7. Двойной интеграл.
Найдите
интеграл
.
Сравните результат с объемом
соответствующего тела.
7.1.
,
.
7.2.
,
.
7.3.
,
.
7.4.
,
.
7.5.
,
.
7.6.
,
.
7.7.
,
.
7.8.
,
.
7.9.
,
.
7.10.
,
.
7.11.
,
.
7.12.
,
.
Изобразите
область
и найдите интеграл
.
Объясните совпадение ответов в пунктах
а и б.
7.13.
а)
,
.
б)
,
.
7.14.
а)
,
.
б)
,
.
7.15.
а)
,
.
б)
,
.
7.16.
а)
область D
ограничена
линиями
,
,
,
.
б)
область D
ограничена
линиями
,
,
,
7.17.
а)
область D
ограничена
линиями
,
,
,
.
б)
область D
ограничена
линиями
,
,
,
Изобразите область интегрирования на плоскости. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле
7.18.
.
7.19.
.
7.20.
.
7.21.
.
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.
Изобразите область интегрирования на плоскости. Измените порядок интегрирования и найдите интеграл.
7.27.
.
7.28.
.
8. Дополнительные задачи.
8.1.
Найдите все
точки
,
для которых векторы
и
коллинеарны и
,
если задана точка
.
8.2.
Найдите время
,
необходимое для перехода из точки
в точку
объекта, движущегося со скоростью
.
8.3.
Объект, двигаясь
по плоскости последовательно со
скоростями
и
,
попадает из точки
в точку
.
Найдите соответствующие временные
интервалы
и
,
а также точку
смены скоростей
на
.
8.4.
Объект, двигаясь
последовательно со скоростями
,
и
,
попадает из точки
в точку
.
Найдите соответствующие временные
интервалы
,
и
,
а также точки
и
смены скоростей
на
и
на
.
8.5.
Найдите
величину параметра
,
если угол между векторами
и
равен
.
8.6.
Найдите
величину параметра
,
если угол между векторами
и
равен
.
8.7.
Найдите
величину параметра
,
если угол между векторами
и
равен
.
8.8.
Найдите
величину параметра
,
если угол между векторами
и
равен
.
8.9.
Найдите
косинус угла между вектором
и вектором
– проекцией вектора
на координатную плоскостьxOy.
8.10. Найдите каноническое уравнение прямой, полученной отражением прямой
относительно
координатной плоскости yOz.
8.11.
Найдите
параметрическое уравнение прямой,
полученной отражением прямой
относительно координатной осиOz.
8.12.
Найдите
уравнение плоскости, полученной
отражением плоскости
относительно координатной плоскостиxOz.
8.13.
Найдите
уравнение плоскости, полученной
отражением плоскости
относительно координатной осиOx.
8.14.
На прямой
взяты две точкиA
и B
на расстоянии
друг от друга. На каком расстоянии друг
от друга лежат их проекции
и
на ось
?
8.15. При каких значениях параметра x площадь параллелограмма, построенного на векторах (x; 3) и (3; 4), больше площади параллелограмма, построенного на векторах (2; 3) и (3; 4)?
8.16.
При каких
значениях параметра p
объем параллелепипеда, построенного
на векторах 
,
и 
меньше объема параллелепипеда,
построенного на векторах 
,
и 
?
8.17.
Найдите
расстояние от сферы
до точки
.
8.18.
Найдите
расстояние от сферы
до сферы
.
.
8.19.
Найдите
расстояние от сферы 
до сферы 
.
8.20.
Найдите точку
касания сфер 
и 
.
8.21.
Найдите точку
касания сфер 
и 
.
8.22.
Найдите
расстояние от сферы
до плоскости
.
8.23.
При каких значениях параметра
плоскость
касается сферы
.
8.24.
Найдите радиус
r
окружности, по которой сфера
пересекается с плоскостью
.
8.25.
