A_I_Kostrikin_Yu_I_Manin_-_Lineynaya_Algebra_i

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

5

ортогональные многочлены

Часть 1. Линейные пространства и

7

§ 5. Евклидовы пространства

117

линейные отображения

§ 6. Унитарные пространства

126

§ 1. Линейные пространства

7

§ 7. Ортогональные и унитарные

133

§ 2. Базис и размерность

14

операторы

§ 3. Линейные отображения

21

§ 8. Самосопряженные операторы

137

§ 4. Матрицы

27

§ 9. Самосопряженные операторы

147

§ 5. Подпространства и прямые

38

в квантовой механике

суммы

§ 10. Геометрия квадратичных

155

§ 6. Факторпространства

47

форм и собственные значения

§ 7. Двойственность

51

самосопряженных операторов

§ 8. Структура линейного

54

§ 11. Трехмерное евклидово

163

отображения

пространство

§ 9. Жорданова нормальная форма

61

§ 12. Пространство Минковского

171

§ 10. Нормированные линейные

68

§ 13. Симплектические

181

пространства

пространства

§ 11. Функции линейных

74

§ 14. Теорема Витта и группа

185

операторов

Витта

§ 12. Комплексификация и

77

§ 15. Алгебры Клиффорда

189

овеществление

Часть 3. Аффинная и проективная

193

§ 13. Язык категорий

83

геометрия

§ 14. Категорные свойства

88

§ 1. Аффинные пространства,

193

линейных пространств

аффинные отображения и

Часть 2. Геометрия пространств со

93

аффинные координаты

скалярным произведением

§ 2. Аффинные группы

201

§ 1. 0 геометрии

93

§ 3, Аффинные подпространства

205

§ 2. Скалярные произведения

95

§ 4. Выпуклые многогранники и

212

§ 3. Теоремы классификации

102

линейное программирование

§ 4. Алгоритм ортогонализации и

110

§ 5. Аффинные квадратичные

215

функции и квадрики

линейные отображения тензорных

§ 6. Проективные пространства

220

произведений

§ 7. Проективная двойственность

226

§ 3. Тензорная алгебра линейного

264

и проективные квадрики

пространства

§ 8. Проективные группы и

230

§ 4. Классические обозначения

266

проекции

§ 5. Симметричные тензоры

271

§ 9. Конфигурации Дезарга и

239

§ 6. Кососимметричные тензоры и

275

Паппа и классическая проективная

внешняя алгебра линейного

геометрия

пространства

§ 10. Кэлерова метрика

243

§ 7. Внешние формы

285

§ 11. Алгебраические

245

§ 8. Тензорные поля

287

многообразия и многочлены

§ 9. Тензорные произведения в

291

Гильберта

квантовой механике

Часть 4. Полилинейная алгебра

254

Предметный указатель

297

§ 1. Тензорное произведение

254

линейных пространств

§ 2. Канонические изоморфизмы и

259

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Аксиома Дезарга 243

Аннулятор p-вектора 279

— Паппа 243

Антисимметриэация тензора 275

Аксиомы трехмерного проективного

Аппроксимация 114

пространства 241

Базис пространства 14

— проективной плоскости 242

— — гиперболический 186

Алгебра внешняя 192, 276, 277

— — двойственный 24

— гомологическая 88

— — жорданов 59

— Грассмана 192, 276

— — ортогональный 106

— Клиффорда 189

— — ортонормированный 106

— Ли 34, 38

— — симплектический 107

— — классическая 35

— тензорный 257

— — gl(n,K) 35

Базисы одинаково ориентированные

— —o(n,K) 35

46, 177

— — sl(n,K) 35

— — пространственно

— — su(n) 35

ориентированные 178

— — u(n) 35

Бозон 293

— над полем ассоциативная 189

Буст 179

— симметрическая 273, 274

Валентность тензора 264

— тензорная 266

Вектор грассмановых координат 282

Алгоритм ортогонализации Грама —

— касательный 287

Шмидта 111

— корневой 61

Альтернатива Фредгольма

— собственный 56

конечномерная 50

— состояния 130

Альтернирование тензора 275

— циклический 67

Амплитуда вероятности 131

Интервал времениподобный 172

Конфигурации в аффинном

— пространственноподобный 172

пространстве аффинно

— светоподобный 172

конгруэнтные 208

Карта аффинная 221

— — — — метрически конгруэнтные

Категория 83

208

— абелевых групп 83

— проективно конгруэнтные 232

— групп 83

Конфигурация 208

— дуальная 85

— Дезарга 240

— линейных пространств 83

— координатная 208

— множеств 83

— Паппа 240

— функторов 87

— проективная 232 Кообраз 50

Квадрат коммутативный 84

Координата тензора 267

Квадрика аффинная 219

Координаты аффинные 197

— полярная 227

— барицентрические 199

Кватернионы 168

— вектора 14

Клетка жорданова 58

— точки однородные 220

— циклическая 67

