Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
lektsii_1 / модуль2 / Лекция 2.4.doc
Скачиваний:
142
Добавлен:
02.06.2015
Размер:
879.62 Кб
Скачать

Поверхности второго порядка. Исследование

поверхностей методом сечений

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.

Определение.  

Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением , где A, B, C, D, F, G, H, K, L, M - вещественные числа, причем хотя бы одно из чисел A, B, C, D, F, G отлично от нуля.

Поверхности второго порядка, за исключением случаев сильного вырождения, можно разделить на пять классов: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндры. Для каждой из поверхностей существует декартова прямоугольная система координат, в которой поверхность задается простым уравнением, называемым каноническим уравнением. Этот факт будет обоснован позже.

Сфера

Определение.

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Теорема Сфера радиуса с центром в точке имеет уравнение

.

Пример 1  Построить сферу, заданную уравнением .

Решение. Выделив полные квадраты, получим

.

Следовательно, центром сферы является точка , радиус сферы .

Для ее изображения построим сечения сферы плоскостями, проходящими через центр и параллельными координатным плоскостям. Каждое такое сечение будет окружностью радиуса 2 с центром в точке (рис1).

Рис.1. Рис.2.

Эллипсоид

Определение

Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где - положительные числа.

Исследуем форму эллипсоида. Из канонического уравнения эллипсоида видно, что координаты точек поверхности ограничены: . Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для выяснения формы эллипсоида рассмотрим его сечения плоскостями. Найдем линию пересечения эллипсоида с плоскостью. Так как любая точка плоскости имеет нулевую аппликату , то координаты точек эллипсоида на плоскости удовлетворяют уравнению

Рис.3.Сечение плоскостью .

Аналогично, сечение в плоскости дает эллипс с полуосями и , а сечение плоскостью -эллипс с полуосями и (рис.4)

Рис.4.Сечения эллипсоида координатными плоскостями.

Построенный "каркас" из сечений уже дает представление об эллипсоиде. Но чтобы выяснить, как ведет себя поверхность между нарисованными кривыми, рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью . Эта плоскость параллельна плоскости. Уравнения этой линии пересечения

Очевидно, что если , то ни одна точка пространства не может удовлетворять этой системе: в левой части первого уравнения стоит неотрицательное число, а в правой - отрицательное. Если , то в сечении получим лишь одну точку или в зависимости от знака .

Пусть . Тогда исходное уравнение преобразуем к виду

.

Введём обозначения , , тогда уравнение примет вид .

Данное уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу, задаваемому уравнением, полученным при пересечении эллипсоида плоскостью с коэффициентом подобия и полуосями и . Ясно, что сечение плоскостью является таким же эллипсом, расположенным симметрично первому относительно плоскости . Изобразим эти сечения

Рис.5.Дополнительные сечения эллипсоида. Рис. 6. Эллипсоид.

Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии- центром эллипсоида. Числа называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным.

Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Например, если , то все сечения эллипсоида плоскостями , , будут окружностями. Сам эллипсоид может быть получен из эллипса , , лежащего в плоскости , при вращении его вокруг оси (рис. 7).

Рис.7.Эллипсоид вращения

Гиперболоиды

Определение.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где  - положительные числа.

Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

Это уравнение на плоскости задает эллипс с полуосями и . Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому

.

Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис.8).

Рис.8.Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями

Сечение плоскостью также является гиперболой с уравнением

Изобразим и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис. 9).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями . Уравнения этих линий

Первое уравнение преобразуем к виду

Введём обозначения , , тогда уравнение примет вид Данное уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия и полуосями и . Изобразим полученные сечения (рис.9).

Рис.9.Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Если в каноническом уравнении гиперболоида , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис. 10).

Рис.10.Однополостный гиперболоид вращения

Определение

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид , где  - положительные числа.

Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому . Координаты ни одной точки плоскости не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью. На этой плоскости , поэтому . Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу (рис. 11).

Рис. 11.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью

Сечение плоскостью также является гиперболой, с уравнением . Построим гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью (рис.12).

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями. Уравнения этих линий

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если . Если или , то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точку или . Эти точки называются вершинами гиперболоида.

Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду

Введём обозначения , , тогда уравнение примет вид

Данное уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобия и полуосями и . Нарисуем полученные сечения (рис. 12).

Рис. 12 Изображение двуполостного. Рис. 13. Двуполостный гиперболоид. Рис. 14 Двуполостный гиперболоид

гиперболоида с помощью сечений вращения

Если в уравнении , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости, вокруг оси (рис.14).

Конус

Определение

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид , где  - положительные числа.

С математической точки зрения поверхность лучше определять с помощью уравнения , так как в нем меньше параметров, но при этом, во-первых, теряется аналогия с уравнениями предыдущих поверхностей, а во-вторых, если считать, что величины имеют размерность длины, то в уравнении размерности правой и левой части не согласуются.

Для краткости в дальнейшем конус второго порядка будем называть просто конус. Исследуем форму конуса. Так же, как эллипсоид и гиперболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Для построения конуса найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому .

Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью. На этой плоскости , поэтому

Это уравнение пары прямых на плоскости . Построим эти прямые (рис.15). Сечение плоскостью также является парой прямых с уравнением .

Рис. 15. Сечения плоскостями и .

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями . Уравнения этих линий

Первое уравнение преобразуем к виду . Обозначив и , получим

Данное уравнение является уравнением эллипса. Построим полученные сечения (рис. 17).

Рис.16. Дополнительное сечение Рис.17. Изображение конуса с помощью сечений

Точка пересечения конуса с плоскостью называется вершиной конуса.

Если в каноническом уравнении , то сечения конуса плоскостями параллельными плоскости являются окружностями. В этом случае поверхность называется прямым круговым конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости, вокруг оси .

Параболоиды

Определение

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид , где и - положительные числа.

Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости , и координатная ось .

Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому .

Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому .

Это уравнение параболы на плоскости . Построим ее (рис. 19). Сечение плоскостью также является параболой. Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью . Уравнения этой линии

Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если . Эта точка называется вершиной параболоида.

Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду , то есть к виду , где , . Полученное уравнение является уравнением эллипса. Изобразим полученное сечение (рис.19). При плоскость поверхность не пересекает.

Рис.19.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями

Найдем сечения параболоида плоскостями , параллельными плоскости . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям и являются параболами, такими же, как в плоскости , только сдвинутыми вверх на величину , их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью (рис. 20).

Рис.20 Дополнительное сечение Рис. 21.Эллиптический параболоид Рис. 22.Параболоид вращения

Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости.

Если в уравнении , то сечения плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис. 22).

Соседние файлы в папке модуль2