Дан бесконечный
конус с вершиной
,
осью {
;
;
;
}
и углом при вершине
таким, что
.Найдите
а) уравнение поверхности (боковой) этого конуса.
б) условие на координаты точек его внутренней части.
8.26.
Найдите
,
если
.
(Указание: считайте матрицу
матрицей коэффициентов систем линейных
уравнений, с соответствующими правыми
частями).
8.27.
Исследовать совместность следующих
систем уравнений в зависимости от
параметра
8.28.
Найдите
,
если
при
.
8.29.
Используя
только определение производной, действия
с ней и табличные производные, найдите
.
8.30. Используя только определение производной, действия с ней и табличные производные, найдите xπ/4lim , если f(π/4) =2, f(1) = 3, f (π/4) = 4, f (1) = 5.
8.31. Используя только определение производной, действия с ней и табличные производные, найдите xπ/4lim , если f(π/4) =2, f(1) = 3, f (π/4) = 4, f (1) = 5.
8.32.
Найдите
,
если
при
.
8.33.
Дана эластичность
функции 
.
Найдите предел эластичности
при
,
если
.
Сравните результат с эластичностью
,
где
при
.
8.34.
Найдите предел
эластичности
при
,
если
.
Сравните результат с эластичностью
,
где
при
.
8.35.
Известно, что
,
и
.
Чему равно значение
?
8.36.
Известно, что
,
,
и
.
Чему равно значение
?
8.37.
Найдите
,
если
,
где
.
8.38.
Найдите
,
если
,
где
.
8.39.
Вычислите
дробь
,
еслиh(x)
= g(3x).
8.40.
Вычислите
дробь
,
еслиg(x)
= ln
h(x).
8.41.
Зависимость
от
задана параметрически, причем
и
.
Найдите
при
.
8.42.
Зависимость
от
задана параметрически, причем
и
.
Найдите
при
.
8.43. К графику функции y = 0,5 (x – 2)6 в точке M(3; 0,5) проведена касательная. На касательной взяты точки A и B с разностью проекций на ось Ox равной 5.
а)Найдите разность их проекций на ось Oy.
б) Найдите квадрат расстояния между точками A и B.
в) Найдите тангенс угла наклона касательной к оси Ox при выборе разного масштаба на координатных осях: |OB| = |OA|, если A(20,0), B(0,30).
8.44. Прямая l получена зеркальным отражением касательной из предыдущей задачи относительно прямой y = x. Найдите квадрат расстояния между точками A и B, находящимися на прямой l, если разность их проекций на ось Ox равна 6.
8.45.
Зависимость
задана неявно уравнением
.
Найдите параметр
в уравнении
касательной к графику
в точке
,
если
,
,
,
.
8.46.
Найдите
точку минимума функции
,
если
– монотонно убывающая функция, не
имеющая критических точек.
8.47.
Найдите
точку максимума функции
,
если
– монотонно убывающая функция, не
имеющая критических точек.
8.48. Найдите множество всех возможных значений f(180), если
f(0) = 0 и 1 ≤ f (x) ≤ 2 при всех x[0; 180].
8.49. Найдите множество всех возможных значений f(180), если f(400) = 500 и 1 ≤ f (x) ≤ 2 при всех x[180; 400].
8.50. Найдите множество всех возможных значений f(180), если f(0) = 0, f(400) = 500 и 1 ≤ f (x) ≤ 2 при всех x[0; 400].
8.51.
Найдите
сумму ординат всех точек пересечения
асимптот графика
.
.
8.52.
Найдите
сумму ординат всех точек пересечения
асимптот графика
.
8.53. Найдите множество всех возможных значений f(2), если f(0) = 0, f (0) = 1 и 1 ≤f (x) ≤ 6x2+ 1 при всехx[0; 2].
8.54.
Функция
определена и имеет непрерывную вторую
производную при всех
.
График функции
имеет асимптоту
при
и
при
.
