15.10. Кривые предельного дохода

Как мы увидели в предыдущем параграфе, предельный доход задается формулой

= p(q) + q,

или

= p(q) .

Полезно изобразить эти кривые предельного дохода графически. Прежде всего обратите внимание, что когда проданное количество товара равно нулю, предельный доход просто равен цене. Добавочный доход, который вы получаете с первой проданной единицы товара, — это не что иное, как цена. Но после этого предельный доход будет меньше цены, поскольку величина Dp/Dq45 отрицательна.

Подумайте, почему это так. Если вы решите продать больше одной единицы выпуска, вам придется снизить цену. Но это снижение цены сокращает общий доход, получаемый вами от всех единиц выпуска, которые вы уже продавали раньше. Поэтому получаемый вами добавочный доход будет меньше, чем цена, за которую вы можете продать добавочную единицу выпуска.

Рассмотрим особый случай линейной (обратной) кривой спроса:

p(q) = a — bq.

Как нетрудно увидеть, в данном случае наклон обратной кривой спроса постоянен:

46.

Таким образом, формула для предельного дохода принимает вид

=p(q) + q

= p(q) — bq

= a — bq — bq

= a — 2bq.

Эта кривая предельного дохода изображена на рис.15.7A. Кривая предельного дохода пересекает вертикальную ось в той же точке, что и кривая спроса, но наклон ее в два раза больше, чем у кривой спроса. Предельный доход отрицателен при q > a/2b. Величина a/2b есть то количество товара, при котором эластичность равна —1. При любом большем количестве спрос будет неэластичен, что подразумевает отрицательность предельного дохода.

A B

Рис. 15.7

Предельный доход. (A) Предельный доход для линейной кривой спроса. (B) Предельный доход для кривой спроса с постоянной эластичностью.

Другой особый случай вида кривой предельного дохода представлен кривой спроса постоянной эластичности (см. рис.15.7B.) Если эластичность спроса постоянна и равна (q) = 47, то формула для кривой предельного дохода примет вид

MR = p(q) .

Поскольку член, стоящий в скобках, постоянен, кривая предельного дохода получается из обратной кривой спроса умножением последней на некую постоянную величину. При  = 14849 кривая предельного дохода принимает постоянное значение при нуле. При   1505152 кривая предельного дохода лежит под обратной кривой спроса, как показано на рисунке. При   153545556 предельный доход отрицателен.

15.11. Эластичность спроса по доходу

Вспомним определение ценовой эластичности спроса:

Процентное изменение количества спроса

Ценовая эластичность спроса = .

Процентное изменение цены

Этот коэффициент дает нам независимую от единиц измерения меру чувствительности величины спроса к изменению цены.

Эластичность спроса по доходу используется для описания реакции количества спроса на изменение дохода; определение этой эластичности есть:

Процентное изменение количества спроса

Эластичность спроса по доходу = .

Процентное изменение цены

Вспомним, что нормальным товаром называется такой товар, для которого увеличение дохода ведет к увеличению спроса; следовательно, для такого рода товара эластичность спроса по доходу положительна. Товар низшей категории — это такой товар, для которого увеличение дохода ведет к уменьшению спроса; для этого рода товара эластичность спроса по доходу отрицательна. Экономисты иногда используют термин "предметы роскоши", означающий товары, для которых эластичность спроса по доходу больше 1: увеличение дохода на 1% приводит к увеличению спроса на товар, являющийся предметом роскоши, более чем на 1%.

Однако согласно широко используемым приближенным подсчетам, значения коэффициентов эластичности спроса по доходу имеют тенденцию группироваться вокруг 1. Причину этого можно увидеть, исследовав бюджетное ограничение. Запишем бюджетные ограничения для двух различных уровней дохода:

p₁+p₂=m?

p₁+p₂=m⁰.

Вычтем второе уравнение из первого и, как обычно, обозначим разности через D57:

p₁Dx₁ + p₂Dx₂ = Dm.

Теперь умножим и разделим цену i на x_i/x_i58 и поделим обе части уравнения на m:

+ =.

Наконец, поделим обе части уравнения на Dm/m59 и обозначим долю расходов на товар i как s_i = p_i60x_i/m6162. В результате получим уравнение

s₁+s₂= 1.

Из этого уравнения следует, что среднее арифметическое взвешенное коэффициентов эластичности спроса по доходу равно 1, причем весами выступают доли расходов на соответствующие товары. Предметы роскоши, у которых эластичность спроса по доходу больше 1, должны уравновешиваться товарами с эластичностью спроса по доходу, меньшей 1, так что в среднем эластичности спроса по доходу близки к 1.

Краткие выводы

1. Кривая рыночного спроса есть просто сумма кривых индивидуального спроса.

