Лекция 2. Матрицы и действия над ними

1. Матрицы. Операции над матрицами.

Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица, состоящая из элементов некоторого множества (чисел, функций), имеющая m строк и n столбцов.

Положение каждого элемента в матрице однозначно определяется номером строки и номером столбца, на пересечении которых он находится.

Условно матрица может обозначаться следующим образом:

А = или

где i - номер строки, j - номер столбца на пересечении которых находится элементы матрицы a_ij.

• Матрицу называют квадратной, если m = n.

• Матрица размера содержит только одну строку и называется матрицей – строкой.

• Матрица размера содержит только один столбец и называется матрицей – столбцом.

• Матрицу, состоящую из одного элемента, отождествляют с этим элементом .

• Матрица, все элементы которой равны «0», называется нулевой (выраженной).

• Квадратная матрица порядка n вида называется диагональной.

• Если в диагональной матрице , то эта матрица называется единичной .

Квадратной матрице порядка n можно поставить в соответствие её определитель (детерминант). Он представляет собой определитель n – ого порядка, составленный из тех же элементов, что и матрица.

А =

Операции над матрицами.

• Две матрицы и называются равными, если их размеры совпадают и равны их соответствующие элементы: .

• Сложение матриц: С = А+В. ! Сложить можно только матрицы одного размера. Суммой двух матриц и называют матрицу того же размера, что и матрицы А и В, элементы которой . Свойства: 1) А + В = В + А; 2) (А + В) + С = А + (В + С).

• Умножение матрицы на число: Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой . Свойства: 1) (А + В) = В + А; 2) ; 3) .

• Умножение матриц ! Умножение матрицы А на матрицу В возможно только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если матрицы квадратные, то они должны иметь одинаковый порядок. Произведением матрицы на матрицу называется матрица , элементы которой , где . Свойства: 1) в общем случае ; 2) ; 3) ; 4); 5); 6) .

• Транспонирование матрицы Транспонированием матрицы называется замена строк этой матрицы её столбцами с сохранением номеров, т.е. . Свойства: 1) ; 2) ; 3) .

• Обратная матрица Если A – квадратная невырожденная () матрица, то существует матрица B такая, что , которая называется обратной относительно A и обозначается .

Для нахождения обратной матрицы необходимо:

1. построить вспомогательную матрицу , сформированную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А: ;

2. транспонировать ;

3. разделить каждый элемент матрицы на detA.

• Степень квадратной матрицы Всякую квадратную матрицу А можно умножить саму на себя, т.е. найти матрицу . Эта матрица называется квадратом матрицы и обозначается . Аналогично, . Исходная матрица А называется матрицей первой степени . Нулевой степенью матрицы А называется единичная матрица Е, т.е. . Целая отрицательная степень матрицы А определяется как , где n>0 Свойства: 1) ; 2)

• Элементарные преобразования матрицы Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции: 1) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на число ; 2) перемена местами строк матрицы; 3) прибавление к какой-либо строке линейной комбинации других строк. Если матрица В получена из матрицы А элементарными преобразованиями, то матрицы А и В называются эквивалентными . С помощью элементарных преобразований матрицу приводят к ступенчатому виду, когда все элементы, лежащие ниже главной диагонали равны «0».

• Ранг матрицы Рассмотрим матрицу А размера . Выберем в этой матрице произвольно k строк и k столбцов, где . Составим определители k-ого порядка. Все такие определители называют минорами k-ого порядка матрицы А. Пример. Из матрицы можно составить 12 миноров 1-ого порядка – это сами элементы матрицы А. Если выбрать какие-либо две строки и два столбца матрицы, то получим миноры 2-ого порядка, например . Минорами 3-его порядка являются определители =0, =0, =0, =0. Все определители 3-его порядка равны «0», среди миноров 2-ого порядка есть неравные «0». Если у матрицы все миноры порядка равны «0», а среди миноров порядка n имеется хотя бы один, отличный от «0», то число r называется рангом матрицы и обозначается Вычисление ранга матрицы перебором всех её миноров очень трудоёмко. С помощью элементарных преобразований матрицу приводят к ступенчатому виду, когда все элементы, расположенных ниже главной диагонали равны «0». !Ранг исходной матрицы будет равен числу ненулевых строк преобразованной матрицы. Пример. , следовательно, .

Матричный способ решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему из n линейных уравнений с n неизвестными:

или

- неизвестное, подлежащее определению;

- коэффициенты при неизвестных;

- свободные члены системы уравнений.

Решением системы называется совокупность таких значений , которые обращают все уравнения системы в тождество.

Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае она называется несовместной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если любое решение каждой из них является одновременно решением и другой системы.

Матричная запись системы

Составим из коэффициентов при неизвестных матрицу А = - матрица системы. Введём ещё две матрицы: , .

Тогда систему можно представить в матричном виде .

Т.к , таким образом, .

Критерий совместности системы (теорема Кронекера-Капелли)

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно чтобы ранги основной и расширенной матриц были одинаковы, т.е. , где - расширенная матрица системы. Она получается из матрицы А добавлением к ней столбца свободных членов:

.

Следствия:

1. если (), где n – число неизвестных, то система имеет единственное решение;

2. если , то система имеет бесчисленное множество решений, при этом , r неизвестных являются основными (базисными), а остальные n-r – свободными;

3. , то система несовместна.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса (метод исключения неизвестных)

Рассмотрим систему , где А – матрица размера .

Элементарными преобразованиями приведём расширенную матрицу этой системы к ступенчатому виду. При этом возможны три случая:

1. система получилась в виде: . Начиная с последней строки, двигаясь к первой, находим последовательно . Решение системы будет единственное. Этот случай соответствует .

2. система получилась в виде: . Неизвестные переносим в правую часть и считаем их свободными Далее, начиная с последней строки, находим неизвестные , выраженные через свободные неизвестные . Решений системы бесчисленное множество. Этот случай соответствует .

3. Система получилась в виде: , - система не совместна. Этот случай соответствует .

Пример 1. Установить совместность и решить систему: .

Решение:

В расширенной матрице системы поменяем 1-ю и 2-ю строки для того, чтобы элемент был равен «1».

~ ~ ~ ~

~ ~ ~

Имеем . Ранги матрицы системы и её расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера -Капелли система уравнений совместна и решение её единственно. Запишем расширенную матрицу в виде системы уравнений:

, следовательно .