
|
11 |
|
|
2 n |
, n Z. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2. Сведение уравнения к алгебраическому от одного переменного
Пример 16. Решить уравнение cos 2x cos x 1 0.
Решение. Воспользуемся формулой двойного угла: cos2x 2cos2 x 1. Тогда уравнение перепишется: 2cos2 x cos x 0; cos x 2cos x 1 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
cos x 0; |
x 2 n, n |
Z; |
|
|
|||||
2) |
cos x |
1 |
; x |
2 |
2 n, n Z. |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||
Ответ. x |
|
n, n Z; |
x |
2 |
2 n, n Z. |
|||||
2 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
15
![](/html/2706/30/html_HeKhWUP6uC.ncqP/htmlconvd-RW5lw716x1.jpg)
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Выделим
3. Однородные уравнения
(хотя формально эти уравнения можно отнести к предыдущему типу).
Пример 17. Решить уравнение sin 2x 2cos 2x 0.
Решение. Это однородное уравнение 1-го порядка. cos 2x 0 (иначе из нашего уравнения следовало бы, что и sin 2x 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству: cos2 2x sin2 2x 1). Делим уравнение на cos 2x . Получаем tg 2x 2.
Отсюда 2x arctg 2 n, n Z; x 12 arctg2 2n , n Z.
Ответ. x 12 arctg2 2n , n Z.
Пример 18. Решить уравнение
sin2 x sin x cos x 2cos2 x 0.
Решение. Это однородное уравнение 2 степени. Так как cos x 0 (рассуждение, как в предыдущем примере), то делим уравнение на
cos2 x . Получаем: tg2 x tg x 2 0. Отсюда |
tg x 1 или |
tg x 2 . И |
||
|
|
|
|
|
x 4 n, n Z , или x arctg 2 n, n |
Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. x 4 n, n Z; |
x arctg 2 |
n, n Z. |
|
Пример 19. Решить уравнение
3sin2 x sin xcos x 1.
Решение. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: 1 sin2 x cos2 x. Преобразуем наше уравнение к однородному 2-го порядка:
3sin2 x sin x cos x sin2 x cos2 x или
2sin2 x sin xcos x cos2 x 0.
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
16
![](/html/2706/30/html_HeKhWUP6uC.ncqP/htmlconvd-RW5lw717x1.jpg)
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
т. к. |
cos x 0, |
то делим последнее уравнение на |
cos2 x . |
Получаем: |
||||||||||
2tg 2 x tg x 1 0. tg x 1 или |
tg x |
|
1 |
. Значит, |
x |
|
n, n Z , |
|||||||
2 |
4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
x arctg |
1 |
|
n, n Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ. x n, n Z; x arctg |
1 |
|
n, n Z. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4. Использование формулы дополнительного угла
Пример 20. Решить уравнение 4sin x 3cos x 5.
Решение. По формуле дополнительного угла преобразуем уравне-
|
|
|
|
sin x 5, |
|
|
sin x 1, cos |
4 |
|
3 |
. |
|
|||
ние: |
|
16 9 |
|
|
, sin |
Можно |
|||||||||
|
|
|
|
5 |
5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
взять, |
например, arcsin |
3 |
. Решением последнего уравнения будет |
||||||||||||
5 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
2 2 n, n Z , или x 2 2 n, n Z. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ. x arcsin |
3 |
|
2 n, n Z. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что последнее уравнение можно решить и сведением его к однородному, если воспользоваться формулами
|
|
|
sin x 2sin |
x |
cos |
x |
, |
cos x cos2 |
x |
|
sin2 |
x |
, 1 sin2 |
x |
cos2 |
x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||
Действительно, в этом случае уравнение 4sin x 3cos x |
5 преобра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зуется к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
8sin |
x |
cos |
x |
3cos2 |
|
x |
3sin2 |
|
x |
5sin2 |
|
x |
5cos2 |
x |
или |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8sin2 |
|
x |
8sin |
x |
cos |
x |
2cos2 |
x |
0. |
Т. |
|
к. |
cos |
x |
|
0, |
то разделив послед- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
нее уравнение на 2cos2 |
x |
, получим уравнение 4tg |
2 x |
4tg |
x |
1 0 или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
arctg |
|
1 |
|
n, n Z, или |
|||||||||||||||||
2tg |
|
|
1 0. |
Откуда, |
tg |
|
|
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2arctg 12 2 n, n Z.
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
17
![](/html/2706/30/html_HeKhWUP6uC.ncqP/htmlconvd-RW5lw718x1.jpg)
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Мы получили ответ в другой форме, но множество решений уравнения, естественно, то же.
Пример 21. Решить уравнение
sin x 2sin 2x cos x 1.
Решение. Перепишем уравнение 2sin 2x sin x cos x 1 0 и сде-
лаем замену t sin x cos x.
