4,11

11 вопрос

4 вопрос

Интегрирование по частям.

0. Для неопределенных интегралов.

Для неопределенных интегралов.

Пусть u(x) и V(x) дифференцируемые функции. По правилу дифференцирования произведения двух функций d(uV)= udV+Vdu или udV = d(uV) – V(du). Возьмем интегралы от обеих частей этого равенства (1)

Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Для применения этой формулы нужно подынтегральное выражение представить как произведение двух множителей u и dV так, чтобы задача вычисления двух интегралов – V(x) = $dV b $du – была бы легче, чем вычисления исходного интеграла. Если подынтегральное выражение есть произведение алгебраического многочлена на какую-либо тригонометрическую или показательную функцию, то за u надо брать многочлен, а все остальное за dV.

Если под интегралом есть логарифмическая функция или обратная тригонометрическая, то за u нужно брать логарифмическую функция или обратную тригонометрическую, все остальное за dV/

1.2 Для определенных интегралов.Пусть функции u(x) и V(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда (2)

Доказательство. Обозначим . По формуле Ньютона-Лейбница получаем

Так как , то приходим к формуле (2).