Кроме того,
при всех
.
Изобразите эскиз графика
и оцените возможные значения
.
8.55.
Функция
определена и имеет непрерывную вторую
производную при всех
.
График функции
имеет асимптоту
при
и
при
.
Кроме того,
при всех
.
Изобразите эскиз графика
и оцените возможные значения
.
8.56.
Напишите
разложение многочлена четвертой степени
по степеням
,
используя формулу Тейлора. Найдите
,
если
,
,
,
и
.
8.57.
Напишите
разложение многочлена четвертой степени
по степеням
,
используя формулу Тейлора. Найдите
,
если
,
,
,
и
.
8.58.
Используя
стандартные разложения функций
,
,
по формуле Маклорена по степеням
,
найдите наклонные асимптоты следующих
функций
а)
б)
в)
8.59.
Вычислив производную
,
найдите
.
8.60.
Вычислив производную
,
найдите
.
8.61.
Известно, что
и
.Найдите
.
8.62.
Известно, что
и
.Найдите
.
8.63.
Известно, что
и
– первообразная функции
.
Найдите
,
если
,
и
.
8.64.
Известно, что
и
– первообразная функции
.
Найдите
,
если
,
и
.
8.65.
Известно, что
и
.
Найдите
,
если
,
,
,
,
.
8.66.
Известно, что
и
.
Найдите
,
если
,
,
.
8.67.
Известно, что
,
где
– первообразная функции
.
Найдитеa,
b,
c,
d,
если
.
8.68.
Выразите через определенный интеграл
и найдите
,
если
,
а функция
имеет непрерывную первую производную
и
при
.
8.69.
Выразите через определенный интеграл
и найдите
.
8.70.
Выразите через определенный интеграл
и найдите
.
8.71.
Функция
непрерывна и монотонно возрастает на
отрезке
.
Найдите интервал
возможных значений
,
если
,
,
,
,
.
Укажите графически функцию
так, чтобы:
а)
;
б)
;
в)
.
8.72.
Функция
непрерывна и монотонно убывает на
отрезке
.
Найдите интервал
возможных значений
,
если
,
,
,
,
.
Укажите графически функцию
так, чтобы:
а)
;
б)
;
в)
.
8.73.
Найдите
экстремумы функции
(g(x)
– непрерывная функция).
8.74.
Известно, что
– непрерывная функция,
,
,
и
.Найдите
g(0).
8.75.
Известно, что
– непрерывная функция,
,
,
и
.Найдите
g(2).
8.76.
Известно, что
.
Найдите
.
8.77.
Известно, что
.
Найдите
,
если
,
,
,
.
8.78.
Известно, что
.
Найдите
,
если
,
.
8.79.
Найдите
,
если
,
и
.
8.80.
Найдите
,
если
,
и
.
8.81.
Найдите определенный интеграл
,
если
,
где
– заданная функция.
8.82.
Известно, что
,
где
и
,
,
,
,
.
а)
Найдите параметр
,
если
.
б)
Найдите параметр
,
если
.
в)
Найдите параметр
,
если
.
г)
Найдите параметр
,
если
.
8.83.
Пусть функция
дифференцируема. Докажите, что
при
и найдите
.
8.84.
Пусть функция
дифференцируема и
.
Докажите, что
при
(
).
Найдите
.
8.85.
Известно,
что
при
(
,
).
Докажите, что функция
дифференцируема и найдите
.
8.86.
Пусть функция
дифференцируема. Докажите, что
при
и найдите
.
8.87.
Пусть функция
дифференцируема, и все ее частные
производные первого порядка положительны.
Докажите, что
при
и найдите
.
8.88.
Пусть функция
дифференцируема. Докажите, что
при
и найдите
.
8.89.
Пусть функция
дифференцируема, и все ее частные
производные первого порядка отрицательны.
Докажите, что
при
и найдите
.
8.90.