Так как |
t2 sin2 x 2sin x cos x cos2 |
x 1 sin 2x, |
то sin 2x 1 t2 . То- |
|||||||||||||||||||||||||||
гда наше уравнение запишется так: |
2 |
1 t2 |
t 1 0 или |
2t2 t 3 0 . |
||||||||||||||||||||||||||
Отсюда t 1, t |
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По формуле дополнительного угла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t sinx cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1) t 1, sin |
x |
|
|
1 |
, |
x |
1 n n, |
n Z. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1, |
|
|||||
2) t2 |
|
|
, |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
. |
Так как |
|
|
|
|
|
то последнее |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
уравнение не имеет решений.
Ответ. x 1 n n, n Z. 4 4
Отметим, что подобным образом решаются уравнения
F sin 2x, sin x cos x 0. Замена t sin x cos x.
Наконец, рассмотрим несколько несложных примеров, где приходится делать отбор корней (в 11 классе будут и сложные примеры на эти темы).
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
18
![](/html/2706/30/html_HeKhWUP6uC.ncqP/htmlconvd-RW5lw719x1.jpg)
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
5. Рациональные тригонометрические уравнения Пример 22. Решить уравнение
cos3x |
|
cos5x |
. |
|
|
||
sin 2x |
|
sin 2x |
Решение. Это уравнение равносильно каждому, из следующих
уравнений: |
cos3x cos5x |
0, |
sin 4x sin x |
0. |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
sin 2x |
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
Так как sin 4x 2sin 2x cos 2x , |
а ОДЗ уравнения определяется усло- |
||||||||
вием sin 2x 0 , |
то sin x 0, и исходное уравнение равносильно уравне- |
||||||||
нию cos 2x 0 . Тогда |
2x n, |
n Z, и |
x |
n , n Z. |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
2 |
|
Ответ. x |
n , |
n Z. |
|
|
|
|
|
||
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6. Тригонометрические уравнения с корнем
Пример 23. Решить уравнение cos x cos3x
2 cos x. Решение. Это уравнение равносильно системе
cos x cos3x 2cos2 x,
cos x 0.
Неравенство должно выполняться, т. к. правая часть исходного уравнения равна квадратному корню, а он неотрицательный. В то же время отметим, что в системе не надо указывать, что подкоренное выражение в левой части уравнения неотрицательно, т. к. в системе оно равно квадрату правой части уравнения. Преобразуем уравнение си-
стемы: |
2cos2x cos x 2cos2 x |
или cos x cos 2x cos x 0 . Отсюда или |
|||
cos x |
0 (неравенство системы удовлетворяется) и x |
|
n, |
n Z . |
|
2 |
Или же cos 2x cos x 0, 2cos2 x cos x 1 0 . Решениями последнего уравнения являются cos x 1 (что не удовлетворяет неравенству систе-
мы) и |
cos x |
1 |
(неравенство системы выполняется). Итак, в этом |
||||||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
случае |
x |
2 |
|
2 n, |
n Z. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ. x |
n, |
n Z; |
x |
2 |
2 n, |
n Z. |
|||||
3 |
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
19
![](/html/2706/30/html_HeKhWUP6uC.ncqP/htmlconvd-RW5lw720x1.jpg)
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
7. Тригонометрические уравнения с модулем Пример 24. Решить уравнение
cos3x cos x sin 2x.
Решение. Решение уравнения сводится к объединению решений
двух систем. |
|
cos x 0, |
cos x 0, |
1) |
и 2) |
cos3x cos x sin 2x |
cos3x cos x sin 2x. |
а) Решаем первую систему. Её уравнение пре-
образуем к |
виду 2cos 2x cos x 2sin xcos x |
|
или |
cos x cos 2x sin x 0, |
или |
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
cos x |
|
2sin |
2 |
x sin x 1 |
cos x 0 |
удовлетво- |
||
ряет неравенству системы, т. е. x |
|
n, n Z, |
||||||
2 |
||||||||
решения |
|
системы. |
|
Решая |
|
уравнение |
2sin2 x sin x 1 0 , находим sin x 1 (но тогда
y 1 2
1 x
Рис. 1
cos x 0, |
эти |
корни |
мы |
уже |
получили) |
или sin x |
1 |
, С учётом |
||||||
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x 0, получаем x |
6 2 n, |
n Z , (см. рис. 1). |
|
|
|
|
||||||||
б) Решаем вторую систему. Её уравнение пре- |
|
y |
|
|
||||||||||
образуем |
к |
виду |
2sin 2xsin x sin 2x |
или |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
sin 2x 2sin x 1 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если |
sin 2x 0, |
|
то |
2x n, n Z; |
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
||
x |
, n Z |
(рис. |
2). |
В силу неравенства |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos x 0 |
из 4-х точек на |
тригонометрическом |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
круге системе удовлетворяет только одна. Итак, |
Рис. 2 |
|||||||||||||
x 2 n, n Z, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
20