ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

Раздел 1 Матрицы и определители

Формулировки

1. Матрица и ее виды – треугольная, диагональная.

2. Матрица и ее виды - симметричная, кососимметричная.

3. Матрица и ее виды – ортогональная, инволютивная, идемпотентная.

4. Элементарные преобразования над матрицей, ступенчатая матрица

5) Определение линейного пространства над полем К.

6) Транспонированная, обратимая и обратная матрица

7) Определитель n-го порядка

8) Свойства определителя (формулировка не менее 6-ти свойств)

9) Минор элемента и алгебраическое дополнение

10) Взаимная и обратная матрица

Доказательства

1. Любая матрица представима в виде суммы симметричной и кососимметричной (n=2)

2. Показать, что если матрица обладает двумя из свойств: симметричная,

ортогональная, инволютивная, то она обладает и третьим свойством.

3. Доказать, что (А + В)С = АС + ВС и А(ВС) = (АВ)С

4. Доказать, что (АВ)^Т= В^ТА^Т

5. Показать, что пространство матриц является линейным пространством

6. Доказательство одного из свойств определителя (из доказанных на лекции)

7. Каждая ортонормированная матрица имеет обратную матрицу.

8. Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

9. Теорема о взаимной матрице

10. Доказательство единственности обратной матрицы

Раздел 2. Системы алгебраических уравнений

Формулировки

1. Однородная и неоднородная система линейных уравнений и их решение.

2. Несовместная, совместная, определенная и неопределенная системы уравнений.

3. Частное и общее решение системы. Равносильные системы.

4) Минор k-ого порядка матрицы

5) Определение ранга матрицы

6) Определение базисных строк и столбцов матрицы.

7. Элементарные преобразования над строками матрицы, трапециевидные матрицы

8. Свойства элементарных преобразований над строками матрицы ( 3 свойства )

9. Элементарные преобразования системы линейных уравнений ( 3 свойства )

10)Определение базисных и свободных переменных, фундаментальной совокупности

решений, частного и общего решения неоднородной системы.

11. Формулировка Теоремы о числе решений

12)Альтернативы Фредгольма

Доказательства

1) Доказательство теоремы Крамера

2) Доказательство эквивалентности метода обратной матрицы и формул Крамера

3) Если ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных, то система АХ=0 имеет

единственное (тривиальное) решение.

4. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и

достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

5. Однородная система n уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение тогда и

только тогда, когда определитель этой системы был равен нулю.

6. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы

число уравнений системы было меньше числа неизвестных.

7. Теорема Кронекера – Капелли - необходимое условие

8. Теорема Кронекера – Капелли - достаточное условие

Практические задачи

1. Нахождение обратной матрицы ( при n = 3)

2. Нахождение коммутирующей матрицы ( при n = 2)

3. Пример на альтернативы Фредгольма ( для систем 2 х 3 или 3 х 4)

4. Пример на нахождение ранга матрицы ( для матриц 4 Х 4)

5. Пример на построение фундаментальной совокупности решений

Раздел 3. Векторная алгебра

ФОРМУЛИРОВКИ

1. Координатное определение вектора, сумма и произведение векторов

2) Скалярное произведение векторов и свойства скалярного произведения, длина вектора и угол

3) Определение Векторного произведения векторов

4) Представление векторного произведения через определитель координатной матрицы

5) Определение Смешанного произведения векторов

6) Запись условия компланарности векторов в матричной форме

7) Представление смешанного произведения через определитель координатной матрицы.

8) Ортогональная и ортонормированная система векторов

9) Линейная комбинацией системы векторов

10)Линейно зависимая система векторов и ее свойства (не менее 4-х)

11) Линейно независимая система векторов и ее свойства (не менее 3-х)

12) Базис векторного пространства и представление вектора через базис

13) Координатная матрица и матрица перехода от базиса к базису

14) Линейная оболочка заданной конечной совокупности векторов

15) Свойства линейной оболочки (не менее 3-х):

16) Выражение для скалярного произведения векторов в данном базисе в

координатной и матричной форме.

17) Определители Грама и Ван дер Монда.

18) Общая формула последовательной ортогонализации системы (метод Грама-Шмидта)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

1) Неравенство Коши – Буняковского

2) Единственность разложения вектора по базису.

3) Доказать, что любая ортонормированная система n векторов в Rⁿ образует базис.

4) Вывод формулы нахождения координат вектора при смене базисного вектора

5) Вывод формулы нахождения координат вектора при смене всего базиса.

6) Доказательство теоремы Грама-Шмидта

ПРИМЕРЫ

1) Нахождение координаты вектора, используя свойства скалярного произведения

2. Разложение вектора в ортогональном базисе

3) Пример на пересчет координат вектора при смене одного базисного вектора (n=3)

4) Пример на пересчет координат вектора при смене всего базиса (n=3)

5. Пример на нахождение матрицы перехода между двумя базисами (n=3)

6) Установить линейную независимость системы в пространстве многочленов Р₂ степени не выше 2-х.

Раздел 4 Линейные и квадратичные формы

ФОРМУЛИРОВКИ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

1) Определение числовой функцией векторного аргумента

2) Определение линейного функционала векторного аргумента

3) Определение линейной формы.

4) Определение линейного многообразия или гиперплоскости.

5) Определение квадратичной формы

6) Матрично-векторное представление квадратичной формы ( с доказательством)

7) Теорема о линейном преобразовании квадратичной формы ( с доказательством)

8) Диагональная квадратичная форма

9) Формулировка теоремы Лагранжа

10) Закон инерции квадратичной формы:

11) Определение собственного числа и вектора матрицы , их свойства

12) Характеристический многочлен матрицы.

13) Доказательство теоремы о связи квадратичной формы с характеристическим многочленом

14) Положительно и отрицательно определенная квадратичная форма.

15) Критерий Сильвестра

16) Принцип установления знакоопределенности квадратичной формы

17) Доказательство теоремы о связи собственных значений и корнях характеристического многочлена

ПРИМЕРЫ

1) Нахождение квадратичной формы по симметричной матрице и обратная операция

2) Исследование квадратичной формы на знакоопределенность ( при n = 3)

Раздел 5 Элементы аналитической геометрии

ФОРМУЛИРОВКИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Уравнение прямой на плоскости, виды уравнений

2. Основные задачи на прямую в R²

3. Определение гиперплоскости 2-го порядка и уравнение кривых второго порядка

4. Теорема о сведении кривых второго порядка и главный дискриминант кривой

5. Эллипс, гипербола и парабола. Их уравнения, фокус, эксентрисетет

6) Координатная и векторная форма уравнения плоскости в пространстве R³

7) Уравнение прямой в пространстве R³ (базовое и параметрическое)

8) Уравнение прямой, как пересечение двух плоскостей

9) Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в R³

10) Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей в R³

11)Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в R³

12. Углы: между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями, между двумя прямыми

13)Определение гиперплоскости 2-го порядка и уравнения поверхности 2-го порядка

14) Главный дискриминант поверхности 2-го порядка.

15) Теорема о сведении уравнения поверхности 2-го порядка к основным поверхностям.

16) Классификация поверхностей 2-го порядка ( по 3-м типам поверхностей)

17) Алгебраические поверхности (три вида формул и рисунки)

18) Конические поверхности (три вида формул и рисунки)

19) Цилиндрические поверхности (три вида формул и рисунки)