22.05
.pdf
п.н. |
Lp |
|
n ! |
, но n 9 |
= [0; 1]; A = B; P
1
n(!) = np I[0; n1 ](!)
п.н.
n(!) ! (!) 0
Ej n jp = Ej njp = nP([0; n1 ]) = 1
Пример 2:
L1 |
п.н. |
|
n ! , но n 9 |
||
Единичная окружность
= A = B |
|
|
|
|
|
|
|
|||
P = |
mesA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 1 |
|
n 1 |
|
||||||
|
|
2 |
|
|||||||
An = |
|
|
6 |
|||||||
! = ei' : k=1 k |
' 6 k=1 k |
|||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
P |
|
|
|
Ej nj |
= P(An) = |
1 |
! 0 |
|
|
|
||||
2n |
|
|
|
|||||||
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ! 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Центральная точка будет принадлежать бесконечному числу чего-то там.
11.3Центральная предельная теорема
Пусть 1; 2; ::: - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, та-
ких, что E n = a; D n = 2
8x 2 R
Sn = 1 + ::: + n
|
|
n!1 P |
|
pn |
6 x = p2 |
x |
e |
|
du = (x) |
|
|
|
|
|||||
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
lim |
Sn |
na |
1 |
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Sn na d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Нужно доказать, что |
= |
|
(которая имеет ст. нормальное распределение, |
|
|
N(0; 1) |
) |
|||||||||||
|
p |
|
|
|
! |
|
|
2 |
|
|||||||||
|
n |
|
|
|
||||||||||||||
n ! , h n (u) ! h (u) = e |
u2 |
|
8u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
^n = n a
E ^n = 0 D ^n = E ^n2 = 1
h(u) = h ^n (u)
h(0) = 1 h0(0) = 0
E ^n = h00(0) h00(0) = 1
30
h(u) = 1 |
u2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
+ O(u ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
^n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
u2 |
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
pn k=1 ^n = n = k=1 pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pn |
|
n |
|
|
|
2n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
h |
n |
(u) = h ^ |
(u) = 1 |
|
|
|
|
+ O( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ! 1 |
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
lim h n (u) = |
lim enln 1 u2n +O( un ) = e u22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n!1 |
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
E n (x) ! (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Теорема 7: Sn - число успехов в схеме Бернулли. 0 < p < 1 a < b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 P |
|
|
6 pnpq |
|
|
6 |
|
p2 Za |
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
(a |
Sn np |
|
b) = |
1 |
|
e |
|
2 |
dx = (b) |
|
(a) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство:
E n = p
D n = pq
Теорема 8 (Закон Больших чисел в форме Хинчина): 1; 2; ::: - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. E n = a; 8" > 0; Sn = 1 + ::: + n
lim P(jSn aj > ") = 0
n!1 n
В законе Чебышева требуется ограничить 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Sn |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
eiau |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
hSn (u) |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
h(u) = h n (u) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
h(u) = 1 |
h0(0) = iE n = ia |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
h(u) = 1 + iau + O(u) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
hSn |
(u) = (h(u))n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
! |
|
при |
|
! 1 |
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
hSn (u) = |
1 + |
iau |
|
+ O( |
u |
) |
|
= enln(1+ iaun +O( nu )) |
|
eiau |
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FSn (x) |
|
F (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P( = a) = 1
a "; a + " - точки непрерывности |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FSn |
(a |
|
|
") |
! |
F (a |
|
") |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FSn |
(a + ") |
|
F (a + ") = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
фикс. > 0 |
|
6 P n 6 |
|
P |
n > |
|
n |
n |
! при |
! 1 |
|||||||
P j n |
|
j > |
|||||||||||||||
|
Sn |
|
a |
|
" |
|
|
Sn |
a " + |
|
Sn |
a + " = FSn (a ") + (1 FSn (a + ")) 0 |
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Лекция 14 08.05.2015
31
12 Марковские цепи
x1; :::; xr - возможные состояния системы (состояния могут ассоциироваться с номером, например x1 1; xr r).
= 0; 1; 2; :::; T - дискретное время
Элементарный исход ! = (!0; :::; !T ) - последовательность состояний.
P((!0; :::; !T ) = (i0; :::; iT )) = P(f!0 = i0g) P(f!1 = i1gjf!0 = i0g) ::: P(f!T = iT gjf!0 = i0; :::; !T 1 = iT 1g); ij 2 fx1; :::; xrg
Марковское свойство: !T = iT зависит только от предыдущего состояния !T 1 = iT 1.