Коразмерность подпространства 49

Ковариация 126

Косокоммутативность 276

Кольцо градуированное 247

Коэффициент корреляции 126

Комбинация линейная 8

— Фурье 115

— — тензоров одинакового типа 268

Коядро 50

— точек барицентрическая 198

Критерий Сильвестра 113

Коммутатор 34

— цикличности пространства 67

— в K-алгебре Ли 38

Круг 71

— групповой 37

Лемма о змее 91

Комплекс 84

— Цорна 20

— ацикличный 85

Линия мировая инерциального

— точный 85

наблюдателя 172

— — в члене 85

Логарифм оператора 76

Комплексификация линейного

Матрица 27, 267

пространства 80

— антисимметричная 35

— проективного пространства 229

— антиэрмитова 35

Композиция морфизмов 83

— блочная 28

— функторов 87

— Грама 96

Компонента градуированного

— — положительно определенная

пространства однородная 246

113

— группы Лоренца 178

— диагональная 27

— тензора 267

— Дирака 36

Конец стрелки 83

— единичная 28

Конус асимптотических направлений

— жорданова 58

158

— квадратная 27

— световой 173

— композиции линейных

отображений 30

— контраградиентная 268

— линейно упорядоченное 19

— кососимметричная 35

— частично упорядоченное 19

— косоэрмитова 35

Множитель Лоренца 176

— линейного оператора 29

— фазовый 130

— — отображения 29

Модуль 248

— ортогональная 34, 134, 135

— градуированный 248

— Паули 36, 164

— конечно порожденный 249

— перехода 32

— нётеров 249

— псевдоортогональная 135

Монотонность размерности 18

— псевдоунитарная 135

Морфизм категории 83

— симметричная 35

— нулевой 84

— скалярная 28

— функторный 87

— транспонированная 28

Наблюдаемая 148

— треугольная верхняя 27, 28

— импульса 150

— — нижняя 28

— координаты 150

— унитарная 34, 135

— проекции спина 150, 167

— эрмитова 35

— энергии 150

— эрмитово антисимметричная 35

— — квантового осциллятора 150

— — симметричная 35

Направление 164

— сопряженная 34

Направления асимптотические 157

Медиана системы точек 212

Направленность времени 172

Метод наименьших квадратов 121

Начало стрелки 93

— Штрассена 37

Независимость линейная 16

Метрика 69, 96

Неравенство Коши —

— дискретная 69

Буняковского— Шварца 118, 128

— естественная 69

— Минковского 74

— кэлерова 244

— треугольника 118, 129

Многогранник 213

— — в обратную сторону 175

Многообразие алгебраическое 246

Норма вектора 70

— Грассмана 281, 283

— линейного оператора

Многочлен, аннулирующий оператор

индуцированная 72, 146

59

Оболочка аффинная 206

— Гильберта 252

— линейная 16

— Лежандра 116, 143

— проективная 223

— минимальный 60

Образ линейного отображения 26

— однородный 245

— обратный 86

Многочлен тригонометрический 114

Образующие конуса 158

— Фурье 114, 115, 143

— мультипликативные 189

— характеристический 56

Объект категории 83

— Чебышева 117, 145

— — инъективный 83

— Эрмита 117, 144

— — проективный 83

Множество выпуклое 71

Объем n-мерный 122

— измеримое 122

— — шарового кольца 125

—, инвариантное относительно

Проективизация 230

оператора 56

Проектор 42

— линейное 10

— самосопряженный 141

— направляющее 205

Проекция вектора ортогональная

—, натянутое на векторы 16

119

— невырожденное 102

— из центра 236

—, порожденное векторами 16

Произведение векторное 167

— проективное 223

— внутреннее 287

— собственное 56

— Кронекера 37

— состояний квантовой системы 129

— морфизмов 83

Подсемейство максимальное 17

— скалярное 96

Подъем индексов тензора 263, 270

— — антисимметричное 98

— поля скаляров 86, 258

— — невырожденное 99

Покрытие проективного

— — симметричное 98

пространства аффинное 220

— — симплектическое 98

Поле векторное 288

— — эрмитово 98

— тензорное 289

— — — симметричное 98

Положение общее подпространств 40

— тензорное 37

— — точек 233

— — линейных отображений 262

— равновесия механической системы

— — пространств 255

159

Производная по направлению 288

Полупространство 213

Пространства изометричные 99

Поляризация квадратичной формы 10

— изоморфные 23

Последовательность Коши 70

Пространство анизотропное 185

— линейных пространств точная 54

— аффинное 94, 193

— сходящаяся 70

— — евклидово 202

— точная 85

— банахово 70

— фундаментальная 70

— бесконечномерное 14

Постоянная Планка 151

— векторное 7

Правила Фейнмана 131, 132

— вероятностное конечное 126

Преобразование Кэли 146

