Логвенков с.А., Мышкис п.А. Самовол в.С.

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии

Москва

Издательство МЦНМО

2011

Логвенков С.А. Мышкис П.А. Самовол В.С.

Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии. – М.: МЦНМО, 2011. 39 с.

ISBN 978-5-94057

Сборник задач составлен в соответствии с программой по математическому анализу для подготовки студентов, обучающихся по специальности менеджмент, социология, политология. Содержит задачи по следующим темам: область определения, линии уровня функции нескольких переменных, частные производные, производная сложной функции, градиент, производная по направлению, первый и второй дифференциал, касательная плоскость, приближенные вычисления, формула Тейлора, локальный экстремум функции нескольких переменных, локальный условный экстремум функции нескольких переменных, двойные интегралы, задачи из различных разделов математического анализа, простейшие дифференциальные уравнения.

ISBN 978-5-94057 © Коллектив авторов

© Издательство НЦНМО, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 4

1 Область определения, линии уровня функции нескольких переменных 5

2. Частные производные. Производная сложной функции.

Градиент. Производная по направлению 7

3. Первый и второй дифференциал. Касательная плоскость 15

4. Приближенные вычисления. Формула Тейлора 21

5. Локальный экстремум функции нескольких переменных 24

6. Локальный условный экстремум функции нескольких

переменных 26

7. Двойной интеграл 31

8. Дополнительные задачи 35

Ответы 52

Предисловие.

Настоящий сборник задач посвящен прежде всего одному из важнейших разделов высшей математики - основам дифференциального и интегрального исчисления функций нескольких переменных. Кроме того, в него включены некоторые задачи из других разделов математического анализа, а также первичные сведения о дифференциальных уравнениях. Сборник составлен в соответствии с программами курса «Алгебра и анализ», читаемого на различных факультетах НИУ-ВШЭ. Изложение материала в предлагаемом сборнике ориентировано на углубленное изучение фундаментальных математических идей и методов, широко применяемых в исследовании социально-экономических процессов и явлений.

Для облегчения восприятия и удобства пользования весь материал разбит на отдельные разделы. Здесь прежде всего представлены задачи, связанные с освоением техникой дифференцирования функций нескольких переменных и нахождения экстремумов этих функций. Отдельный раздел посвящен двойным интегралам. Последний раздел сборника содержит задачи из некоторых других областей математического анализа, а также задачи по дифференциальным уравнениям. Большая часть задач снабжена ответами.

При подборе примеров и задач привлекались разнообразные источники и, прежде всего, те книги, которые вошли в приведенный в конце сборника библиографический список.