Формула для определения гидростатического давления в точке

На рисунке изображен сосуд с жидкостью в состоянии покоя. Давление на свободной поверхности равно атмосферному давлению. . Точка А выбрана на глубине , а точка В на свободной поверхности. Положение точек от плоскости сравнения и . Давление в точке А равно , а в точке В равно давлению на свободной поверхности .

Запишем основное уравнение гидростатики для выбранных точек

или

.

Заметим, что – глубина погружения точки А.

Окончательно формула для определения гидростатического давления в точке

.

здесь – абсолютное или избыточное давление на поверхности жидкости;

– соответственно абсолютное или избыточное давление в точке на глубине жидкости плотности в поле силы тяжести. Слагаемое называют весовым давлением, т.к. это вес столба жидкости единичной площади высотой плотностью . Повторим: если взять абсолютное, то и (результат) будет абсолютное. Если избыточное, то и результат избыточное. Так если в частном случае на поверхности жидкости давление равно атмосферному, то это значит, что избыточное давление на поверхности равно нулю.

Тогда избыточное давление в точке на глубине .

Геометрическое истолкование основного уравнения гидростатики

В сосудах находится жидкость, для определенности вода, в состоянии покоя.

Рассмотрим три случая: давление на поверхности равно, больше и меньше атмосферного.

Рисунок 04_03 Сосуд с жидкостью под атмосферным давлением
Рисунок 04_04 Сосуд с жидкостью под давлением больше атмосферного
Рисунок 04_05 Сосуд с жидкостью под давлением меньше атмосферного

В первом случае сосуд открыт, во втором и третьем случаях сосуды закрыты.

Точка А везде выбрана на некоторой глубине от поверхности воды, точка В на свободной поверхности. Положение точек А и В относительно плоскости сравнения 0-0 и . На высоте точки А установлены водяные манометры – запаянные трубки из которых удален воздух (на рисунках слева). Вода в них поднимается на высоту, определяемую абсолютным давлением . Эта высота плюс высота положения точки А составляют гидростатический напор , который постоянен для всех точек покоящейся жидкости (основное уравнение гидростатики) . Геометрическое место полученных высот есть плоскость гидростатического напора С-С.

На высоте точки А установлены также пьезометры – трубки с открытым верхним концом, так что на жидкости в них действует атмосферное давление (на рисунках справа). Вода в них поднимается на высоту относительно точки А (если давление в точке А меньше атмосферного, то уровень воды будет ниже на величину ). Эта высота называется пьезометрической высотой. Вместе с высотой положения она составляет пьезометрический напор. Геометрическое место полученных высот есть плоскость пьезометрического напора D-D, которая всегда расположена ниже плоскости гидростатического напора на высоту .

Основное уравнение гидростатики может быть записано для абсолютного и для избыточного давлений. В обоих случаях геометрическая высота точек, отсчитанная от плоскости сравнения, называется «геометрический напор».

Рассматриваем абсолютные давления. Тогда второе слагаемое – высота, определяемая абсолютным давлением, условно назовем «абсолютный напор». Оба слагаемые дают гидростатический напор.

Рассматриваем избыточные давления. Тогда второе слагаемое – «пьезометрическая высота». В случае вакуума это «вакуумметрическая высота». Вместе с геометрическим напором образуют «пьезометрический напор».

Определения.

Плоскость сравнения – горизонтальная плоскость для сравнения высот положения точек жидкости. Положение выбирается исходя из удобства измерений. Обязательное

требование – горизонтальность.

Геометрический напор – высота точки от плоскости сравнения.

Пьезометрический напор – высота подъема воды в пьезометре. Определяется избыточным давлением.

Геометрический смысл основного уравнения гидростатики:

для любой точки покоящейся жидкости :

• сумма геометрического напора и напора, соответствующего абсолютному давлению в этой точке, есть величина постоянная, равная гидростатическому напору;

• сумма геометрического напора и пьезометрической высоты есть величина постоянная, равная пьезометрическому напору.

Энергетическое истолкование основного уравнения гидростатики

Основное уравнение гидростатики . Слагаемые уравнения отнесены к весу единицы объема жидкости, т.е. поделены на . Поэтому их называют «удельными», т.е. отнесенными к единице (в данном случае к единице веса).

Чтобы перейти к величинам, отнесенным к элементарной частице жидкости, достаточно умножить на ее вес :

Первое слагаемое есть сила веса частицы умноженная на высоту ее положения, т. е. работа, необходимая для поднятия частицы на указанную высоту. Это потенциальная энергия положения.

Второе слагаемое после очевидных сокращений есть работа, необходимая для «создания» частицы, т.е. высвобождения занимаемого ею объема при сопротивлении силы, обусловленной давлением жидкости. Второе слагаемое – «потенциальная энергия давления».

(Подробно поясним это важное замечание: пусть объем частицы изменился от нуля до . Для этого граница частицы площадью должна пройти против сил давления, равных произведению давления на ее площадь путь ; совершенная работа есть произведение силы на путь . Эту работу иногда называют «работа вытеснения»)

Сумма двух слагаемых есть полная потенциальная энергия частицы.

Переходя вновь к удельным величинам имеем:

Удельная потенциальная энергия положения и удельная потенциальная энергия давления составляют полную удельную потенциальную энергию, называемую гидростатический напор.

Закон Паскаля (1650 г)

Блез Паскаль (1623–1662)

Сначала приведем полную формулировку закона.

Внешнее давление, производимое на пограничную поверхность жидкости, находящейся в равновесии в замкнутом сосуде, передается во внутрь жидкости одинаково всем ее частицам.

Другая формулировка (более общая)

Изменение давления в любой точке покоящейся жидкости передается в остальные ее точки без изменений.

Применим основное уравнение гидростатики к двум точкам покоящейся жидкости

. Изменим давление в первой точке на , не нарушая равновесия жидкости. Тогда во второй точке давление должно измениться на некоторое значение . Из основного уравнения гидростатики следует, что

или , ч. т .д.

Потенциал массовых сил

Уравнение равновесия жидкости Эйлера в объединенном виде

Равенство имеет смысл лишь в том случае, если правая его часть также есть полный дифференциал какой-то функции. Обозначим эту функцию через . Тогда полный дифференциал ее будет .

Примем .

Тогда имеем , , .

Функцию называют потенциальной функцией, а силы, для которых эта функция существует, – силами, имеющими потенциал.

Отсюда вывод: Жидкость может находится в равновесии только под действием массовых сил, имеющих потенциал, так как только такие силы удовлетворяют уравнениям равновесия Эйлера.

Поверхности равного давления

Поверхностью равного давления называют такую выделенную в жидкости поверхность, гидростатическое давление во всех точках которой одно и то же. Очевидно, что для такой поверхности и . Учитывая получим и .

Поверхности равного давления и равного потенциала совпадают.

Для жидкости, находящейся в покое под действием силы тяжести уравнение поверхностей равного давления (или ).