Группы формул Максвелла

Рассмотрим систему из трех проводов вблизи проводящей поверхности.

Возьмем в диэлектрике некоторую произвольную точку М.

;

.

Потенциал точки М будет равен сумме потенциалов создаваемых каждым проводом и его зеркальным изображением:

;

.

Поместим точку М на поверхность первого провода:

.

Обозначим

;;,

где ,,– потенциальные коэффициенты.

Перемещая точку М с первого на второй и третий провод, получим систему уравнений

– первая группа формул Максвелла.

– собственные коэффициенты

– взаимные коэффициенты

Так как .

Все , т.к..

Кроме первой группы формул Максвелла есть 2 и 3 группы формул Максвелла.

Во второй группе формул Максвелла по известным потенциалам тел находят заряды тел (потенциалы), т.е. решают обратную задачу.

– вторая группа формул Максвелла.

– ёмкостной коэффициент..

– собственные коэффициенты

– взаимные коэффициенты

Для перехода из первой группы формул Максвелла во вторую составляем матрицу, а затем берем обратную матрицу:

.

Алгебраическое дополнение получают из определителя системы путем вычеркивания К-й строки и N-го столбца и умножая на минор.

Так как определитель системы симметричен относительно главной диагонали, то

и.

При экспериментах удобней использовать напряжение, поэтому пользуются третьей группой формул Максвелла.

В третьей группе формул Максвелла по известным потенциалам тел находят напряжение между телами:

– третья группа Максвелла,

где С– частичные емкости.

С одинаковым индексом – собственные, с разноименным – взаимные.

;

;

;

.

Поскольку .

Вывод третьей группы формул Максвелла:

;

;

;

Обозначим:

;

.

Тогда

.

Если придать kзначения 1, 2, 3, …, то получим третью группу формул Максвелла:

Три группы формул Максвелла справедливы для заряженных тел любой формы. Однако приведенные формулы справедливы только для параллельных, достаточно длинных проводов. Следовательно, для тел другой формы определение емкостных коэффициентов производят экспериментально (методика приведена в ТОЭ ч.3 стр 47 новое издание).

Шар и цилиндр в однородном поле

Если в равномерное поле, напряженность которого равна Е₀ , внести металлический или диэлектрический шар или цилиндр, то электрическое поле, особенно вблизи шара или цилиндра, исказится и перестанет быть равномерным.

Если шар или цилиндр из диэлектрика, то под действием внешнего поля он поляризуется. В металлическом шаре или цилиндре вследствие явления электростатической индукции происходит разделение зарядов, а также металлическое тело может нести заряд, распределенный по поверхности.

Задачи по расчету этих полей решаются с помощью уравнения Лапласа:

.

В простом случае (с телами: шар, цилиндр) для решения уравнения Лапласа наиболее удобно выбрать сферическую или цилиндрическую систему координат, так как граничная поверхность – это сфера или цилиндр. Решение производится методом разделения переменных.

Рассмотрим случай, когда в поле внесен проводящий шар или цилиндр. Внутри проводящего тела потенциал одинаков , а напряженность поля равна 0. На поверхности напряженность изменится от 0 в точкахСиDдоMAXв точкахАиВ. Причемдля цилиндра,для шара.

Высокая напряженность в точках АиВможет привести к пробою изоляции. Например, капелька воды, которая попала в бак трансформатора с масленым охлаждением, вызовет значительное местное увеличение напряженности поля и пробой масла.