2 База МАТ.АН. 12.13
.pdf
—1 x sin x C
2
Интеграл tg2xdx равен
—tgx x C
—ctgx x C
—tg3x C
3
— ctg2x C
Интеграл esin x cosxdx равен
—ecos x sin x C
—esin x C
—esinx C
—esin x sin x C
Интеграл e 3xdx равен
—1e 3x C
3
—1e 3x C
3
—e 3x C
—3e 3x C
Интеграл sin2 xdx равен
—1(x sin 2x) C 2
—1(x 1sin2x) C
2 2
—sin3 x C
3
— cos3 x C
3
Интеграл |
|
|
|
xdx |
|
равен |
|||||
4 x |
2 |
||||||||||
|
1 |
|
|
||||||||
— |
|
|
|
C |
|
|
|||||
|
2(4 x2)2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
— |
1 |
ln |
|
4 x2 |
|
|
C |
|
|
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
—12ln 4 x2 C
—2ln 4 x2 C
Интеграл |
|
2x 3 |
dx равен |
x2 |
|
||
|
3x 5 |
||
—ln x2 3x 5 C
—1 ln x2 3x 5 C 2
—ln x2 3x x2 x C
5
1
— 2 x2 3x 5 2 C
Интеграл dx равен tgx
—lntgx C
—ctgx C
—lnsinx C
—lnsinx C
Интеграл dx равен ctgx
—lnctgx C
—tgx C
—lncosx C
—lncosx C
Интеграл dx равен tg2 x
—tgx x C
—ctgx x C
—1 C
tgx
— tgx x C
Интеграл |
dx |
равен |
|
3x 2 3 |
|||
|
|
1
— 2 3x 2 2 C
— ln3x 23 C
1
— 6 3x 2 2 C
1
— 12 3x 2 4 C
Интеграл |
|
|
dx |
|
равен |
|
|
|
|
||||
5 4x |
||||||
|
|
|
||||
—
5 4x C
2
—12ln 5 4x C
1
— 
C
6
5 4x 3
— 2
5 4x C
Интеграл |
|
xdx |
|
равен |
|
|
|
||
|
||||
|
|
9 x2 |
||
—arcsin x C 3
—
9 x2 C
—
9 x2 C
4
—
9 x2 C
Интеграл xcos xdx равен
—xsinx cosx C
—xsinx cosx C
—xsinx cosx C
—xsinx cosx C
ТЕМА 9. Определенные, несобственные и кратные интегралы
Если функция интегрируема на отрезке a;b , где a b, и m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения на отрезке a;b , то
b
— m(b–a)≤ f (x)dx≤M (b–a)
a
b
— m(a–b)≤ f (x)dx≤M (a–b)
a
a
— m(b–a)≤ f (x)dx≤M (b–a)
b
b
— M (b–a)≤ f (x)dx≤m(b–a)
a
Функция y f (x)интегрируема на отрезке a;b , если она
—непрерывна на этом отрезке
—монотонна на этом отрезке
—неотрицательна на этом отрезке
—положительна на этом отрезке
Значение определенного интеграла зависит
—только от отрезка a;b
—только от подынтегральной функции f (x)
—от отрезка интегрирования a;b и от подынтегральной функции f (x)
—от способа вычисления определенного интеграла
Если функция f (x)интегрируема и неотрицательна на a;b , гдеa b, то значение определенного интеграла будет
—положительным
—неотрицательным
—отрицательным
—любым
Теорема о среднем значении определенного интеграла выполняется, если функция
—имеет конечное число точек разрыва первого рода
—ограничена на отрезке a;b
—неотрицательна на a;b
—непрерывна на отрезке a;b
Несобственный интеграл f (x)dxсходится, если
a
b
— Lim f (x)dx
b a
b
— Lim f (x)dx – конечное число
b a
b
— Lim f (x)dx
b a
b
— Lim f (x)dx не существует
b a
Если F(x) – первообразная к функции f(x) на [a,b], то значение определенного интеграла
b
f (x)dxравно
a
— F(a)–F(b)
— F(x)+С
— F(b)–F(a)
— F(x)–С
8 |
3 |
Функция f(x) интегрируема на отрезке [1;8], f (x)dx 13 |
и f (x)dx 4. Тогда |
1 |
1 |
8
интеграл f (x)dx равен
3
— 9
— –9
— 17
— –17
a
Интеграл f (x)dx равен
a
— 0
— 2f(a)
— 2a
— 1
Если функция f(x) интегрируема на [a,b], то f(x) интегрируема и на [b, a] и выполняется
b a
— f (x)dx=– f (x)dx
ab
ba
—f (x)dx= f ( x)dx
ab
ba
— f (x)dx=– f ( x)dx
ab
ba
—f (x)dx= f (x)dx
ab
Несобственный интеграл f (x)dxрасходится, если
a
b
— Lim f (x)dx– конечное число
b a
b
— Lim f (x)dx
b a
b
— Lim f (x)dx 0
b a
b
— Lim f (x)dx– конечное отрицательное число
b a
Если фигура образуется кривыми y f1(x) и y f2 (x) и на |
отрезке [a,b], где a x1 и |
b x2 (x1 x2 ) – абсциссы точек пересечения двух кривых, |
f2 (x) f1(x), то площадь |
этой фигуры определяется по формуле
b
— S ( f2 (x) f1(x))dx
a
b
— S ( f2 (x) f1(x))dx
a
b
— S ( f1(x)f2 (x))dx
a
b
— S ( f1(x) f2 (x))dx
