22.05

x1 = kp1 npqnp x2 = kp2 npqnp

(x2) (x1) = 0(x2) 0(x1)

5Полиномиальная схема

Сразу следим за n событиями: A1; ::; Ar. Пусть каждое из этих событий появляются в отдельном эксперименте с вероятностями p1; :::pr; p1 + ::: + pr = 1:

B(k1; :::; kr), где k1; :::; kr - целые, неотрицательные числа. k1 + ::: + kr = n

! = ( 1; :::; n); i 2 1; :::; r - исход испытания

P(f!g) = p 1 p 2 ::: p r

Если ! 2 B(k1; :::; kr) ) P(f!g) = pk11 ::: pkrr

Выбираем номера исходов, где появлялось A1, затем A2 и т.д.:

Лекция 5 13.03.2015

6Случайные величины

: 7!R

f! : a < S(!) < bg = 1((a; b))

1((a; b)) 2 A

= fx1; x2; :::; xng

1(fxkg) = Dk

D = fD1; :::; Dng; Dk 2 A

Индикатор I- простейшая случайная величина.

10

6.1Математическое ожидание

nn

n

X

E = '(xk) P(Dk)

k=1

Свойства математического ожидания:

1.E(IA) = P(A)

2.линейность:

a)E(a ) = aE( )

b)E( + ) = E + E

3.монотонность:

если > 0 ) E > 0. Равенство нулю возможно только, если P( = 0) = 1

4.jE j 6 Ej j

5.неравенство Шварца:

(E( ))2 6 (E 2) (E 2)

Доказательства:

1. По определению.

4. Доказывается по неравенству треугольнику.

11

5.(E 2) = 0 ) = 0 с вероятностью 1, = 0 с вероятностью 1 ) E = 0 Будем считать, что E 2; E 2 > 0

^pj j

=

E 2

^ = pj j

jE j 6 Ej j

(E( ))2 6 (E 2) (E 2)

6.2Дисперсия случайной величины

Определение: Дисперсией случайной величины называется D = E( E )2. p

= D

Свойства:

1.D = E 2 (E )2

2.D(c) = c2 D D( + c) = D

3.D > 0; D = 0 , P( = E ) = 1

Доказательства:

1.D = E( E )2 = E( 2 2 E + (E )2) = E 2 2 E E + (E )2 = E 2 (E )2

2.D(c) = E(c)2 (E )2 = c2 (E 2 (E )2) = c2 D

3.D > 0 следует из определения. Если D = 0, то по определению E = 0 с вероятностью 1.

Распределение вероятностей:

6.3Случай счетного количества

Перейдем на случай со счётным множество значений .

12

11

PP

E = k pk = k pk

k=0 k=1

1

g0 (x) = P k pk xk 1

k=1

g0 (1) = E

1

g00(x) = P k(k 1)pkxk 2

k=1

11

6.4Основные целочисленные случайные величины и их распределения

1.Бернуллиевская случайная величина

P( = 1) = p

P( = 0) = 1 p = q

g (x) = px + q

E = g0 (1) = p D = p(1 p)

2.Биномиальное распределение

P( = k) = nk pkqn k; k = 0; n

n

g (x) = P nk pkqn kxk = (px + q)n

k=0

E = g0 (1) = n(p + q)n 1 p = np g00(1) = n(n 1)p2

D = n(n 1)p2 + np n2p2 = np(1 p) = npq

13

7Пространство с мерой и общая модель вероятностного пространства

Последовательностей событий An; n = 1; 2; :::

!2 A , ! 2 Aik

!2 A , ! 2 Ak; k > n!

Определение: K- некоторый класс подмножеств . (K) минимальная -алгебра подмножеств, порождённая K:

1.K 2 (K)

2.Если F -алгебра подмножеств и K F ) (K) F

F -алгебра подмножеств ; 2

T

Докажем, что F = F -алгебра:

2

14

1)2 F

2)A 2 F ) A 2 F ; 8 2 ) A 2 8F 8A 2 F

11

SS

3) An 2 F ) An 2 F 8 ) An 2 F 8 ) An 2 F

n=1 n=1

Пример:

= R

K- совокупность открытых множеств.

(K) = B = B(R) - борелевская -алгебра. Множества из B называются борелевскими множествами.

Лекция 7 27.03.2015

Замечание : Пусть T - совокупность ( 1; x]; x 2 R. Если мы построим минимальную -алгебру, порождённую T, то она совпадёт с борелевской. (T ) = B

Тогда (a; b] 2 (T ), так как (a; b] = ( 1; b] n ( 1; a].