Тогда P((!0; :::; !T ) = (i0; :::; iT )) = P(f!0 = i0g) P(f!1 = i1gjf!0 = i0g) ::: P(f!T = iT gjf!T 1 = iT 1g)
Однородность (по времени) - P(!t+1 = it+1j!t = it) не зависит от t. Переход из одного состояния в другое не зависит от времени развития системы.
pi(0) - вероятность того, что в начальный момент времени система будет находится в состоянии i, i=1,...,r
pij = P(!t+1 = ij!t = i) - вероятность перехода системы из состояния i в состояние j за единицу времени.
Стахостическая матрица - P = (pij) - определяет однородную цепь Маркова. Свойства матрицы:
1) pij > 0
r
P
2)pij = 1
j=1
pi(t) - вероятность того, что в момент времени t система будет в состоянии i.
pij(t) = P(!t = jj!0 = i) - вероятность того, что, находясь в состоянии i, через время t система перейдет в состояние j.
Уравнение Колмогорова-Чепкина:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pij(t + s) = pik(t) pkj(s) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Введем гипотезы H1; :::; Hn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(A B) = |
P(AB) |
= |
n |
|
P(ABHk) |
= |
n |
|
P(AjBHk)P(BHk) |
= |
n |
|
(H B) |
(A BH ) |
|||||||
|
kP |
|
|
P |
|
P |
|
P |
|
||||||||||||
P j |
P |
(B) |
|
|
(B) |
r |
|
P |
(B) |
|
P kj |
P j k |
|
||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
||
P(!t+s = jjf!0 = igf!t |
= kg) = P(Pt+s |
|
|
jj!t = k) (по марковскому свойству) |
|
||||||||||||||||
pij(t + s) = P(!t+s = jj!0 |
= i) = k=1 P(!t = kj!0 |
= i) P(!t+s |
= jjf!0 |
= igf!t = kg) =!!! |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(!t+s = jj!t = k) = pkj(s) (по условию однородности)
r
P
!!! = pik(t)pkj(s)
k=1
P (t + s) = P (t) P (s)
P (t) = P t
r
P
pi(t) = pk(0)pki(t)
k=1
12.1Теорема о предельных вероятностях
Пусть P (t) = (pij(t)) и при t0 : pij(t0) > 0. Тогда 8j = 1; :::; r
9 lim pij(t) = pj (*)
t!1
32
pj > 0, не зависит от i и является единственным решением системы:
8r
X
>
> r |
pkj k = j |
(2) |
>
>
<
k=1
> X
>
>
>
j = 1
:
k=1
Доказательство:
mj(t) = min pkj(t)
16k6r
Mj(t) = max pkj(t)
16k6r |
|
r |
r |
PP
pij(t + 1) = pik pkj(t) 6 Mj(t) pik = Mj(t)
k=1 k=1
Mj(t + 1) 6 Mj(t)
mj(t) 6 mj(t + 1) 6 Mj(t + 1) 6 Mj(t) |
|
|
|||
Если [Mj(t) mj(t)] ! 0, то из mj(t) 6 pij(t) 6 Mj(t) следует, что pij(t) сходится. Докажем это: |
|||||
Возьмем произвольное t0. |
|
|
|
||
" = min pij(t0); 0 < " < 1 |
|
|
|
||
16i;j6r |
r |
r |
r |
r |
|
"pjj(2t) |
|||||
P |
P |
P |
kP |
||
pij(t0+t) = |
pik(t0)pkj(t) = |
(pik(t0) "pjk(t))pkj(t)+" |
pjk(t)pkj(t) 6 Mj(t) |
(pik(t0) "pjk(t0))+ |
|
|
k=1 |
k=1 |
k=1 |
=1 |
|
pij(t0 + t) 6 (1 ")Mj(t) + "pjj(2t)
Аналогичным способом получим: pij(t0 + t) > (1 ")mj(t) + "pjj(2t)
Т.к. вышеуказанные выражения верны для любых i, то и для max и min.
Mj(t0 + t) 6 (1 ")Mj(t) + "pjj(2t) mj(t0 + t) > (1 ")mj(t) + "pjj(2t)
Mj(t0 + t) mj(t0 + t) 6 (1 ")(Mj(t) mj(t))
Возьмём произвольное k.
Mj(kt0 + t) mj(kt0 + t) 6 (1 ")(Mj((k 1)t0 + t) mj((k 1)t0 + t)) 6 ::: 6 (1 ")k(Mj(t) mj(t)) (1 ")k ! 0, при k ! 1
Мы нашли последовательность чисел tk = kt0 + t ! 1 и Mj(tk) mj(tk) ! 0. Существование предела доказано.
pij(t0) > mj(t0) > "
pj = lim pij(t) > "
t!1
rr
PP
|
pj = lim pij(t) = 1 |
j=1 |
t!1 j=1 |
Второе равенство доказано.
33