Не разобранные / Линейное программирование / шпоры / 1-16

Поскольку Х – допустимое решение, то для любой точки х Теорема 2. Если ОДР ЗЛП – ограниченная, а функция не ограничена сверху (снизу), то задача отыскания максимума f (минимума f) не имеет решений. Min f (max f) существует и достигается по крайней мере в одном из опорных решений. Теорема 3. Если max (min) достигается в нескольких опорных решениях х₁,х₂,…,х_l, то любая выпуклая линейная комбинация оптимальн. опорн. реш. есть также оптимальное решение.

Теоремы 1,2,3 можно обобщить в основную теорему линейного программирования. Основная теорема: если ЗЛП имеет оптим. реш., то оно совпадает, по крайней мере, с одним из опорных решений системы ограничительных уравнений. Основная теорема указывает схему, которая может быть использована при решении ЗЛП.

Схема решения ЗЛП.

1. Найти все опорные решения.

2. Подсчитать значения линейной функции на каждом опорном решении.

3. Сравнивая найденные значения, установить опорн. реш.

Недостаток схемы: нужно исследовать каждое опорное решение. Эта схема предполагает беспорядочный перебор опорных решений. ***Симплексный метод предполагает упорядоченный перебор опорных решений так, что на каждом следующем опорном решении значение функции ближе к оптимальному решению, чем предыдущее (идея последовательного улучшения решения).

Три элемента симплексного метода:

1. Нахождение исходного опорного решения.

2. Правило перехода к следующему, лучшему опорному решению.

3. Критерий, который позволяет установить оптимальность опорного решения или необходимость его дальнейшего улучшения, или отсутствия решения.

14.Симплексный метод решения задачи линейного программирования: Теорема о возможности «улучшить» решение. Схема решения ЗЛП.

1. Найти все опорные решения.

2. Подсчитать значения линейной функции на каждом опорном решении.

3. Сравнивая найденные значения, установить опорн. реш.

Недостаток схемы: нужно исследовать каждое опорное решение. Эта схема предполагает беспорядочный перебор опорных решений. Симплексный метод предполагает упорядоченный перебор опорных решений так, что на каждом следующем опорном решении значение функции ближе к оптимальному решению, чем предыдущее (идея последовательного улучшения решения).

Три элемента симплексного метода: *Нахождение исходного опорного решения. *Правило перехода к следующему, лучшему опорному решению. *Критерий, который позволяет установить оптимальность опорного решения или необходимость его дальнейшего улучшения, или отсутствия решения.

Определение. Говорят, что ЗЛП приведена к симплексной форме, если сис. ограничительных уравнений разрешена относительно базисных неизвестных, свободные члены уравнений «≥0», а линейная функция выражена через свободные неизвестные. ← Отыскав исходн. опорн. реш., и получив приведённое выражение лин. функции, мы привели ЗЛП к симплексной форме.

Теорема.Пусть ЗЛП записана в симплексной форме, тогда:

1⁰. и в каждом столбце с такой оценкой имеем хотя бы один положительный элемент, тогда решение можно улучшить, т.е. перейти к опорному решению Х₁, в котором значение линейной функции будет больше

2⁰. Существует отрицательная оценка свободных переменных такая, что столбец которой не содержит положительных элементов, то ЗЛП не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции в ОДР.

3⁰. Все оценки свободных переменных «≥0». В этом случае соответствующее опорное решение будет оптимальным.

Все

15.Симплексный метод решения задачи линейного программирования: Критерий оптимальности опорного решения. Схема решения ЗЛП.

Найти все опорные решения.

Подсчитать значения линейной функции на каждом опорном решении.

Сравнивая найденные значения, установить опорн. реш.