Используя
определение дифференциала, найдите
частные производные
и
,
если
и
.
8.91.
Дана
дифференцируемая функция двух переменных
.
Известно, что
,
,
,
где А(2; 6),B(2.03;
6,02), C(2,02;
5.97). Заменяя приращение функции
дифференциалом, найдите приближенно
частные производные точке в A.
8.92.
Пусть функция
имеет непрерывные частные производные
2-го порядка в точке
,
и
.
Докажите, что
при
и найдите
.
8.93.
Пусть функция
имеет положительные непрерывные частные
производные 2-го порядка в точке
,
и
.
Докажите, что
при
и найдите
.
8.94.
Функция
имеет отрицательные непрерывные частные
производные 2-го порядка в точке
,
и
.
Докажите, что функция
имеет локальный максимум при
.
8.95.
Известно,
что
при
.
Найдите производную функции
в точке
по направлению вектора
.
8.96.
Известно,
что
при
.
Найдите производную функции
в точке
по направлению вектора
.
8.97.
Известно,
что
при
.
Найдите производную функции
в точке
по направлению вектора
.
8.98.
Известно,
что
при
.
Найдите производную функции
в точке
по направлению вектора
.
8.99.
Известно,
что
при
.
Найдите производную функции
в точке
по направлению вектора
.
8.100.
Известно,
что
при
.
Найдите производную функции
в точке
по направлению вектора
.
8.101.
Найдите производную функции
,
по направлению
в точке
,
если
.
8.102.
Найдите производную функции
,
по направлению
в точке
,
если
.
8.103.
Градиент функции
задан на оси
:
.
Найдите в точках оси
производные функции
по направлению оси
и исследуйте функцию
на условный экстремум на линии условия
.
8.104.
Градиент функции
задан на оси
:
.
Найдите в точках оси
производные функции
по направлению оси
и исследуйте функцию
на условный экстремум на линии условия
.
8.105. Исследуйте, используя “окаймленный” гессиан, точку A на условный экстремум, если в этой точке первый дифференциал функции Лагранжа L(A,λ) равен нулю, а второй: d 2 L(A,λ) = 7(dx)2 – 4dxdy – 5(dy)2 – 2dxdλ+ 6dydλ.
8.106. Исследуйте точку A на условный экстремум, если в этой точке первый дифференциал функции Лагранжа L(A,λ) равен нулю, а второй:
d 2 L(A,λ) = 2(dx)2 – 20dxdy – 5(dy)2 + 4dxdλ – 10dydλ.
8.107. На линии условия φ(x; y) = 2x + y – 1 = 0 в семи точках даны градиенты функции двух переменных f(P) = f(x; y): в точке A(-3;7) градиент равен (3;1), в точке B(-2;5) – (2;1), в C(-1;3) – (3;1), в D(0;1) – (4;2), в E(1;-1) – (1;1), в F(2;-3) – (6;3), в G(3;-5) – (3;1). Все точки “подозрительные” на условный экстремум находятся среди указанных. Найдите эти точки и исследовать их на условный экстремум.
Найдитеобщее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
8.108.
а)
б)
в)
г)
,
если из соотношения
следует, что
Решите задачу Коши
8.109.
а)
,
,
если
.
б)
,
,
если
,
.
в)
,
,
если 
.
8.110.
Найдите общее решение однородного
дифференциального уравнения
,
если
а)
б)
8.111.
Проверьте, что общее решение
линейного дифференциального уравнения
имеет вид
,
где
– частное решение исходного уравнения,
а
– общее решение уравнения
.
8.112.
Используя результат предыдущей задачи,
найдите общее решение
линейного дифференциального уравнения
а)
б)
8.113.
При каких значениях 
и 
функция 
является общим
решением уравнения 
?
8.114.
Найдите общее решение
линейного дифференциального уравнения
второго порядка
8.115.
Найдите решение задачи Коши:
,
,
,
если
.