Определение: A- -алгебра подмножеств . Функция : A 7!R+ называется аддитивной, если

8A1; A2; :::; An 2 A и AiAj = ?; i 6= j

nn

[X

( Ak) = (Ak)

k=1 k=1

Функция называется счётно аддитивной, если 8A1; A2; ::: и AiAj = ?; i 6= j

11

[X

( An) = (An)

n=1 n=1

Определение: : A 7!R+ называется непрерывной, если для любой исчезающей последователь-

1

T

ности fHng A (исчезающая последовательность - H1 H2 ... - монотонно убывает и Hn = ?.

n=1

Краткая запись - Hn & ?)

lim (Hn) = 0

n!1

Теорема 1: Пусть : A 7!R+ аддитивна и (?) = 0. Тогда - счетно аддитивно в том и только том случае, когда она непрерывна.

Доказательство:

(

Пусть - счетно аддитивна. Возьмем некоторую Hn & ?. Покажем, что (Hn) ! 0. Введём:

A1 = H1 n H2 = H1H2

A2 = H2H3

An = HnHn+1

AiAj = ?; i 6= j

1

S

8n = 1; 2; ::: Hn = Ak

k=n

1

P

(Hn) = (Ak) ! 0, при n ! 1

k=n

)

Пусть - сходится и непрерывна. Покажем, что счетно аддитивна.

15

=1

P

(A n Bn) = (Hn) = (A) (Bn) = (A) (Ak) ! 0; при n ! 1 )

k=1

1

P

(A) = (An)

n=1

7.2Вероятностные пространства

Определение: Пусть A- -алгебра подмножеств . Тогда ( ; A) - измеримое пространство.: A 7!R+ - мера. ( ; A; ) - пространство с мерой.

Если ( ) = 1; - вероятностная мера и обозначается P. ( ; A; P) - вероятностное пространство.

Определение: Пусть ( ; A; P) - вероятностное пространство, тогда : ! R называется случайной величиной, если 8B 2 B f! : (!) 2 Bg (иначе f 2 bg или 1(B)) 2 A.

Теорема 2: Пусть : ! R. Для того, чтобы была случайной величиной необходимо и доста-

точно, чтобы 8x 2 R

f 6 xg 2 A(иначе 1(( 1; x]) 2 A)

Доказательство:

)

тривиально

(

Пусть 8x 1(( 1; x]) 2 A:

Другими словами 1(B) 2 A 8B 2 T: Заметим, что (T ) = B:

B :

1(SB ) = S 1(B ) (1)

1(TB ) = T 1(B ) (2)

7.3Функция распределения вероятностей

Определение: F (x) - функция распределения вероятностей случайной величины .

F (x) = P( 6 x) = P( 1(( 1; x]))

Свойства:

1.0 6 F (x) 6 1

2.F (x) % и непрерывна справа

16

f (x) = e x I[0;1)(x); > 0

Проверим, что это плотность:

8Математическое ожидание

Вероятностное пространство ( ; A; P), - пространство элементарных исходов, A- -алгебра, P- счетно-аддитивная мера.

Теорема 3 (аппроксимационная):: Пусть > 0; ( ; A; P). Тогда 9 последовательность простых неотрицательных случайных величин n % .

n(!) % (!), при n ! 1 8! 2

Доказательство:

n=1, 2,...

D- разбиение =f n; D1(n); D2(n); :::; Dn(n2)n g

Dk(n) = D2(nk+1)1 [ D2(nk+1)

18

Теорема 4:: Пусть ; 1; 2 - неотрицательные случайные величины. n % > ) lim E n > E

n!1

Доказательство: n = 1; 2; ::: " > 0

An = f! : n(!) > (!) "g An % An & ?

n = nIAn + nIAn > ( ")IAn = IAn "IAn = "IAn IAn > " MIAn , где M = max (!)

!2

Применяем свойство монотонности математического ожидания простых случайных величин:

E n > E " MP(An)

lim E n > E " (MP(An) ! 0, при n ! 1 в силу непрерывности вероятностной меры)

n!1

Так как " выбиралось произвольным образом, то lim E n > E

n!1

Следствие: Пусть n % и n % , где f ng и f ng - последовательности простых случайных величин.

Тогда lim E n = lim E n

n!1 n!1

Доказательство: k=1, 2,...

n % > k

lim En > E k (по теореме 4)

b!1

Т.к. k - любое, то переходя к пределу:

lim E n > lim E k

n!1 n!1

Меняя ролями и , получим обратное равенство, следовательно пределы равны.

Определение: Пусть > 0 - случайная величины, определенная на вероятностном пространстве ( ; A; P). n % - аппроксимирующая последовательность неотрицательных простых случайных величин.

def

E = lim E n

n!1

В силу аппроксимационной теоремы и следствия из теоремы 4 определение корректно: последова-

тельность всегда существует и предел не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.

= +

+(!) = maxf (!); 0g(!) = maxf (!); 0g

Свойства математического ожидания:

1.линейность

E(a + b) = aE + bE

2.монотонность

6 ) E 6 E

3.> 0 и E = 0 ) = 0 почти наверное (P( = 0) = 1)

4.jE j 6 Ej j

19