2. Резервная цена измеряет ту цену, при которой потребителю совершенно безразлично, покупать или не покупать данный товар.

3. Функция спроса представляет количество спроса как функцию цены. Обратная функция спроса представляет цену как функцию количества. Заданную кривую спроса можно описать любым из указанных способов.

4. Эластичность спроса измеряет чувствительность количества спроса к изменению цены. Она формально определяется как процентное изменение количества, деленное на процентное изменение цены.

5. Если в какой-то точке абсолютная величина коэффициента эластичности спроса меньше 1, то мы говорим, что спрос в этой точке неэластичен. Если в какой-то точке абсолютная величина коэффициента эластичности спроса больше 1, мы говорим, что спрос в этой точке эластичен. Если в какой-то точке абсолютная величина коэффициента эластичности спроса в точности равна 1, мы говорим, что в этой точке спрос имеет единичную эластичность.

6. Если спрос в некоторой точке неэластичен, то увеличение проданного количества товара ведет к сокращению общего дохода. Если спрос эластичен, то увеличение количества ведет к возрастанию общего дохода.

7. Предельный доход — это добавочный доход, получаемый от увеличения объема продаж. Формула, показывающая связь предельного дохода с эластичностью, имеет вид MR = p[1 + 1/e] = p[1 — 1/|e|]63.

8. Если обратная кривая спроса описывается линейной функцией p(q) = = a — bq, то предельный доход задается формулой MR = a — 2bq.

9. Эластичность спроса по доходу измеряет чувствительность количества спроса к изменению дохода. Формально она определяется как процентное изменение количества, деленное на процентное изменение дохода.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Каков вид обратной кривой спроса, если рыночная кривая спроса описывается функцией D(p) = 100 — 0,5p?

2. Функция спроса наркомана на наркотик может быть очень неэластичной, в то время как функция рыночного спроса на этот товар может быть вполне эластичной. Чем это можно объяснить?

3. При какой цене достигается максимум прибыли, если D(p) = 12 — 2p?

4. Предположим, что кривая спроса на товар описывается функцией D(p) = 100/p. При какой цене будет максимизироваться общий доход?

5. Верно или неверно? Если в двухтоварной модели потребительского выбо-ра один из товаров является товаром низшей категории, то другой товар должен быть предметом роскоши.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Если выразить ценовую эластичность спроса через производные, то она определяется формулой:

64.

В тексте утверждалось, что формула для кривой спроса с постоянной эластичностью имеет вид q = Ap^e65. Чтобы проверить правильность этого утверждения, можно просто взять производную этого выражения по цене:

= eAp^e-1

и умножить ее на отношение цены к количеству:

=Ар^-1 = .

Все удобным образом сокращается, и остается только 66, что и требовалось доказать.

Линейная кривая спроса описывается формулой q(p) = a — bp. Коэффициент эластичности спроса в точке p задан формулой

 = =.

При p = 0 эластичность равна нулю. При q = 0 эластичность равна бесконечности.

Общий доход задается формулой R(p) = pq(p). Чтобы увидеть, как изменяется общий доход по мере изменения p, мы берем производную общего дохода по p и получаем

R(p) = pq(p) + q(p).

Предположим, что с ростом p общий доход растет. Тогда

R(p) = p+ q(p) > 0.

Преобразовав это неравенство, мы получаем

= > —1.

Вспомнив, что dq/dp отрицательна, и умножив ее на —1, мы находим

< 167.

Следовательно, если при повышении цены общий доход возрастает, мы должны находиться в неэластичной части кривой спроса.

Рис. 15.8

Кривая Лаффера. Возможная форма кривой Лаффера, устанавливающей связь между налоговыми ставками и налоговыми поступлениями.

ПРИМЕР: Кривая Лаффера

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые простые расчеты коэффициентов эластичности, которые могут быть использованы для исследования одного вопроса, представляющего значительный интерес для экономической политики, а именно: вопроса о том, как меняются налоговые поступления при изменении налоговой ставки.