— гильбертово 127

Приведение билинейной формы к

— гиперболическое 185

каноническому виду 109

— главное однородное 194

— квадратичной формы к

—, двойственное к данному 10, 51

каноническому виду 110, 111,

— евклидово 117

114

— касательное 288

— матрицы к каноническому виду

— когомологий 91

108

— комплексное сопряженное 81

Принцип неопределенности

— конечномерное 14

Гейзенберга 149

— координатное одномерное 8

— Паули 293

— — n-мерное 8

— проективной двойственности 226

— линейное 7

— суперпозиции 130, 292

— —, ассоциированное с аффинным

Расположение подпространств

пространством 193

взаимное 40

— — градуированное 246

Расстояние между множествами 119,

— — над телом 242

132

— — нормированное 70

— — точками 69

— — — полное 70

— от точки до подпространства 209

— метрическое 68, 69

Расширение группы аффинное 202

— — полное 70

Ряд абсолютно сходящийся 70

— Минковского 158, 171

— Пуанкаре 251

— нульмерное 8

— теории возмущений 154

— ортогональное одномерное

— Фурье 116

нулевое 101

Свертка тензора 262, 269

— — — отрицательное 101

— — по -индексам 263

— — — положительное 101

— — полная 263

— проективное 94, 220

Сдвиг 193

— — двойственное 226

Семейство векторов линейно

— — координатное n-мерное 220

зависимое 16

— — трехмерное вещественное 170,

— — — независимое 16

171

Сигнатура квадратичной формы 110

Пространство рефлексивное 26

— пространства 104

— симплектическое 181

Символ Кронекера 9

— сопряженное 10

Симметризация тензора 271

— спиноров 163

Симплекс замкнутый 201

— унитарное 126

— — вырожденный 201

— физическое инерциального

— (n—1)-мерный стандартный 201

наблюдателя 173

Система аффинных координат 197

— функций 8, 9

— координат барицентрическая 199

— циклическое 67

— — инерциальная 173

Прямая проективная 220

— образующих идеала 248

Пфаффиан 184

— — модуля однородная 249

Разбиение проективного

— уравнений нормальная 122

пространства клеточное 237

След линейного оператора 33

Разложение оператора полярное 147

Сложение матриц 29

— — спектральное 142

Сопряжение 33

Размерность алгебраического

— дифференциальных операторов

многообразия 253

формальное 143

— линейного пространства 14

Состояние вакуумное 294

— проективного пространства 220

— квантовой системы 130

Ранг матрицы 37

— — — базисное 131

— семейства векторов 16

— — — возбужденное 152

— скалярного произведения 99

— — — вырожденное 152

— тензора 264, 294

— — — основное 152

— — предельный 295

— — — стационарное 151

Спаривание пространств 51

Теорема Витта 186

— — каноническое 51

— Гамильтона — Кэли 60

Спектр квантовой системы

— Дезарга 257

энергетический 151

— инерции 105

— оператора 58

— о продолжении базиса 17

— — простой 58

Теорема о продолжении

— самосопряженного оператора 161

отображений 88, 89

Спуск поля скаляров 78

— — точности функтора 89, 90

Среднее арифметическое 13

— Паппа 241, 243

— взвешенное 14

— Фишера — Куранта 162

— квадратичное взвешенное 114

— Шаля 204

Статистика Бозе — Эйнштейна 293

— Эйлера 137

— Ферми 293

— Якоби 114

Степень внешняя 287

Теория возмущений 152

— вырождения 151

— Морса 160

— многообразия 253

— относительности специальная 171

Столбец матрицы 27

Тип тензора 264

Стрелка 83

Топология слабая 73

Строка матрицы 27

Точка аффинного пространства 193

Структура комплексная 78

— вещественная 230

— — каноническая 78

— внутренняя 213

— — сопряженная 81

— критическая 160

Сумма линейных отображений

— невырожденная 160

прямая 44

— проективного пространства 220

— подпространств 38

— центральная 216

— — прямая 41

Точность функтора тензорного

— — — внешняя 43

умножения 264

Суперпозиция 130

Тройка точная 85

Сфера 69

Углы Эйлера 170

Сходимость по норме 70

Угол между векторами 119, 129

Тело 242

— — прямой и аффинным

— кватернионов 168

подпространством 212

Температура 125

— — прямыми 212

Тензор 264, 268

Умножение внешнее 275

— антисимметричный 275

— матриц 30

— ковариантный 264

— на скаляр 22, 29

— контравариантный 264

— тензорное 265

— кососимметричный 275

Уравнение Шрёдингера 151

— Кронекера 268

Уровень энергетический 151

— метрический 267, 290

Условие Гильберта 13

— симметричный 271

— Коши 13

— смешанный 264

— линейное 10

— структурный 265, 268

Факторпространство 48