lektsii_1 / модуль1 / Л3

Л1.3. Векторная алгебра

Основные понятия векторной алгебры.

Вектором называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление

• Длина отрезка АВ называется модулем (длиной) вектора : =.

• Если , то вектор называется нулевым: .

• Если , то вектор называют единичным.

• Единичный вектор, имеющий одинаковое направление сданным вектором , называется ортом вектора и обозначается .

• Два вектора и называются равными, если 1) = - их длины равны; 2) - лежат на одной или параллельных прямых и направлены в одну сторону.

• Два вектора и называются противоположными, если 1) = - их длины равны; 2) - лежат на одной или параллельных прямых и направлены в противоположные стороны.

• Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых.

• Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.

• Проекцией вектора на ось называется число, равное , где - угол наклона вектора к оси ()

Свойства:

1. , если ;

2. , если ;

3. , если ;

4. .

Линейные операции над векторами.

1.

Правило параллелограмма:

Суммой двух векторов и называется вектор , выходящий из их общего начала и являющийся диагональю параллелограм-ма, построенного на векторах и как на сторонах.

Правило многоугольника:

Чтобы построить сумму любого числа векторов, нужно в конец 1-го слагаемого вектора поместить начало 2-ого, в конец 2-ого – начало 3-его и т.д. Вектор, замыкающий полученную ломаную линию, является суммой. Начало его совпадает с началом 1-ого, а конец – с концом последнего.

Свойства:

1. - закон поглощения нулевого вектора;

2. - закон коммутативности;

3. - закон ассоциативности;

2.

Произведением вектора на число , называется вектор, удовлетворяющий условиям: .

Свойства:

1. - закон дистрибутивности относительно суммы векторов;

2. - закон дистрибутивности относительно суммы чисел;

3. - закон ассоциативности относительно числовых сомножителей.

3.

Разностью векторов и называют вектор , равный сумме вектора и вектора, противоположного вектору , т.е. .

- закон противоположного элемента (вектора).

Разложение вектора по базису.

Сумма векторов определяется единственным способом (и только ). Обратная же операция – разложение вектора на несколько составляющих, неоднозначна: . Для того, что бы сделать её однозначной, необходимо указать направления, по которым происходит разложение рассматриваемого вектора, или, как говорят, необходимо указать базис.

• Базисом в пространстве называют совокупность любых трёх некомпланарных векторов, взятых в определённом порядке .

• Базис на плоскости - совокупность любых двух неколлинеарных векторов, взятых в определённом порядке .

• Базис на прямой – любой ненулевой вектор на этой прямой.

При определении базиса существенным является требование некомпланарности и неколлинеарности векторов. Чтобы понять смысл этого требования, необходимо рассмотреть понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов.

Произвольное выражение вида: , называют линейной комбинацией векторов .

Линейная комбинация нескольких векторов называется тривиальной, если все её коэффициенты равны нулю.

Векторы называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равная нулю: (1), при условии . Если равенство (1) имеет место только при всех одновременно равных нулю, то ненулевые векторы будут линейно независимыми.

Легко доказать: любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, а два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Доказательство начнём с первого утверждения.

Пусть векторы и коллинеарны. Покажем, что они линейно зависимы. Действительно, если они коллинеарны, то они отличаются друг от друга только на числовой множитель, т.е. , следовательно . Поскольку полученная линейная комбинация явно нетривиальная и равна «0», то векторы и линейно зависимы.

Рассмотрим теперь два неколлинеарных векторы и . Докажем, что они линейно независимы. Доказательство построим от противного.

Предположим, что они линейно зависимы. Тогда должна существовать нетривиальная линейная комбинация . Предположим, что , тогда . Полученное равенство означает, что векторы и коллинеарны вопреки нашему исходному предположению.

Аналогично можно доказать: любые три компланарных вектора линейно зависимы, а два некомпланарных вектора линейно независимы.

Возвращаясь к понятию базиса и к задаче разложения вектора в определённом базисе, можно сказать, что базис на плоскости и в пространстве образуется из совокупности линейно независимых векторов. Такое понятие базиса является общим, т.к. оно применимо к пространству любого числа измерений.

Выражение вида: , называется разложением вектора по векторам ,…, .

Если мы будем рассматривать базис в трехмерном пространстве, то разложение вектора по базису будет , где - координаты вектора .

В задаче разложения произвольного вектора в некотором базисе весьма важным является следующее утверждение: любой вектор может быть единственным образом разложен в данном базисе . Иными словами, координаты для любого вектора относительно базиса определяется однозначно.

Введение базиса в пространстве и на плоскости позволяет поставить в соответствие каждому вектору упорядоченную тройку (пару) чисел – его координаты. Этот очень важный результат, позволяющий установить связь между геометрическими объектами и числами, делает возможным аналитически описывать и исследовать положение и движение физических объектов.

Совокупность точки и базиса называют системой координат.

Если векторы, образующие базис единичны и попарно перпендикулярны, то система координат называется прямоугольной, а базис ортонормированным.