a
Определенный интеграл по частям вычисляется по формуле
bb
—(uv) | vdu
aa
bb
—(uv)| udv
aa
bb
—(uv)| vdu
aa
bb
—(uv)| d(uv)
aa
Выберите верное утверждение
b c b
— f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a |
a |
c |
b |
c |
c |
— f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a |
a |
b |
b |
c |
b |
— f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a |
a |
c |
b a b
— f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a c c
Для непрерывной на отрезке a;b , где a b, функции f (x) найдется хотя бы одна точка t такая, что
b
— f (x)dx f (t)(a b)
a
bf (t)
—f (x)dx
ab a
b
— f (x)dx f (t)(a b)
a b
— f (x)dx f (t)(b a)
a |
|
|
|
b |
|
численно равен площади фигуры, образованной кривой y f (x), прямыми |
|
f (x)dx |
|||
a |
x b, |
y 0 (a b), если |
|
x a, |
|||
—f (x) 0
—f (x) 0
—f (x) – возрастающая функция
—f (x) 0
Если фигура образована кривой y f (x) |
( f (x) 0), прямыми x a, x b (a b), |
||
y 0, то площадь этой фигуры равна |
|
|
|
b |
|
|
|
— f (x)dx |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
— f (x)dx |
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
— f (x)dx |
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
— (1 f (x))dx |
|
|
|
a |
|
|
|
Если фигура образуется кривыми y f1(x) и y f2 (x) и на отрезке [a,b], где |
a x1 и |
||
b x2 (x1 x2 ) – абсциссы точек пересечения двух кривых, |
f1(x) f2 (x), то площадь |
||
этой фигуры определяется по формуле |
|
|
|
b
— S ( f2 (x) f1(x))dx
a
b
— S ( f2 (x) f1(x))dx
a
b
— S ( f1(x)f2 (x))dx
a
b
— S ( f1(x) f2 (x))dx
a
4 |
|
6 |
|
6 |
Если |
f (x)dx 5, |
а f (x)dx 3, то f (x)dx равен |
||
1 |
|
4 |
|
1 |
— 2 |
|
|
|
|
— –2 |
|
|
|
|
— 15 |
|
|
|
|
— 8 |
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
5 |
Если |
f (x)dx 10, а |
f (x)dx 4, |
то f (x)dx равен |
|
0 |
|
0 |
|
2 |
— 14 |
|
|
|
|
— –6 |
|
|
|
|
— 6 |
|
|
|
|
— 3 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
Если |
f (x)dx 4, |
то ( f (x) 1)dx равен |
||
1 |
|
1 |
|
|
— 4 |
|
|
|
|
— 6 |
|
|
|
|
— 32 |
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
Если |
f (x)dx 5, |
то (1 f (x))dx равен |
||
2 |
|
2 |
|
|
— 4 |
|
|
|
|
— –4 |
|
|
|
|
— –1 |
|
|
|
|
— 1 |
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
3 |
Если |
f (x)dx 12, а |
f (x)dx 7, |
то f (x)dx равен |
|
1 |
|
3 |
|
1 |
— –5
— 19
— 3
— 5
b
Интеграл (k f (x))dx равен
a
b
— k f (x)dx
a
b
— f (x)dx
a
b
— b a k f (x)dx
a
b
— k(b a) f (x)dx
a |
|
|
непрерывной на a; функции f (x) называется |
Несобственным интегралом f (x)dx |
|
a |
|
—интеграл, который не дифференцируется
—интеграл, который не вычисляется
b
— конечный или бесконечный предел lim f (x)dx
b
a
— интеграл, не имеющий первообразную
Интеграл sin2 2x dx равен
0
2
—1
2
—0
—1 2
Интеграл e 3xdx равен
0
—1 3
—0
—1
3
dx
Интеграл 0 1 x2 равен
— |
|
2 |
|
— |
|
4 |
|
— |
|
— |
|
b |
непрерывной на ;b функции f (x) называется |
Несобственным интегралом f (x)dx |
|
|
|
—интеграл, не имеющий первообразную
—интеграл, от которой не существует дифференциал
—интеграл от возрастающей функции
b
— конечный или бесконечный предел lim f (x)dx
a
a
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
Интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
равен |
||||||||
4 x |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
Интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
равен |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интеграл |
|
|
x2dx |
|
равен |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 x3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
— 1ln5 3
— +
—