Допустим, мы строим график зависимости налоговых поступлений от ставки налогообложения. Если налоговая ставка равна нулю, налоговые поступления равны нулю; если налоговая ставка равна 1, никто не захочет ни покупать, ни предлагать на рынке этот товар, поэтому налоговые поступления также будут равны нулю. Следовательно, налоговые поступления как функция налоговой ставки должны сначала возрасти, а потом со временем уменьшиться. (Разумеется, они могут несколько раз возрастать и снижаться при изменении ставки от нуля до 1, но для простоты анализа мы не будем учитывать эту возможность.) Кривая, устанавливающая связь между налоговыми ставками и налоговыми поступлениями, известна как кривая Лаффера, представленная на рис.15.8. Кривая Лаффера обладает интересным свойством — она предполагает, что по достижении достаточно высокого уровня налогообложения дальнейший рост налоговой ставки, в конечном счете, приведет к сокращению налоговых поступлений. Этот эффект назван эффектом Лаффера, в честь экономиста, который в начале 80-х гг. сделал данный график популярным. Как говорили в то время, достоинство кривой Лаффера в том, что вы можете объяснить ее конгрессмену за полчаса, а он сможет рассуждать о ней в течение шести месяцев. И в самом деле, кривая Лаффера часто упоминалась в дебатах по вопросу о последствиях снижения налоговых ставок в 1980 г. Ловушкой в вышеприведенных рассуждениях являются слова "достаточно высокого". Какого именно уровня должна достичь ставка налогообложения, чтобы эффект Лаффера сработал?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим следующую простую модель рынка труда. Предположим, что фирмы предъявляют нулевой спрос на труд, если заработная плата выше 68, и произвольно высокий спрос на труд, если заработная плата в точности равна69. Это означает, что при какой-то зарплате70 кривая спроса на труд горизонтальна. Допустим, что кривая предложения трудаS(p) имеет традиционный для нее положительный наклон. Равновесие на рынке труда изображено на рис.15.9.

Рынок труда. Равновесие на рынке труда при горизонтальной кривой спроса на труд. В случае налогообложения трудового дохода при каждой ставке заработной платы будет предлагаться меньше труда.

Рис. 15.9

Если мы вводим налог на труд по ставке t, то в случае выплаты фирмой зарплаты 71рабочий получает только w = (1 — t)72. Поэтому, как показано на рис.15.9, кривая предложения труда занимает более крутое положение левее исходной, и количество продаваемого труда падает. После введения налогообложения зарплата снизилась, и это привело к уменьшению продаж труда. Пока все понятно.

Поэтому величина налоговых поступлений T задается формулой

T = tS(w)73,

где w = (1 — t)74 иS(w) — предложение труда.

Чтобы увидеть, как меняются налоговые поступления при изменении налоговой ставки, возьмем производную этого выражения по t, получив в результате

=. (15.1)

(Обратите внимание на использование цепного правила взятия производной и на тот факт, что dw/dt = —WWW.)

Эффект Лаффера имеет место, когда налоговые поступления с ростом t падают — иными словами, если выражение отрицательно. Но это явно означает, что предложение труда становится весьма эластичным — оно должно очень сильно падать, когда налоги растут. Поэтому попробуем посмотреть, при каких значениях коэффициента эластичности данное выражение становится отрицательным.

Чтобы уравнение (15.1) было отрицательным, должно соблюдаться условие

—tXXX.

Изменение знака неравенства на противоположный дает нам

YYY,

а после деления обеих частей неравенства на tS(w) получаем

ZZZ.

Умножив обе части на (1 — t) и используя тот факт, что w = (1 — t)AAAA, получаем

BBBB.

Левая часть этого выражения есть эластичность предложения труда. Мы показали, что эффект Лаффера может иметь место только тогда, когда эластичность предложения труда больше (1 — t)/t.

Возьмем крайний случай, предположив, что ставка налогообложения трудового дохода составляет 50%. Тогда эффект Лаффера может иметь место лишь в случае, когда коэффициент эластичности предложения труда больше 1. Это означает, что 1%-ное сокращение зарплаты привело бы к более, чем 1%-ному сокращению предложения труда. Это очень большая величина для данного коэффициента.

Эконометристы неоднократно производили оценки коэффициентов эластичности предложения труда, и самое высокое значение, которое удалось кому-либо обнаружить, составило около 0,2. Поэтому эффект Лаффера представляется весьма маловероятным применительно ко всем видам налоговых ставок, которые имеются в Соединенных Штатах. Однако в других странах, таких, как Швеция, налоговые ставки много выше, и имеются некоторые данные, свидетельствующие о том, что эффект Лаффера мог бы иметь место.

ПРИМЕР: Другое выражение для эластичности

Приведем другое выражение для коэффициента эластичности, которое иногда может быть полезным.

Оказывается, эластичность можно представить как

CCCC.

Доказательство этого предполагает повторяющееся применение цепного правила. Начнем с того, что обратим внимание на то, что

. (15.2)

Мы отметим также, что

DDDD

EEEE,

а это подразумевает, что

FFFF.

Подставляя это в уравнение (15.2), получаем

GGGG,

что и требовалось доказать.

Таким образом, коэффициент эластичности измеряет наклон кривой спроса, построенной на листке бумаги с логарифмическим масштабом, т.е. показывает, как изменяется логарифм количества при изменении логарифма цены.