Недостаток схемы: нужно исследовать каждое опорное решение. Эта схема предполагает беспорядочный перебор опорных решений. *Симплексный метод предполагает упорядоченный перебор опорных решений так, что на каждом следующем опорном решении значение функции ближе к оптимальному решению, чем предыдущее (идея последовательного улучшения решения. Три элемента симплексного метода: *Нахождение исходного опорного решения. *Правило перехода к следующему, лучшему опорному решению. *Критерий, который позволяет установить оптимальность опорного решения или необходимость его дальнейшего улучшения, или отсутствия решения. Определение. Говорят, что ЗЛП приведена к симплексной форме, если сис. ограничительных уравнений разрешена относительно базисных неизвестных, свободные члены уравнений «≥0», а линейная функция выражена через свободные неизвестные. ← Отыскав исходн. опорн. реш., и получив приведённое выражение лин. функции, мы привели ЗЛП к симплексной форме. Теорема.Пусть ЗЛП записана в симплексной форме, тогда: 1⁰. и в каждом столбце с такой оценкой имеем хотя бы один положительный элемент, тогда решение можно улучшить, т.е. перейти к опорному решению Х₁, в котором значение линейной функции будет больше 2⁰. Существует отрицательная оценка свободных переменных такая, что столбец которой не содержит положительных элементов, то ЗЛП не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции в ОДР. 3⁰. Все оценки свободных переменных «≥0». В этом случае соответствующее опорное решение будет оптимальным. Все Док-во: П.3. Все оценки Пусть Х₀ – соответствующее опорное решение. Требуется доказать, что для любого другого опорного решения Х₁

Признак существования множества оптимальных решений Если все оценки свободн. перем. , то введение любой переменной в базис приведёт к уменьшению функции f, т.к. и, следовательно, существует только одно оптимальное решение. Если же какая-то оценка свободной переменной окажется равной нулю , то введение переменной х_s в базис не изменит значение линейной функции f, т.к. будет «=0», и поэтому можно перейти к новому опорному решению, для которого , т.о. признаком существования множества решений является наличие хотя бы одной нулевой оценки свободных переменных при неотрицательности всех остальных оценок. Если нулевых оценок окажется несколько, то введением в базис кажд. из соотв. своб. перем. можно найти несколько оптимальных решений.

16.Симплексный метод решения задачи линейного программирования: Теорема об условии, при котором задача не имеет решения. Определение. Говорят, что ЗЛП приведена к симплексной форме, если сис. ограничительных уравнений разрешена относительно базисных неизвестных, свободные члены уравнений «≥0», а линейная функция выражена через свободные неизвестные. ← Отыскав исходн. опорн. реш., и получив приведённое выражение лин. функции, мы привели ЗЛП к симплексной форме. Теорема. Пусть ЗЛП записана в симплексной форме, тогда:

1⁰. и в каждом столбце с такой оценкой имеем хотя бы один положительный элемент, тогда решение можно улучшить, т.е. перейти к опорному решению Х₁, в котором значение линейной функции будет больше 2⁰. Существует отрицательная оценка свободных переменных такая, что столбец которой не содержит положительных элементов, то ЗЛП не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции в ОДР. 3⁰. Все оценки свободных переменных «≥0». В этом случае соответствующее опорное решение будет оптимальным.Все Доказательство: П.2. Пусть ЗЛП приведена к симплексной форме, и система ограничительных уравнений разрешена относительно базисн. неизв., и все свободные члены неотрицательны.

Построим какое-либо неотрицательное решение Х системы .Возьмём для своб. перем. следующие неотрицательные значения. Из системы найдём значения базисн. неизв. Получим неотриц. реш. системы . Теперь, используя приведённое выражение для линейной функции, мы получим значение линейной функции на построенном решении. Из этого равенства видно, что если переменной x_s придать сколь угодно большие значения, то значение лин. функции можно сделать сколь угодно большим положительным числом, т.о. линейная функция не ограничена сверху в ОДР.Теорема. Если ОДР задачи линейного программирования ограниченная, то оптимальное решение существует и совпадает хотя бы с одним из опорных решений системы ограничительных уравнений. (доказать)

Теорема. Если максимум линейной функции достигается в нескольких опорных решениях Х1, Х2…,Хi, то любая выпуклая линейная комбинация оптимальных опорных решений есть также оптимальное решение. (доказать)