04-8

План

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Л. Эйлера.

Основное уравнение гидростатики.

Давление абсолютное, избыточное и вакуумметрическое.

Геометрическое и энергетическое истолкование основного уравнения гидростатики.

Гидростатический и пьезометрический напор.

Формула для определения гидростатического давления в точке при абсолютном покое.

Закон Паскаля.

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера.

(Леонардо Эйлер 1707-1783, академик Петербургской академии наук)

Рассмотрим жидкость, находящуюся в покое относительно неинерциальной системы координат . Выделим в этой жидкости элементарный параллелепипед с ребрами , параллельными соответствующим осям координат. Объем параллелепипеда , масса .

Отбросим жидкость, окружающую параллелепипед, и заменим действие отброшенной жидкости силами. Это будут сжимающие поверхностные силы давления. Кроме них на жидкость действуют массовые силы, проекции плотности распределения которых на оси координат .

Массовая сила в направлении оси составит

Пусть давление в центре выделенного объема равно . Давление непрерывная функция координат, градиент давления в направлении оси составит (ограничимся первой производной). Тогда давление на левой грани , давление на правой грани . Составим уравнение равновесия жидкости, заключенной в параллелепипед (сумма сил равна 0). В проекции на ось получим

Раскроем скобки и разделим на массу . Тогда, с учетом проекций на другие оси, имеем:

(*) Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера.

Основное уравнение гидростатики

Умножим дифференциальные уравнения равновесия жидкости Эйлера на соответственно и сложим (по размерности имеем: – сила, действующая на единичную массу, – путь, результат умножения – работа)

Давление зависит от координат, т.е. .

Полный дифференциал давления (из математики): .

Имеем: – уравнение равновесия жидкости Эйлера в объединенном виде.

Воспользуемся полученным уравнением для частного случая, когда из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести. На элементарную массу действует сила веса в направлении, противоположном оси . Потенциал массовых сил (отношение сил к массе) в проекциях на оси координат: , , .

Подставляем в объединенное уравнение Эйлера или

После интегрирования получаем основное уравнение гидростатики. Для всех точек покоящейся жидкости сумма геометрического и пьезометрического напоров есть величина постоянная – гидростатический напор.

Давление абсолютное, избыточное и вакуумметрическое.

На поверхности Земли действует атмосферное давление. Все тела находятся под действием давления столба воздуха. На поверхность жидкости в открытом сосуде всегда действует атмосферное давление, в закрытом сосуде давление может быть как больше атмосферного (избыточное давление) так и меньше атмосферного (вакуумметрическое давление).

На графике представим перечисленные случаи. Ось абсцисс графика – абсолютный вакуум (нет давления). На оси отметим атмосферное давление .

Точка А –абсолютное давление выше атмосферного, избыточное характеризует превышение абсолютного давления над атмосферным, иногда называется манометрическим.

Точка В – абсолютное давление равно атмосферному. Избыточное равно нулю.

Точка С – абсолютное давление меньше атмосферного (вакуум). Вакуумметрическое давление характеризует на сколько абсолютное давление меньше атмосферного. (избыточное давление отсутствует, формально оно отрицательно).

Определения.

Давление абсолютное – характеризует интенсивность напряженного состояния жидкости, отсчитывается от абсолютного нуля давления. (редко : фактическое, реальное).

Давление атмосферное – давление воздуха на поверхности Земли. Принимается равным 1 кг/см² – техническая атмосфера (98,0665 кПа, 735,559 мм рт. ст.). Редко используется физическая атмосфера = 760 мм рт.ст.

Давление избыточное (манометрическое) – превышение над атмосферным. .

Давление вакуумметрическое (вакуум) – недостаток до атмосферного.

.